精品解析：江苏省姜堰第二中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025~2026学年高二年级第二次月检测 数学试题 考试时间：120分钟：满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出、的值，可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 2. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导函数逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：C. 3. 等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把等比数列各项用基本量和表示，根据已知条件列方程即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得：， 即：， 所以，， 又，所以，， 所以，. 故选：A. 4. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，得出函数的单调区间，根据函数的单调性及最小值即可的出答案. 【详解】解：，当时，，则在上是减函数， 当时，，则在上是增函数， 所以，而. 故选：C． 5. 设，若函数有大于零的极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，由导函数有大于0的变号零点求解即可. 【详解】函数，求导得， 依题意，函数有大于0的变号零点，即方程有正根， 此时，因此. 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆的方程为，代入点的坐标求出圆的方程，即可得到圆心坐标与半径，再求出直线过定点，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】设圆的方程为， 则，解得，所以， 即圆，则圆心为，半径； 又直线，即，令，解得， 所以直线过定点，又点与圆心在直线（斜率不存在）上， 又，所以，当且仅当直线的斜率时取得， 又无最大值，且无限接近圆的直径， 所以． 故选：C． 7. 已知抛物线（），O为原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线与抛物线交于点A，B，直线AO，BO分别交抛物线的准线于点C，D，则为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，联立方程组求得，得到，由抛物线的定义，得到，再由的方程为，求得，证得，同理可得，求得，即可求解. 【详解】如图所示，由抛物线，可得，准线方程为， 则过抛物线C的焦点F作斜率为的直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，则且， 则， 根据抛物线的定义，可得， 又由，所以直线的方程为， 令，可得， 因为，可得，所以，同理可得， 所以， 所以. 故选：A. 8. 已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，分为偶数和奇数讨论，当为偶数时，可得，当为奇数时，可得，结合条件分析得解. 【详解】因为， 当为偶数时，， 且时，； 当为奇数时，， 且时，； 由对任意，， 故当为偶数时，；当为奇数时，， 则实数只能为1. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为-1 B. 过点且不垂直轴 C. 若， 则或 D. 若， 则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据截距的含义、两直线平行、垂直与斜率的关系进行逐项判断计算即可. 【详解】对于A：直线，令，则， 所以在轴上的截距为-1，A正确； 对于B：直线，将点代入方程中发现等式左边不为0， 所以该点不在直线上，B错误； 对于C：因为，所以，化简得， 解得或，当时，直线，直线， 两直线重合，C错误； 对于D：因为，所以，即，解得，D正确. 故选：AD. 10. 已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的前10项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设条件求出数列的公差，易得通项和前项和，易于判断A,B两项；对于新数列，可以通过项的列举找到公共项，易得其通项，判断C项；对于D项，因数列的通项易于裂项，故运用裂项相消法求和即得. 【详解】设等差数列的公差为，，由解得：， 故，，故A项正确，B项错误； 将数列列举出来为： 数列列举出来为： 故共同项依次有：,即， 故，则，C项正确； 因， 其前10项和为．故D项正确. 故选：ACD. 11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值点为 B. 有且仅有3个零点 C. 点是的对称中心 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据的解的情况，可判断C项；由对称中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项. 【详解】由题意知. 令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增； 令，解得，所以在上单调递减. 又，. 所以，在处有极大值，在处有极小值. 所以的极大值点为-2，A项错误； 又极大值，极小值，作出的图象， 有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确； ，令，解得， 又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确； 因为点是的对称中心，所以有，即. 令， 又， 所以 ，，所以.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆和圆，则两圆的公切线有_____条． 【答案】3 【解析】 【分析】 确定圆心坐标与半径，可得两圆相外切，从而可得到结论． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 圆的圆心坐标为，半径为3， 则两圆的圆心距为， 两圆外切， 两圆公切线的条数为3条． 故答案为：3． 13. 已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则， 从而. 设的左焦点为，连接， 由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得， 解得. 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 14. 若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间、最值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为；最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率即可求得切线方程； （2）利用导数的符号即可得出在上的单调区间，再由最值的定义计算可得结果. 【小问1详解】 易知函数的定义域为，则， 所以切线斜率为，又， 因此所求切线方程为，即； 【小问2详解】 令可得或； 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值为， 又，即在上的最小值为； 即函数在上的单调递增区间为，单调递减区间为， 最小值为，最大值为. 16. 已知点，为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程； （2）若直线与交于，两点，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据，列出关于的关系式，化简得的标准方程； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，可求得的值. 【小问1详解】 设，因为，所以， 则，即， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知曲线为一个圆，且圆心为，半径为2. 因为圆心到直线的距离. 由，得. 所以，化简得. 所以. 17. 已知函数 （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到单调性和极值情况； （2）求导，得到导数的零点或，因为，所以，从而求出函数单调递增区间. 【小问1详解】 当时，，定义域为R，， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为； 【小问2详解】 ， 令得或， 因为，所以， 令得或， 所以的单调递增区间为，. 18. 若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. （1）若等差数列满足，证明：是“T数列”； （2）设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有若存在，求数列的通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 【答案】（1）设等差数列的公差为，由，得，即， 由，得，则，即， 联立解得，所以等差数列是“T数列”. （2）（）；（）存在，，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出及公差，再利用“T数列”的定义判断得证. （2）（）利用已知，结合求出通项公式；（）假定存在，利用“T数列”的定义，结合恒成立的不等式推理判断得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，而， 因此数列构成公比和首项均为的等比数列，所以 （）假设存在“T数列”满足存在正整数m，对于任意， 当时，恒有，数列的公差为， 当时，， 当时，若，则，即，而，因此， 此时，任意，当时，恒有， 即，于是对恒成立， 设，则，由，得，数列递增， 而，则当，此时均成立， 即，所以，存在m的最大值为 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； （3）是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 如图： 由得直线的斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程，得， ∵，∴所以直线与椭圆相切，且， 即线段的垂直平分线与恰有一个公共点. （3）存在，证明如下： 假设符合条件的圆存在，由（2）知在圆上， 由对称性知也在圆上，关于右顶点的对称点也在圆上. 因为线段的垂直平分线为， 线段的垂直平分线上的点满足：， 化简即得的垂直平分线方程为. 由，且， 所以过三点的圆的方程为. 如图： 下面证明此圆符合题目条件： 设在圆上，∴， 当时，的垂直平分线方程为或与椭圆相切，符合条件； 当时，的垂直平分线方程为， 设，由得， ∵ ， ∴的垂直平分线与椭圆相切. ∴满足条件的圆存在，其方程为. 又由韦达定理得切点的横坐标， 的纵坐标，∴， ∴， ∴三点共线. 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点. （3）先结合（2）的结论，猜测圆的方程.设为圆上动点，写出线段中垂线方程，与椭圆方程联立，利用判断圆存在.再结合韦达定理求点坐标，利用斜率证明、、三点共线. 【小问1详解】 因为椭圆左、右焦点分别为，所以， 又因为椭圆的离心率为，得，∴， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高二年级第二次月检测 数学试题 考试时间：120分钟：满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设，若函数有大于零的极值点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知抛物线（），O为原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线与抛物线交于点A，B，直线AO，BO分别交抛物线的准线于点C，D，则为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为-1 B. 过点且不垂直轴 C. 若， 则或 D. 若， 则 10. 已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的前10项和为 11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值点为 B. 有且仅有3个零点 C. 点是的对称中心 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆和圆，则两圆的公切线有_____条． 13. 已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为_____. 14. 若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间、最值. 16. 已知点，为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程； （2）若直线与交于，两点，且，求. 17. 已知函数 （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间. 18. 若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. （1）若等差数列满足，证明：是“T数列”； （2）设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有若存在，求数列的通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； （3）是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $