广东广州市第八十六中学2026-2027学年高二上学期数学周测试题（10.8)

广东广州市第八十六中学2026-2027学年高二上学期数学周测试题参考答案（10.8） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B B B D B D A ACD BD ABD 1．D【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得.因此实数. 2.B【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在，则其斜率为，由题意得，，解得，由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 3．B【详解】因为直线的一个方向向量为，又与直线垂直，所以，解得，所以直线，所以到直线的距离为. 4.B【详解】∵二面角的大小为，，，∴，. 由题意得，， ， ∴，∴，即线段的长为.故选：B. 5.D【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由顺时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴顺时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.    6.B【详解】，， ，则直线所在方程为，整理得，直线与直线平行， 直线与直线间距离为， 7.D【详解】设，因为，且，所以. 又因为，，所以，解得，因此. 8．A【详解】在直三棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，设平面和平面的法向量分别为， 则，，取，得， 因此，由图知平面与平面所成的二面角为钝角 所以平面与平面所成的二面角的余弦值为. 9．ACD【详解】对于A，设，即①， 是空间的一个基底，故①式无解，所以也是空间的一个基底，A正确； B选项，在三棱锥中，，B错误； C选项，异面直线所成夹角范围为， ，则异面直线与所成角的余弦值为，C正确； D选项，若空间向量与的夹角为锐角，则且不同向共线， 其中，解得，令，即，故，方程组无解，所以不同向共线， 综上，实数的取值范围是，D正确 10．BD【详解】对于A，由题意得，所以斜率存在，故A错误； 对于B，直线的方向向量为，所以为直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，令，，所以直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，由，所以，所以，设直线的倾斜角为，所以，所以，故D正确. 11．ABD【详解】因为为的中点，，所以，又有是的中点，所以， 由，可得，又，平面， 所以平面，因为平面，所以，故A正确； 由题可知，是直线与所成的角或其补角，由平面，可得平面平面， 则点在平面上的投影在直线上，且， 当点在平面上的投影为点时，取得，故B正确； 当时，即，又，，平面， 所以平面，建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，为轴， 则各点坐标为：，因为是中点，，所以，设外接球球心为，由得， 所以球心，恰好是点，外接球半径，外接球表面积 ，故C不正确； 三棱锥 的体积 , 以 为底面，点到平面 （即平面 的距离为高 )， 高 ，在 中，分别是 的中点，所以 ，相似比为 ，所以 ，体积 .D正确. 12.【详解】直线可化为：，则. 13.【详解】因为四点共面，所以，使得， 即，又， 故，所以. 14．【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 .当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 15.(1)7；(2)19或13.【详解】（1）向量，由，得，解得， ，而，则，所以. （2）由，得，即，解得，由，得，解得，当时，；当时，，所以值是19或13. 16.(1)(2)(3)． 【详解】（1）设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，所以，解得，即点的坐标为． （2）设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，所以，解得，即点C的坐标为．易知， 故边所在直线的方程为，即． （3）由（1）（2）及已知可知，易得， 故，从而可知的平分线所在直线的一个方向向量是，即角平分线所在直线的斜率为1，故角平分线所在直线的方程为，即． 17．(1)证明：因为四边形为矩形，所以．因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面． 又平面，所以，又，所以，且平面， 所以⊥平面．因为平面，所以平面⊥平面． （2）因为四边形为矩形，四边形为梯形，，所以． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴，又平面．过点作的平行线为轴，如图： 因为，，，所以，在梯形中，取的中点，连接， 因为，，为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，，因为，所以四边形为矩形，则，所以， 所以点，则，设平面的一个法向量为， 则令，得，所以． 设平面的一个法向量为，则， 令，得，所以．所以， 由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为． 18．(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为，；因为直线的斜率为．设直线的倾斜角为， 则；所以直线的倾斜角为； （2）如图，当点D在第一象限时，，． 设，则，解得，故点的坐标为； （3）由题意得为直线的斜率． 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，．故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 19．(1)证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面，因为、分别为、的中点，所以，因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． （2）解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； (3)假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市第八十六中学2026-2027学年高二上学期数学周测试题（10.8) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线：，：．且，则实数（   ） A． B． C． D． 2．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 4．如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 5．已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．已知直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点D，则平面与平面所成的二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的有（    ） A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B．在三棱锥中， C．若，则异面直线与所成角的余弦值为 D．若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率可能不存在 B．直线的一个方向向量为 C．直线在轴上的截距为 D．当，则直线的倾斜角的取值范围为 11．将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形，其中，，，．现将沿着折起，连接，得到图3所示的三棱锥，，的中点分别为，．记二面角的平面角为，下列结论正确的是（    ） A． B．存在使得直线与所成的角为 C．当时，三棱锥的外接球表面积为 D．当时，三棱锥的体积为 三、填空题 12．直线与直线间的距离为__________. 13．已知四点共面，对空间任意一点，若，则______. 14．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题 15．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 16．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求点的坐标；(2)求边所在直线的方程；(3)求的平分线所在直线的方程． 17.如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，． (1)求证：平面⊥平面． (2)若，求二面角的余弦值． 18．已知坐标平面内四点，，，． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围． 19．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是， 若存在求出的值，若不存在，说明理由． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $