惠州市光正实验学校2026-2027学年高二上学期数学周测试卷（10月11日）

惠州市光正实验学校2026-2027学年高二数学周测（10月11日） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．若向量且，则实数（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 4．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线，的方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体中，直线与之间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 9．若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．  B．  C．   D．   10．已知空间向量，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知直线的斜率分别为，且，则________． 13．已知、，设点、在平面上的投影分别为、，则向量的坐标为____________ 14．已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 4、 解答题：本题共2小题，共27分. 15．（13分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．(14分)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证明：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《惠州市光正实验学校2026-2027学年高二周测（10月11日）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B D C B B AB ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，故. 2．C 【分析】根据数量积的坐标表示计算． 【详解】由题意，． 故选：C． 3．C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 4．B 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 5．D 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 6．C 【解析】根据向量的夹角直接计算即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为异面直线，所成角为锐角或直角， 所以异面直线，所成角的余弦值为， 故选：C 7．B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 8．B 【分析】建系，求利用空间向量设两条直线上的点为，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 可得， 设，则， 可得，即， 故， 同理可得：， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 对，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当，即时等号成立， 即直线与之间的距离是. 故选：B    【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系处理问题的基本步骤： （1）建立适合的坐标系并标点； （2）将图形关系转化为数量关系； （3）代入相应的公式分析运算. 9．AB 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故错误； 对于：，所以，故错误. 故选：. 10．ABD 【分析】A 选项，根据平行得到比例关系，进而求出 ；B选项，根据垂直得到向量数量积为0，进而可求出； 选项，利用模长公式可求出 ；选项，先求出两向量夹角余弦，再由同角三角函数关系得到正弦值． 【详解】，则，可得对； B：，则，可得对； C：，所以，可得或，C错； D：，则，故，则对. 故选：ABD 11．ABD 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，可确定点P所处的位置，找出特殊点，说明，即可判断，对于D，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量的数量积的运算求出相应的参数值，即可判断. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：    设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 12．/ 【分析】根据直线垂直的斜率关系直接求解即可. 【详解】因为， 所以． 故答案为：. 13． 【分析】根据题设有，利用向量的坐标表示求结果. 【详解】由题设，故. 故答案为： 14． 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和，，则. 向量在上的投影长度. 根据勾股定理，点到直线的距离. 15．(1)因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行判定定理和面面平行的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16．(1)因为平面平面，， 所以平面.因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）由平面平面得平面即可得证； (2)建立空间直角坐标系，由平面与平面的夹角为得点的坐标，利用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接.因为，所以. 因为平面平面，所以平面. 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设，平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为，所以，所以. 设平面的法向量为， 因为，， 所以 令，得. 因为，所以点到平面的距离. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $