1.3.2 补集及综合应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

　补集及综合应用 第一章 1.3　集合的基本运算 索引 1.在具体情境中,了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 学习目标 相对于某个集合U,其子集中的元素是U中的一部分,那么剩余的元素也应构成一个集合,这两个集合对于U构成了相对的关系,这就验证了“事物都是对立和统一的关系”.这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集. 引入 课时精练 一、全集与补集 二、集合交、并、补的综合运算 三、根据集合间的运算求参数范围 课堂达标 内容索引 全集与补集 一 探究1 方程(x-2)(x2-3)=0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同?通过这个问题,你能得到什么启示? 提示　在有理数范围内,解集为{2};在实数范围内,解集为{2,,-}.在数学中,很多问题都是在某一范围内进行研究.如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的. 6 探究2 A={高一(1)班参加篮球队的同学},B={高一(1)班没有参加篮球队的同学},U={高一(1)班的同学}. (1)集合A,B,U有何关系? 提示　A⊆U,B⊆U,A∩B=⌀且A∪B=U. (2)集合B中的元素与U和A有何关系? 提示　集合B 中的所有元素属于U,但不属于A. 7 1.全集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的____________,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 知识梳理 所有元素 8 2.补集 不属于 ∁UA {x|x∈U,且x∉A} 文字语言 对于一个集合A,由全集U中_________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作_________ 符号语言 ∁UA=_____________________ 图形语言 9 3.运算性质 (1)∁U(∁UA)=___,∁UU=⌀,∁U⌀=___. (2)A∩(∁UA)=___,A∪(∁UA)=U. A U ⌀ (1)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以定义的,它与补集是相互依存、不可分割的两个概念. (2)∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 温馨提示 11 (1)(链接教材P13例5)设全集U={x|x是10以内的质数},A={2,3},则∁UA= A.{5,7} B.{5,8} C.{4,6,9,10} D.{4,5,6,9,10} 例1 √ 因为U={2,3,5,7},所以∁UA={5,7}. 12 (2)设集合U=R,M={x|x>2,或x<-2},则∁UM= A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-2<x<2} C.{x|x<-2,或x>2} D.{x|x≤-2,或x≥2} √ 如图,在数轴上表示出集合M,可知∁UM={x|-2≤x≤2}. 13 求集合的补集的方法 (1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. (2)Venn图法:借助Venn图可直观地表示出全集及补集. (3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,注意端点值的取舍. 思维升华 14 (1)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x≤1},则∁UA= A.{x|-2<x≤1} B.{x|-3<x<-2,或1≤x<3} C.{x|-2≤x<1} D.{x|-3<x≤-2,或1<x<3} 训练1 √ 因为全集U={x|-3<x<3},A={x|-2<x≤1}, 所以∁UA={x|-3<x≤-2,或1<x<3},故选D. 15 √ (2)(链接教材P13练习T2)已知集合A={x|x是菱形或矩形},B={x|x是矩形},则 ∁AB等于 A.{x|x是菱形} B.{x|x是内角都不是直角的菱形} C.{x|x是正方形} D.{x|x是邻边都不相等的矩形} 由集合A={x|x是菱形或矩形},B={x|x是矩形},则∁AB={x|x是内角都不是直角的菱形}. 16 集合交、并、补的综合运算 二 17 (链接教材P14习题1.3T4)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求∁U(A∩B),(∁UA)∪B,A∩(∁UB). 例2 利用数轴,分别表示出全集U及集合A,B,如图. 则∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, ∁UB={x|x<-3,或2<x≤4}, 又A∩B={x|-2<x≤2}, 所以∁U(A∩B)={x|x≤-2,或2<x≤4}, (∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4}, A∩(∁UB)={x|2<x<3}. 18 思维升华 1.解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到,切莫忽视边界问题. 2.解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再计算其他部分. 19 已知集合S={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7},求: (1)(∁SA)∩(∁SB);(2)∁S(A∩B);(3)∁S(A∪B). 训练2 如图所示, 可得A∩B={x|3≤x<5},A∪B={x|2≤x<7}, ∁SA={x|1<x<2,或5≤x≤7},∁SB={x|1<x<3,或x=7}. (1)(∁SA)∩(∁SB)={x|1<x<2,或x=7}. (2)∁S(A∩B)={x|1<x<3,或5≤x≤7}. (3)法一(直接法) ∁S(A∪B)={x|1<x<2,或x=7}. 法二(性质法) ∁S(A∪B)=(∁SA)∩(∁SB)={x|1<x<2,或x=7}. 20 根据集合间的运算求参数范围 三 21 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁UA)∩B=⌀,求实数m的取值范围. 例3 法一　易知A={x|x≥-m}, ∴∁UA={x|x<-m}. 又B={x|-2<x<4},且(∁UA)∩B=⌀, 所以-m≤-2,则m≥2. 故实数m的取值范围是{m|m≥2}. 法二　由于(∁UA)∩B=⌀,知B⊆A, 又B={x|-2<x<4},A={x|x≥-m}, 所以-m≤-2,则m≥2. 故实数m的取值范围是{m|m≥2}. 23 本例将条件“(∁UA)∩B=⌀”改为“(∁UA)∩B≠⌀”,其他条件不变,则m的取值范围是什么? 迁移1 由例3知∁UA={x|x<-m},B={x|-2<x<4}. ∵(∁UA)∩B≠⌀, ∴-m>-2,则m<2. 因此实数m的取值范围是{m|m<2}. 本例将条件“(∁UA)∩B=⌀”改为“(∁UB)∪A=R”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么? 迁移2 易得A={x|x≥-m},∁UB={x|x≤-2,或x≥4}. 又(∁UB)∪A=R,所以-m≤-2,解得m≥2. 故m的取值范围为{m|m≥2}. 思维升华 由集合的运算求解参数的方法 (1)由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解. 已知A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}. (1)当m=1时,求A∪B; 训练3 当m=1时,B={x|1≤x<4} , A∪B={x|-1<x<4}. 27 (2)若B⊆(∁RA),求实数m的取值范围. ∁RA={x|x≤-1,或x>3}, 当B=⌀,即m≥1+3m时, 得m≤-,满足B⊆(∁RA); 当B≠⌀,要使B⊆(∁RA)成立, 即解得m>3, 综上,实数m的取值范围是. 28 【课堂达标】 1.(多选)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则 A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∈M √ √ 由题意知M={2,4,5},故选AD. 2 3 4 1 2.(多选)设集合P={1,2,3},Q={x|2≤x≤3},则下列结论中正确的有 A.P⊆Q B.P∩Q=P C.(P∩Q)⊆P D.(∁RQ)∩P≠⌀ √ √ 集合P中1∉Q,故A错误; P∩Q={2,3},故B错误,C正确; ∁RQ={x|x<2,或x>3},(∁RQ)∩P={1}, 故D正确. 2 3 4 1 3.已知全集U=R,A={x|1≤x<b},∁UA={x|x<1,或x≥2},则实数b=____________.  因为∁UA={x|x<1,或x≥2}, 所以A={x|1≤x<2},所以b=2. 2 2 3 4 1 4.设全集U=R,集合A={x|x>1},B={x|x>a},且(∁UA)∪B=R,则实数a的取值范围是____________.  因为A={x|x>1},B={x|x>a}, 所以∁UA={x|x≤1}, 由(∁UA)∪B=R,可知a≤1. {a|a≤1} 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.若全集U={0,1,2,3}且∁UA={2},则集合A的真子集共有 A.3个 B.5个 C.7个 D.8个 A={0,1,3},真子集有23-1=7(个). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.设全集U=R,集合A={x|1<x<4},集合B={x|2≤x<5},则A∩(∁UB)= A.{x|1≤x<2} B.{x|x<2} C.{x|x≥5} D.{x|1<x<2} ∵∁UB={x|x<2,或x≥5}, ∴A∩(∁UB)={x|1<x<2}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 3.(多选)设全集U={0,1,2,3,4},集合M={0,1,4},N={0,1,3},则 A.M∩N={0,1} B.∁UN={4} C.M∪N={0,1,3,4} D.M∩(∁UN)={4} √ √ √ 由题意知M∩N={0,1},A正确; ∁UN={2,4},B不正确; M∪N={0,1,3,4},C正确; M∩(∁UN)={0,1,4}∩{2,4}={4},D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.设全集U={1,2,5,7},M={1,a-5},∁UM={2,7},则实数a的值为 A.10 B.9 C.7 D.6 ∵全集U={1,2,5,7},M={1,a-5},∁UM={2,7}, ∴a-5=5,解得a=10.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.已知全集U=R,集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|-2≤x≤3},那么阴影部分表示的集合为 由题意得,阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}= {x|-1≤x≤3}. A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3,或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(∁IM)=⌀,则M∪N等于 A.M B.N C.I D.⌀ √ 如图,因为N∩(∁IM)=⌀, 所以N⊆M,所以M∪N=M. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.如图,已知I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是 由Venn图知,阴影部分表示的集合中的元素属于A,属于C,但不属于B, 所以阴影部分表示的集合是[A∩(∁IB)]∩C. √ A.[(∁IA)∩B]∩C B.[(∁IB)∪A]∩C C.(A∩B)∩(∁IC) D.[A∩(∁IB)]∩C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则∁U(A∪B)=____________.  {-2,0} 由x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3, 所以集合B={1,3}, 则A∪B={-1,1,2,3}, 又全集U={-2,-1,0,1,2,3}, 所以∁U(A∪B)={-2,0}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.(链接教材P13例6)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},则(∁UA)∩(∁UB)=________________________.  {x|x是直角三角形} 法一(直接法) 根据三角形的分类可知, ∁UA={x|x是直角三角形或钝角三角形}, ∁UB={x|x是直角三角形或锐角三角形}, 所以(∁UA)∩(∁UB)={x|x是直角三角形}. 法二(性质法) 由题意知,全集U={x|x是三角形}, A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}, 则(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={x|x是直角三角形}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.已知全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁UB)=____________.  {3} 因为全集U={1,2,3,4}, 且∁U(A∪B)={4}, 所以A∪B={1,2,3},又B={1,2}, 作出Venn图,如图所示, 所以A∩(∁UB)={3}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求:(1)A∩B;(2)∁RA;(3)∁R(A∪B). (1)∵A={x|3≤x<7}, B={x|2<x<10}, ∴A∩B={x|3≤x<7}. (2)∵全集为R,A={x|3≤x<7}, ∴∁RA={x|x<3,或x≥7}. (3)∵A∪B={x|2<x<10}, ∴∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0},B={x|1<x≤3},则下列判断正确的是 A.A∪B=B B.(∁RB)∪A=R C.A∩B={x|1<x≤2} D.(∁RB)∪(∁RA)={x|x≤1或x>2} √ √ 由x2-3x+2≤0,即(x-2)(x-1)≤0,解得1≤x≤2, 所以A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}, 由B={x|1<x≤3},所以A∪B={x|1≤x≤3},故A错误; A∩B={x|1<x≤2},故C正确; 又∁RB=(-∞,1]∪(3,+∞),所以(∁RB)∪A=(-∞,2]∪(3,+∞),故B错误; ∁RA=(-∞,1)∪(2,+∞),所以(∁RB)∪(∁RA)=(-∞,1]∪(2,+∞),故D正确. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(∁RA)∩B={2},A∩(∁RB)={4},则a+b=____________.  - 由条件(∁RA)∩B={2}和A∩(∁RB)={4},知2∈B,但2∉A;4∈A,但4∉B. 将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程得 即 解得a=,b=-,则a+b=-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.设全集U=R,集合A={x|x≤1,或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁UA)≠⌀,求实数k的取值范围. ∵A={x|x≤1,或x≥3}, ∴∁UA={x|1<x<3}. 若B∩(∁UA)=⌀,则k+1≤1或k≥3, 即k≤0或k≥3, ∴若B∩(∁UA)≠⌀,则0<k<3. 故实数k的取值范围是{k|0<k<3}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.(多选)已知全集U的两个非空真子集A,B满足(∁UA)∪B=B,则下列关系一定正确的是 A.A∩B=⌀ B.A∩B=B C.A∪B=U D.(∁UB)∪A=A √ √ 令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},满足{∁UA}∪B=B, 但A∩B≠⌀,A∩B≠B,故A,B均不正确; 由(∁UA)∪B=B得∁UA⊆B, 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 ∴U=A∪(∁UA)⊆(A∪B), ∴A∪B=U,故C正确; 由∁UA⊆B得∁UB⊆A, ∴(∁UB)∪A=A,故D正确.故选CD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}. (1)若(∁RA)∪B=R,求a的取值范围; 因为A={x|0≤x≤2}, 所以∁RA={x|x<0,或x>2}. 因为(∁RA)∪B=R, 所以解得-1≤a≤0. 所以a的取值范围为{a|-1≤a≤0}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)是否存在实数a使(∁RA)∪B=R且A∩B=⌀? 因为A∩B=⌀, 所以a>2或a+3<0, 解得a>2或a<-3. 由(1)知,若(∁RA)∪B=R,则-1≤a≤0, 故不存在实数a使(∁RA)∪B=R且A∩B=⌀. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $