精品解析：湖南长沙市南雅中学2026-2027学年九年级上学期第一次数学作业检测

2026年下学期第一次作业检测 数学科目 本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题10小题，共30分） 1. 下列“幼圆字体”汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】解：A.该选项汉字是轴对称图形； B.该选项汉字不是轴对称图形； C. 该选项汉字不是轴对称图形； D. 该选项汉字不是轴对称图形． 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：∵ 科学记数法要求，原数， 将小数点向左移动11位，得到， ∴ ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项的判断及合并同类项的法则依次计算判断即可． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意， B、与不是同类项，不能合并，不符合题意， C、，计算正确，符合题意； D、与，不是同类项，不能合并，不符合题意， 故选：C． 【点睛】题目主要考查同类项的判断及合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题关键． 5. 下列调查中，最适宜采用普查方式的是（　　） A. 对我国中学生视力状况的调查 B. 检查某批次手机电池的使用寿命 C. 对春节期间居民出行方式的调查 D. 旅客乘坐飞机前的安全检查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、对我国中学生视力状况的调查，范围广，人数众多，适宜采用抽样调查，故A不符合题意； B、检查某批次手机电池的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，故B不符合题意； C、对春节期间居民出行方式的调查，范围广，人数众多，适合抽样调查，故C不符合题意； D、旅客乘坐飞机前的安全检查，涉及安全性，适合普查，故D符合题意； 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，函数的图像经过（ ）象限． A. 第一、第二、第三 B. 第二、第三、第四 C. 第一、第三、第四 D. 第一、第二、第四 【答案】D 【解析】 【分析】首先找到函数经过的两个点，画出函数的图像，通过观察即可得到答案． 【详解】解：函数， 当时，，故函数经过点， 当时，，故函数经过点， 函数图像如下图： 由图可知函数经过第一、第二、第四象限， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，找到函数经过的两点画出函数图像是解答本题的关键． 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴． 8. 如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴． 9. 某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 则第一次降价后的价格为：， 第二次降价后的价格为：， 故， 故选C． 10. 抛物线的对称轴是直线，与轴交于，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点位置等知识即可判断①；抛物线与轴的另一个交点为，据此即可判断②；抛物线上的点离对称轴直线越远，函数值越大，据此即可判断③；抛物线与直线，没有交点，据此即可判断④；当时，，当时，，据此即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴是直线，与轴交于， ∴，抛物线与轴的另一个交点为， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的另一个交点为， ∴，故②错误； ∵抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴直线越远，函数值越大， ∵和是抛物线上的两点，，即， ∴，故③错误， ∵抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴抛物线与直线没有交点， ∴关于的方程无实数根，故④正确； ∵当时，，当时，， ∴，， ∴， 即， 即，故⑤正确． 综上可知，正确结论的个数是3． 二、填空题（本大题6小题，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式，两项的公因式是，利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：. 12. 当__________时，式子有意义． 【答案】 【解析】 【详解】解：由已知，当时，式子有意义， ∴． 13. 如图，在中，是的中线，E，F分别是，的中点，连接，已知，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线的性质和三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得是的中位线， ， ， ， 是的中线， ． 14. 如图，已知反比例函数（为常数，）的图象经过点，过点作轴，垂足为．若的面积为1，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，利用的面积为1求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点， 设， ∵轴，的面积为1， ∴， ∴． 15. 若，是方程的两个实数根，则__________． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：由已知，， ∴． 16. “洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一、图1即洛书，将其圆圈个数按顺序填入正方形方格中，就得到了一个幻方（图2）即满足每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的三个数字之和都相等．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个幻方，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜对角线上的三个数字和与最后一行的三个数字之和相等求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 移项得， ∴． 三、解答题（本大题9小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解： ， 当，原式． 19. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ． ， 是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据作图得到，结合已知，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形来证明． （2）结合作图可知垂直平分，结合等边三角形性质求出，算出，再由计算结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形，， ． 由作图可得，， ∴垂直平分． ． ， ． ． 20. 某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各10名参赛同学的竞赛成绩（单位：分） 【数据收集】 八年级：80，80，80，70，70，100，100 九年级：70，90，90，80，70，90，80 【数据整理】 绘制成如下两幅不完整的统计图． 【数据分析】 年级 众数 中位数 平均数 八年级 a 80 84 九年级 90 90 b 根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题． （1）扇形图中 ，表中 ，并补全条形统计图； （2）请计算表中b的值（需写出计算过程）； （3）若九年级共有100名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分？ 【答案】（1）20，80； 补充条形图如下， （2）； （3）大约共有20名同学在此次竞赛中拿到了满分． 【解析】 【分析】（1）用70分的人数除以样本容量10可得的值；根据中位数的定义可得的值；用样本容量10分别减去其它分数的人数可得90分的人数，进而补全条形统计图； （2）根据平均数的计算方法解答即可； （3）用100乘样本中拿到满分的学生所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意得70分学生的占比为：，故， 八年级10名参赛同学的竞赛成绩中80出现的次数最多，故众数； 故答案为：20，80； 【小问2详解】 解：九年级的平均分： （分， 故平均数； 【小问3详解】 解：（名， 估计九年级参加竞赛的同学中，大约共有20名同学在此次竞赛中拿到了满分． 【点睛】本题考查用样本估计总体、中位数、众数，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 21. 如图，在中，是上一点，是的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 【答案】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点得到，结合对顶角相等、，证明，得到一组内错角相等，从而证明； （2）由平行线同旁内角互补算出，角平分线求出，再借助三角形内角和计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， 在中，． 22. 橘子洲景区一家文创商店销售一款以“青年毛泽东艺术雕塑”为原型的纪念徽章，每件的进货价为20元．经市场调研：当该纪念品每件的销售价为30元时，每天可销售110件；每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件．为维护长沙旅游城市的良好形象，景区管委会规定：这款纪念徽章每件的销售价不得高于35元． （1）当每件的销售价为31元时，该纪念品每天的销售数量为_________件； （2）设每件纪念徽章涨价x元，每天销售该纪念品获得的利润为w元． ①求w与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当每件的销售价为多少元时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）105 （2）①，自变量x的取值范围为；②当每件的销售价为元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）先计算售价为31元比基础售价30元涨的费用，即可求解对应减少的数量，即可求解该纪念品每天的销售数量； （2）①用每件利润乘以日销售量建立函数关系式求解，再由“这款纪念徽章每件的销售价不得高于35元”建立不等式求解自变量x的取值范围； ②根据二次函数的性质求解最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，该纪念品每天的销售数量为（件）； 【小问2详解】 解：①由题意得， 由得， 故自变量x的取值范围为； ② ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，（元） 此时售价为（元） ∴当每件的销售价为元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为元． 23. 如图，在中，，是边上的中线．过点作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形 （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，是边上的中线， ∴． ∴是菱形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明四边形是菱形； （2）如图，过点作交的延长线于点，先求出，再根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作交的延长线于点， ∵中，，， ∴． ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴，． ∴． 在中，， 由勾股定理，得． 24. 若关于的一次函数与二次函数同时满足，则称函数与函数互为“联络”函数． 如：一次函数与二次函数互为“联络”函数． 根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①一次函数的“联络”函数为．（_____） ②一次函数的“联络”函数的顶点在反比例函数的图象上．（_____） ③关于的一次函数的“联络”函数的图象与轴一定会有公共点．（_____） （2）若关于的一次函数的“联络”函数为，的图象与轴交于不同的两点、，函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同的两点、，记以，，，为顶点的四边形的面积为． ①当，时，求四边形的面积的值； ②当实数时，令，求的取值范围． 【答案】（1）①×；②√；③√ （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得出，，，再结合“联络”函数的定义逐项分析即可得出结果； （2）①当，时，，根据“联络”函数的定义可得，求出，联立得，设，，则，，求出，再由计算即可得出结果；②由题意可得，求出，联立得，设，，则，，求出，，从而可得点、在轴异侧，再根据并结合题意得出，且，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ①对于一次函数，，， ∴，，， ∴“联络”函数为，故①错误； ②对于一次函数，，， ∴，， ∴， ∴“联络”函数为， ∵， ∴顶点坐标为， 在中，当时，， ∴一次函数的“联络”函数的顶点在反比例函数的图象上，故②正确； ③由题意可得，关于的一次函数的“联络”函数， 令，则， ∵， ∴关于的一次函数的“联络”函数的图象与轴一定会有公共点，故③正确； 【小问2详解】 解：①当，时，， 根据“联络”函数的定义可得， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 联立得， 整理得， ∵函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同的两点、， ∴设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∵记以，，，为顶点的四边形的面积为， ∴ ； ②∵关于的一次函数的“联络”函数为， ∴， 令，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 联立得， 整理得， ∵函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同的两点、， ∴设，，则，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴点、在轴异侧， ∵记以，，，为顶点的四边形的面积为， ∴ ； ∵，且， ∴，且， ∴， ∵， ∴， 当时，，当时，， ∴，且， ∴． 25. 已知抛物线：（，，为常数，）与轴交于、两点，与轴交于点，顶点坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点是直线上一动点，将点绕着点顺时针旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请写出点的坐标； （3）将抛物线绕原点旋转得到抛物线，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧），将抛物线上位于直线上方的图象和抛物线上，两点之间（包含，两点）图象记为，点与点都在函数图象上，当时，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3），， 【解析】 【分析】（1）利用顶点式设抛物线解析式，代入求出，再化成一般式． （2）先求点坐标与直线解析式，设，根据坐标绕原点顺时针旋转的变换规则得到，将代入抛物线方程解方程求，得到坐标． （3）根据中心对称变换求出旋转后的抛物线解析式；联立求交点、，用待定系数法求直线解析式；观察、横坐标，发现两点关于直线对称；依据两点横坐标落在图象的不同分段，分三种情况代入对应分段函数表达式，结合列绝对值方程求解，检验结果是否符合对应情况的取值范围，得到的值． 【小问1详解】 解：顶点为， 设， ∵在上， ∴， 解得， ∴抛物线表达式：，即 【小问2详解】 解：中，令，得， 解得，， ，， 设直线：， ∵，， ∴， 解得，， ， 设， ∵点绕原点顺时针旋转得， ∴， ∵在抛物线上， ∴， 解得，， 当，，， 当，，， 坐标为或； 【小问3详解】 解：∵:，将抛物线绕原点旋转得到抛物线， ∴满足， ∴， ∵将抛物线上位于直线上方的图象和抛物线上，两点之间（包含，两点）图象记为， ∴， 联立，得， 解得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式：，把、代入得， ， 解得，， 直线：． ∵， ∴，，，两点关于对称． ∴． 当时，， ，两点都落在对应的图象上； 当时， ， ，落在段，落在段； 当时， ，，两点都落在对应的图象上． 情况①：时， 将代入得， 将代入得， ∴， 由，得， 解得． ，满足本情况范围，有效． 情况②：时， 将代入得，， 将代入得，， ∴， ∴或， 当时，即， 解得． ，，均不满足，舍去； 当时，即， 解得． 舍去；，满足，有效． 情况③：时， 将代入得， 将代入得， ∴ 由，得． ，满足本情况范围，有效． 综上，满足条件的的值为：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期第一次作业检测 数学科目 本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题10小题，共30分） 1. 下列“幼圆字体”汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，最适宜采用普查方式的是（　　） A. 对我国中学生视力状况的调查 B. 检查某批次手机电池的使用寿命 C. 对春节期间居民出行方式的调查 D. 旅客乘坐飞机前的安全检查 6. 在平面直角坐标系中，函数的图像经过（ ）象限． A. 第一、第二、第三 B. 第二、第三、第四 C. 第一、第三、第四 D. 第一、第二、第四 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴是直线，与轴交于，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题6小题，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 当__________时，式子有意义． 13. 如图，在中，是的中线，E，F分别是，的中点，连接，已知，则的长为________． 14. 如图，已知反比例函数（为常数，）的图象经过点，过点作轴，垂足为．若的面积为1，则__________． 15. 若，是方程的两个实数根，则__________． 16. “洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一、图1即洛书，将其圆圈个数按顺序填入正方形方格中，就得到了一个幻方（图2）即满足每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的三个数字之和都相等．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个幻方，则__________． 三、解答题（本大题9小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长． 20. 某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各10名参赛同学的竞赛成绩（单位：分） 【数据收集】 八年级：80，80，80，70，70，100，100 九年级：70，90，90，80，70，90，80 【数据整理】 绘制成如下两幅不完整的统计图． 【数据分析】 年级 众数 中位数 平均数 八年级 a 80 84 九年级 90 90 b 根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题． （1）扇形图中 ，表中 ，并补全条形统计图； （2）请计算表中b的值（需写出计算过程）； （3）若九年级共有100名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分？ 21. 如图，在中，是上一点，是的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 22. 橘子洲景区一家文创商店销售一款以“青年毛泽东艺术雕塑”为原型的纪念徽章，每件的进货价为20元．经市场调研：当该纪念品每件的销售价为30元时，每天可销售110件；每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件．为维护长沙旅游城市的良好形象，景区管委会规定：这款纪念徽章每件的销售价不得高于35元． （1）当每件的销售价为31元时，该纪念品每天的销售数量为_________件； （2）设每件纪念徽章涨价x元，每天销售该纪念品获得的利润为w元． ①求w与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当每件的销售价为多少元时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 23. 如图，在中，，是边上的中线．过点作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形 （2）连接，若，，求的长． 24. 若关于的一次函数与二次函数同时满足，则称函数与函数互为“联络”函数． 如：一次函数与二次函数互为“联络”函数． 根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①一次函数的“联络”函数为．（_____） ②一次函数的“联络”函数的顶点在反比例函数的图象上．（_____） ③关于的一次函数的“联络”函数的图象与轴一定会有公共点．（_____） （2）若关于的一次函数的“联络”函数为，的图象与轴交于不同的两点、，函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同的两点、，记以，，，为顶点的四边形的面积为． ①当，时，求四边形的面积的值； ②当实数时，令，求的取值范围． 25. 已知抛物线：（，，为常数，）与轴交于、两点，与轴交于点，顶点坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点是直线上一动点，将点绕着点顺时针旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请写出点的坐标； （3）将抛物线绕原点旋转得到抛物线，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧），将抛物线上位于直线上方的图象和抛物线上，两点之间（包含，两点）图象记为，点与点都在函数图象上，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $