贵州安顺市镇宁民族中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性评价数学试题

镇宁高中教育集团2026-2027学年第一学期第一次阶段性评价 高二年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1.(本题5分)在空间直角坐标系中，点A(2,3,4)关于平面Oxy对称的点的坐标为() A.(2,3,-4) B.（-2,-3,4) C.（2,-3,4) D.(2,1,-4) 2.(本题5分)已知向量à=（-1,2,1)，b=(（3,x,1),且ā⊥b,那么x=() A.0 B.1 C.2 D.3 3.(本题5分)在三棱锥O-ABC中，OA+AB-CB+CO=() A.OA B.AB c.0 D.AC 4.(本题5分)若=(1,1,0)，b=（-1,0,2),则与a+b同方向的单位向量是() 52到 B. s2 D.(0,1,2) 5.(本题5分)如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，设AB=a,AD=b,AA=c,E 是A'C的中点，则AE=(). D' E A. -a+b+c B B. a+6+c 22 D C.a+lb+d D.a+b+c 2 6.(本题5分)已知向量a+6=(0,2,0),a-b=(2,V2,-23),则cos(2a,36)=（) 第1页（共4页） A.=v6 B.v6 c.-6 D.. 3 3 6 6 7.(本题5分)己知正方体ABCD-AB,CD的棱长为3，则点C到平面A,BD的距离为() A.2 B.2W2 C.23 D.4 8.(本题5分)如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中， AB=AD=4,AA=6,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°，则AC与AB的夹角的余弦 值为() D' 7V13 B. 7V19 c.7v23 D. 7V29 26 38 46 58 二、多选题（共18分) 9.(本题6分)下列四个命题中正确的是() A.已知{a,五，c是空间的一组基底，若m=a+c,则{a,五，m也是空间的一组基底 B.n是平面a的法向量，a是直线1的方向向量，若an=0,则l/a C.已知向量a=（(9,4,-4),b=(1,2,2),则a在b方向上的投影向量为(1,2,2) D.直线1的方向向量为m=(1,1,0),且1过点A1,1,1),则点P(2,2,-1)到直线1的距离为2 10.(本题6分)已知向量a=(1,-1,m),b=（-2,m-1,2),则下列结论中正确的是() A.若d=2,则m=±2 B.若a⊥b,则m=-1 C.不存在实数2，使得a=2b D.若a.b=-1,则a+b=（-1,-2,2) 11.(本题6分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点E,F,G分别是棱CC,CB,CD 的中点，P为线段AD,上的一个动点，则下列说法中正确的有() 第2页（共4项） A.存在点P,使得PC//平面EFG D B.三棱锥P-EFG的体积为定值 C.当点P为线段AD中点时，平面PGF⊥平面GEF D.当点P与D重合时，直线PF与平面EFG所成角的正弦值 为3 3 三、填空题（每题5分，共15分) 12.已知向量d=(0,0,2),b=(-1,1,1),则向量ā+b在向量a上的投影向量为 13.已知向量a=(0,-1,),6=(41,0),2ā+b=V29,且>0，则元= 14.已知三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=22,AB=BC=CA=4,则该三棱锥的外接球体 积为 四、解答题（共77分) 15.(本题13分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，侧棱长为4，平面ABC⊥平面BCCB,△ABC 是边长为4的等边三角形，且∠CCB=60°，已知O是BC的中点.以OC,OB,OA所在直 线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 (1)求向量BA，AC的坐标； (2)求异面直线BA与AC所成角的大小. 16.(本题15分)已知空间中三点A(-2,1,3),B(1,-2,0),C(-1,-1,5) (1)求AC: (2)求向量AB在向量AC上的投影向量的坐标； (3)若点P(2,-1,m)在平面ABC内，求m的值. 第3页（共4页） 17.(本题15分)在正四棱柱ABCD-AB,CD中，AB=2BB,=2,P为B,C的中点. (I)取A,D,中点M,AB中点N,求证：MN⊥平面APC. D A (2)求证：平面APC⊥平面BDDB B 18.(本题17分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD, PA=AB,E为PD的中点. (1)证明：PB/∥平面EAC: (2)求直线BD与平面EAC所成角的正弦值. 19.(本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=2AB=4,△PAB为正三角形，四边形ABCD 是平行四边形，平面PAB⊥底面ABCD,点Q满足Pg=PD,其中九∈[O,] ()当入=时，证明：PB11平面QAC: (2)若AC1AB,且二面角P-AC-Q的正弦值为3N2I 求几的值. 14 第4页（共4项) 镇宁高中教育集团2026--2027学年第一学期第一次阶段性评价 高二年级 数学 满分： 150 分 时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（本题5分）在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若，，则与同方向的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 5．（本题5分）如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（    ）. A． B． C． D． 6．（本题5分）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列四个命题中正确的是（    ） A．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 B．是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若，则 C．已知向量，，则在方向上的投影向量为 D．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2 10．（本题6分）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 11．（本题6分）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（    ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．当点为线段中点时，平面平面 D．当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 13．已知向量，，，且，则______. 14．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球体积为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）如图，在三棱柱中，侧棱长为4，平面平面，是边长为4的等边三角形，且，已知是的中点．以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系． （1）求向量，的坐标； （2）求异面直线与所成角的大小． 16．（本题15分）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 17．（本题15分）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 18．（本题17分）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． (1)当时，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求的值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 镇宁高中教育集团2026-2027学年第一学期第一次阶段性评价 高二数学答案 1．A 【分析】根据空间中点的对称关系，即可判断. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为. 所以，点关于平面对称的点的坐标为. 2．B 【详解】因为，且， 所以，即． 3．C 【详解】根据空间向量的加减法运算，. 4．B 【详解】可知，则， 所以与同方向的单位向量是. 5．B 【详解】在平行六面体中， 根据向量加法的三角形法则，可得：. 因为点 是 的中点，所以. 在平行四边形 中，由向量加法的平行四边形法则可知：. 又因为在平行六面体中，，， 所以. 从而 . 又因为， 所以. 6．A 【详解】由，， 可得，， 则，， 所以， 所以． 7．C 【详解】如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，所以， 所以， 设面的法向量为， 可知，即， 当时，解得， 所以面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 8．D 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 9．ACD 【分析】由空间向量基底的性质判断A；由线面平行的条件判定B；由投影向量的概念求C；由向量法求点到直线的距离判断D. 【详解】对于A，假设共面，则存在，使得，则， 因为是空间的一组基底，即不共面，与矛盾， 所以不共面，则也是空间的一组基底，故A正确； 对于B，当时，满足条件，但直线不平行于平面，故B错误； 对于C，在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，由条件得，， 所以在方向上的投影为， 则点到直线l的距离为，故D正确； 故选：ACD. 10．ACD 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 11．BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各选项即可，A选项，计算向量与平面法向量的数量积；B选项，判断直线是否平行于平面；C选项，求出平面的法向量，验证两平面法向量是否垂直；D选项，利用向量夹角公式计算线面角的正弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得， 因为分别是的中点，所以. 设是线段上的动点，， 设，其中，则. 设平面的法向量为，， 由，取，可得. 对于A：因为，又， 所以与平面的法向量不垂直，即与平面相交， 不存在点，使得平面，故A错误； 对于B：因为，又，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：当为线段中点时，此时， 设平面的法向量为， 由，取，可得， 因为，所以， 即平面平面，故C正确； 对于D：点与重合时，， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确. 12． 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 13．3 【详解】因为，，， 所以，可得，即， 又，解得. 14． 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可． 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球的体积为． 15．（1），；（2）． 【分析】（1）标出对应点坐标，利用向量坐标和点坐标的关系，即得解； （2）利用异面直线所成角的向量公式，即得解 【详解】（1）由空间直角坐标系可得 ，，，， 则，． （2） 所以异面直线与所成角的大小为． 16．(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 17．(1)证明: 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. (2)证明: 因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 18．(1) 证明:连接与交于点,连接， 因为底面是正方形,所以点是的中点, 又是的中点,所以, 因为平面,平面,所以平面. (2) 【分析】（1）根据题意作出辅助线，根据中位线得到线线平行，进而得到线面平行. （2）根据题意在点处建立空间直角坐标系，依次写出点的坐标，代入线面夹角的正弦值公式求解即可, 【详解】（1）略 （2）因为侧棱底面且在正方形中, 所以如图所示,以点为坐标原点,分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 设,则,,,,, 则,,, 设平面的法向量   即 取,则,,所以 设直线与平面的夹角为 因此. 19．(1) 连接交于点，连接，当时，点为中点，又是平行四边形，故点为中点，所以，平面，平面， 所以平面 (2)或 【分析】 (1)    连接交于点，连接，利用中位线证明即可； (2)    建立空间直角坐标系求解. 【详解】（1）略. （2）取中点，中点，连接，因为为正三角形， 所以，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以， 因为，，所以，故两两垂直， 如下图以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以,,,， 因为，所以， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，故， 设二面角的平面角为，则，， 故， 解得或. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $