1.4充分条件与必要条件 课时2 习题课课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4 课时2 习题课 作者编号：32100 1.通过不同题型的练习，进一步理解充分条件与必要条件的概念. 2.通过不同题型的练习，熟练分辨充分条件和必要条件与集合的关系. 学习目标 作者编号：32100 条件p 结论q p能否推q q能否推p p与q的关系 x=1 x3=1 p是q的________________条件 x>2 x2>4 p是q的________________条件 ab=0 a=0 p是q的________________条件 |a|>|b| a>b p是q的________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 填一填： 复习导入 作者编号：32100 命题的分类 p与q的关系 结论 从集合角度理解 p是q的充要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的既不充分也不必要条件 p⟹ q p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. pq，且qp pq，且qp pq，且qp pq，且qp 作者编号：32100 例1 是否存在实数，使“”是“或”的充分条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：令或 由，得 当时，即即 此时或 ∴当时，是或的充分条件. 题型1：充分条件的应用 能否用集合表示它们的关系？ 典型例题 作者编号：32100 例2 设集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|1－m<x<m＋1，m＞0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B. (1) 若p是q的充要条件，求正实数m的值； (2) 若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 3 题型2：充要条件的应用 先分别用集合表示 它们的关系再求参数. 作者编号：32100 设集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|1－m<x<m＋1，m＞0}，命题p：x∈A， 命题q：x∈B. (2) 若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 作者编号：32100 思考：已知集合P={x|6≤x≤8}，Q={x|x>5} 若命题 p：x∈P，命题q：x∈Q 易知：p 是 q 的 条件 充分不必要 那么这个关系可以表述为： q 的充分不必要条件是 p吗？ 例如：A是 B 的儿子 B的儿子是A 可以 新知讲解 作者编号：32100 例3 已知集合P={x|a＜x≤8}，Q={x|x>5}，若命题 p：x∈P是命题 q：x∈Q，若q 的充分不必要条件是 p，求 a 的取值范围 . p是q 的充分不必要条件 √ 充分 小范围 大范围 P Q 不必要 × a ≥ 5 典型例题 作者编号：32100 例4 “x2<9”的必要不充分条件是________． A.0<x<3 B.1<x<3 C.﹣3≤x≤3 D.﹣3<x<3 C 大 即_____是“x2<9”的必要不充分条件． 即_____是“-3<x<3”的必要不充分条件． 小 作者编号：32100 即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切． 则OP=d,若d=r,则点P在⊙O上． 分析：设p：d=r ，q：直线l与⊙O相切． 要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可. 证明：(1)充分性(pq)： 如图，作OP⊥l 于点P, O P Q l 在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ． 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r． 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部， 直线l和圆有唯一公共点 例5 已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 求证：d＝r是直线l与圆O相切的充要条件． 需要同时证明充分性与必要性，此时的条件和结论分别是什么？ 作者编号：32100 11 若直线l与⊙O相切， 不妨设切点为P，则OP⊥l． 因此，d=OP=r． 由(1)(2)可得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件． (2)必要性(qp) 例5 已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 求证：d＝r是直线l与圆O相切的充要条件． O P Q l 作者编号：32100 12 充要条件的证明思路 一般地，证明“p成立的充要条件为q时”，应证明两个方面： (1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p (2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q 方法归纳 作者编号：32100 pq，且qp pq，且qp pq，且qp p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的既不充分也不必要条件 pq，且qp p是q的充要条件 p⟹ q，则p 是 q 的 条件，q 是 p 的 条件. p 是 q 的 条件，可以表述为：q 的 条件是p 充分不必要 充分不必要 充分 必要 本课小结 作者编号：32100 1.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD. 分析：设p： AC=BD. 充分性: AC=BD梯形ABCD为等腰梯形.  AB=CD q：梯形ABCD为等腰梯形. 必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD. 当堂检测 作者编号：32100 2.已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 当堂检测 作者编号：32100 3.问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？ 在①充分不必要条件、②必要不充分条件、③充要条件，这三个条件中任选一个补充在上面的问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由. 解：由题意知A＝{x|0≤x≤4}， 若选①，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得a≥3， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}. 当堂检测 作者编号：32100 若选②，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得0<a≤1， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|0<a≤1}. 若选③，则A＝B， 所以1－a＝0且1＋a＝4， 又a>0，方程组无解， 所以不存在满足条件的a. 当堂检测 作者编号：32100 AB 解：（1）由A＝{x|－1<x<3}，p是q的充要条件，得A＝B， 即解得m＝2. (2)由p是q的充分不必要条件，得AB， 所以或解得m＞2， 故实数m的取值范围是{m|m>2}． 【解答】设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝，因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－≤－2，即m≥8，所以实数m的取值范围为{m|m≥8}． $