湖南长沙市一中马王堆中学2026-2027学年上学期 九年级数学第一次学情自测试卷

2026-2027九年级数学第一次随堂练习 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分) 1.汉字是世界上最古老的文字之一，有6000年左右的历史，下列汉字可以看成轴对称图形的是() 勤 学 B. 苦 n练 2.下列计算正确的是() A.axa=a B.a+a=a c.(a2'=a D.a3÷a=a2 3.如图，直线a,b被直线c所截.若a‖b,∠1=50°，则∠2的度数为() A.120° B.130° C.140° D.150° 4.某工厂生产了一批某种型号的机械零件，甲、乙两车间生产的零件质量数据的箱线图如图所示，下列 说法正确的是() 零件的质量/g A.甲车间生产的零件质量的最小值比乙车间低 264F 260 B.甲车间生产的零件质量的中位数比乙车间高 256 248 244 C.乙车间生产的零件第三四分位数比甲车间低 240 甲车间乙车间 D.乙车间生产的零件的质量数据比较集中 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB,连接DB,若 AC=6,BC=3,则CD的长为() 9 A: B.2 e D.3 6.一次函数y=2026x-2026的图象不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0B.2y2-y-3=0 C.5x-2x2+7=0 D.mx2-2x=x2+1 8.将抛物线y=x2+4先向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位，所得到的抛物线是() A.y=(x+3)2+6B.y=(x+3)2+2 C.y=(x-3)2+2 D.y=(x-3)2+6 9.对于二次函数y=-4(x+3)-5的图象，下列说法正确的是() A.对称轴是直线x=3 B.顶点坐标为(-3,5) C.图象与y轴交点的坐标是(0,5) D.当x<-3时，y随x的增大而增大 答案第1页（共17页） 10.如图是抛物线y=x2+bx+c的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线x=1,有下列四个结论： ①abc>0;②a-b+c=0;③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实数根；⑤4a+c<0.其中， 正确结论的个数是(). A.1 B.2 C.3 D.4 3 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.若3<a<10,那么|3-a+|a-10F: 12.不等式-2x-1>5的解是 13.如图，延长正方形ABCD的边BC至E,使CE=AC,则∠AFC=_ 14.某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数解析式是y=-x2+8x+9,且售价x的范围是1≤x≤3， 则最大利润是 15.若关于x的一元二次方程(m-)x2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是 16.如图，二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=x+n(n≠0)有两个交点，交点横坐标分别为 1、3,则关于x的不等式ax2+(b-m)x+c-n≥0的解集为 第13题图 第16题图 三、解答题 17.(6分)计算与解方程 (1)计算：-9-√4+(-2026)： (2)解方程：x2-2x-4=0. 18.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,2),C(-1,1), 345 (1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△4B,C并写出B,的坐标： (2)求△4BC的面积. 答案第2页（共17页） 19.(8分)2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质 蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售.已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克：2只 A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克.求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓， 20.(8分)为了解某校男生在体能测试的引体向上项目的情况，随机调查了α名男生引体向上项目的测试 成绩（单位：次），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图② 人数 请根据相关信息，解答下列问题： 16次 15次 1% 30% (1)填空：α的值为，图①中m的值为 17次 14次 20°% (2)求统计的这组测试成绩数据的平均数、众数和中位数： 1415161718测试成绩/次 图① 图② (3)该校共1200名男生，请估计引体向上项目的测试成绩大于16次的学生人数. 21.(10分)如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB于点E,交 D 边DC于点F,连接AF、CE. (I)求证：四边形AECF是菱形： (2)连接OB,若AD=8,CF=10,求线段OB的长. B 22.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=3cm.动点P从点A出发，沿折线AB-BC以1cm/s 的速度向终点C运动.在运动过程中，连接DP,设点P的运动时间为(s)(t>O),DP扫过的图形面积为 s(cm2）. (I)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围 (2)当DP扫过的图形面积S(cm)由矩形ABCD面积的4扩大到矩形ABCD面积的时，点P运动了多长时 6 间？ P B (备用图) 答案第3页（共17页） 23.(12分)我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点.例如， 对于函数y=x-1,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数y=x-1的零点值，点(1,0)是函数y=x-1的 零点 (1)已知函数y=5x-1,则该函数的零点坐标为 (2)若二次函数y=x2-4x+m有两个零点，求实数m的取值范围： (3)已知二次函数y=2-(4k+1)x+3k+3的两个零点都是整数点，求整数k的值. 24.(12分)如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴相交于点C,直线y=-2x+3经 过点C,与x轴交于点D D D八 B A O B 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上找一点Q,使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标； (3)若M,N为抛物线上的点，横坐标分别为-2，t,且t>-2,点M,N之间（包含端点）的函数图像称 为图像P,设图像P的最高点与最低点的纵坐标分别为4，d42,当d,-d2=2t+6时，求t的值. 答案第4页（共17页） 《2026-2027九年级数学第一次随堂练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 c 0 B B A B A 0 1.C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形， 据此可得答案 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个汉字中只有“苦可以看成轴对称图形 2.D 【分析】根据同底数幂运算、幂的乘方运算法则、合并同类项运算法则，逐项判断即可， 【详解】解：选项A、a×a2=a+2=a≠a5,则A错误： 选项B、d+a3=2a3≠a°，则B错误： 选项C、(a2）=a23=a5≠a,则c错误； 选项D、a2÷a=a1=a2,则D正确 3.B 【分析】由α|b,利用两直线平行，同位角相等可求出∠3的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠2的 度数、 【详解】解：如图所示， .a∥b, .∠3=∠1=50°， 3 又.∠2+∠3=180°， .∠2=180°-∠3=130°. 4.B 【分析】箱线图的最上端与最下端分别对应数据的最大值、最小值，箱体的上下两侧对应第三四分位数和 第一四分位数，箱体中间粗线对应中位数，箱体高度反映数据集中程度，由此逐项判断即可. 【详解】解：由箱线图可知： 甲车间生产的零件质量的最小值比乙车间高，故A选项说法错误，不合题意： 甲车间生产的零件质量的中位数比乙车间高，故B选项说法正确，符合题意： 乙车间生产的零件第三四分位数比甲车间高，故C选项说法错误，不合题意； 甲车间生产的零件的质量数据比较集中，故D选项说法错误，不合题意. 5.A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD=AD,设CD=x,在R1ABCD中利用勾股定理列方程求解. 【详解】解：点E是AB的中点，DE⊥AB,DE垂直平分AB, 答案第5页（共17页） .BD=AD, 设CD=x, ∴.BD=AD=AC-CD=6-x, 在Rt△BCD中，BD2=CD2+BC2, .(6-x)2=x2+32, 解得x9, :.CD=4 9 6.B 【详解】解：.一次函数y=2026x-2026中，k=2026>0,b=-2026<0, 函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限. 7.C 【详解】解：对于A选项，，当a=0时，方程二次项系数为0， .不是一元二次方程 对于B选项，，方程的未知数为y, .不是关于x的方程 对于C选项，整理得-2x2+5x+7=0, ,仅含未知数x,x的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴.是关于x的一元二次方程 对于D选项，整理得(m-1)x2-2x-1=0, 当m=1时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， 不一定是一元二次方程. 8.A 【分析】根据题意，得出二次函数顶点式，进而利用二次函数的平移规律得出答案 【详解】解：，抛物线y=x2+4的顶点坐标为：(0,4)， .把抛物线先向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位， 得到顶点坐标为：（0-3,4+2)，即(-3,6)， .所得到的抛物线是：y=(x+3)2+6: 故选：A 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与平移变换，正确记忆平移规律是解题关键. 9.D 答案第6页（共17页） 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点即可 解答. 【详解】解：，二次函数为y=-4(x+3)2-5, ∴.对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3，-5)， 选项A:对称轴应为直线x=-3,不是x=3,故A说法错误，不符合题意： 选项B:顶点坐标应为(-3，-5)，不是(-3,5)，故B说法错误，不符合题意： 选项C:当x=0时，y=-4×(0+3)2-5=-36-5=-41, ∴.与y轴交点坐标为(0,41)，不是(0,5)，故C说法错误，不符合题意： 选项D:.a=4<0, ∴抛物线开口向下，当x<-3时，y随x的增大而增大，故D说法正确，符合题意. 10.c 【分析】根据二次函数图象，依次判断a<0、b>0、c>0,可判断①；根据抛物线的对称性与过点(3， 0),可得抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0)，可判断②：根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3， 可判断③；由函数y=a2+bx+c与y=-1的图象有两个交点，可判断④：由于抛物线与x轴的一个交点坐 标为(3,0)，可知9a+3b+c=0,再根据b=-2a、a<0推导4a+c<0,可判断⑤；从而可得答案. 【详解】解：，抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， .a<0,c>0, ,抛物线的对称轴为直线x= b=1 2a .b=-2a>0, ∴.abc<0,故①错误； 抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)， .根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（-1,0)， ∴.a-b+c=0,故②正确： 根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误： 由ax2+bx+c+1=0可得ax2+bx+c=-1, 根据图象，抛物线与直线y=1有交点， ∴.ax2+bx+c+1=0有实数根，故④正确； 抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)， ∴.9a+3b+c=0, 答案第7页（共17页） 又，b=-2a, .∴.9a+3×(-2a+c=3a+c=0, a<0, ∴.a+(3a+c)<0,即4a+c<0,故⑤正确. 综上所述，正确的为②④⑤. 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问 题是解题的关键. 11.7 【分析】根据绝对值的性质，判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值化简计算. 【详解】解：，3<a<10, .3-a<0,a-10<0, ∴.3-a+a-10=(a-3)+(10-a=7. 12.x<-3 【分析】按照一元一次不等式的求解步骤计算，注意系数为负数时，不等号方向改变 【详解】解：移项，得-2x>5+1, 合并同类项，得-2x>6, 两边同时除以-2，得x<-3, 13.112.5 【分析】先根据正方形的性质推导出∠ACE=135°，再根据等腰三角形的性质得到∠E=22.5°，然后利用 三角形的外角性质求解即可. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠DCE=∠BCD=90°，∠ACD=45°， ..∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°， CE=AC, ∠E=(180°-∠ACE)=22.5°， ,∠AFC是△CEF的一个外角， .∴.∠AFC=∠E+∠DCE=112.5°. 14.24元 【分析】将二次函数一般式改为顶点式，即得出其当x≤4时，y随x的增大而增大.再结合题意可知当x=3 时，y有最大值，求出最大值即可. 答案第8页（共17页） 【详解】，y=-x2+8x+9=-(x-4)2+25,且-1<0， .该二次函数图象开口向下， ∴.当x≤4时，y随x的增大而增大 ,售价x的范围是1≤x≤3， ∴.当x=3时，y有最大值，最大值为24， 最大利润是24元. 故答案为：24元. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用.熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键. 15.m≤2且m≠1 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0方程有实数解则根的判别式大于等于0，列出两个 不等式求解，合并得到结果 【详解】解：，原方程是关于x的一元二次方程， ∴.二次项系数不为0，即m-1≠0，得m≠1， 原方程有实数解， ∴.根的判别式△=b2-4ac=22-4×(m-1)×1≥0， 解得m≤2， 综上可得m的取值范围是m≤2且m≠1. 16.1≤x≤3 【分析】将不等式变形为ax2+bx+c≥mx+n,即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自 变量的取值范围 【详解】解：关于x的不等式ax2+(b-m)x+c-n≥0可变形为ax2+bx+c≥mx+n, 该不等式的解集即为二次函数y=x2+bx+c的图象在一次函数y=mr+n的图象上方（包括交点）时自变 量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为1,3， 当1≤x≤3时，二次函数y=ax2+bx+c的图象在一次函数y=mr+n的图象上方， .关于x的不等式ax2+(b-m)x+c-n≥0的解集为1≤x≤3. 17.(1)8 (2)x=1+5,x2=1-V5 【分析】(1)分别计算绝对值、算术平方根、零指数幂，再合并计算即可： 答案第9页（共17页） (2)用配方法求解一元二次方程即可. 【详解】(1)解：9-√4+(-2026)° =9-2+1 =8 (2)解：x2-2x-4=0, .x2-2x=4, .x2-2x+1=4+1, (x-1)2=5, ∴.x-1=±V5, 解得：x=1+V5,为2=1-V5. 18.(1)见解析，B(4,2) (2)4 【分析】(1)关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出A,B,C的坐标，依 次连接即可得到△AB,C: (2)采用“割补法”，用包含三角形的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算. 【详解】(1)解：根据对称规律，写出△ABC各顶点关于y轴对称的点的坐标： A(-2,4)关于y轴对称的点为A(2,4), B(-4,2)关于y轴对称的点为B,(4,2), C(-1,)关于y轴对称的点为C(1,), 在坐标系中描出点A、B、C,依次连接，即可得到△AB,C. 2 54-3-2-1O 12345 -3 (2)解：以△ABC的顶点为边界，构造一个长为3、宽为3的矩形（从x=1到x=4,y=1到y=4), 矩形面积为：3×3=9， 答案第10页（共17页） 减去周围三个直角三角形的面积： 以4、B为顶点的三角形面积：2×2×2=2， 以B、C为项点的三角形面积： 2×3x1=1.5. 2×1x3=1.5, 以A、C为顶点的三角形面积： △ABC的面积为：9-2-1.5-1.5=4. 19.A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓 【分析】设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓，根据4只A种礼包和2只B种 礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克”列方程组求解即可. 【详解】解：设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓， 4x+2y=22 依题意得： 2x+5y=23 x=4 解得： y=31 答：A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓. 20.(1)40,25 (2)平均数15.8，众数15，中位数16 (3)360人 【分析】(1)用条形统计图中14次的人数除以扇形统计图中14次的百分比可得a的值：用条形统计图中 16次的人数除以a的值再乘以100%可得m%,即可得m的值； (2)根据平均数、中位数、众数的定义可得答案； (3)用总人数乘以测试成绩大于16次的学生人数所占百分比即可. 【详解】(1)解：由题意得，a=6÷15%=40, 答案第11页（共17页） ∴.m%=10÷40×100%=25%, m=25. 故答案为：40：25， (2)解：平均数=14x6+15×12+16x10+17×8+18×4-15.8, 40 数据15出现的次数最多， 众数是15. 将数据从小到大排序，位于中间的两个数是16和16， 中位数=16+16=16. (3)解：测试成绩大于16次的百分比是20%和10%， ∴.全校测试成绩大于16次的人数大约是1200×(20%+10%)=360（人） 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握平均数、中 位数、众数的定义是解答本题的关键 21.(1)证明：在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点， .ABII CD,OA=OC, .∴.∠OAE=∠OCF, ,EF⊥AC交边AB于点E,交边DC于点F, ∴.EF是对角线AC的垂直平分线， ∴.EA=EC,FA=FC,∠AOE=∠COF=90°， 在△AOE和ACOF中， 「∠AOE=∠COF OA=OC ∠OAE=∠OCF ∴.△AOE≌ACOF(ASA), ∴.EA=FC, ∴.EA=EC=FA=FC, ∴.四边形AECF是菱形： (2)4V5 【分析】(1)依题意得EF是对角线AC的垂直平分线，则EA=EC,FA=FC,∠AOE=∠COF=90°， 进而可证明△AOE≌△COF(ASA)得EA=FC,由此得EA=EC=FA=FC,据此可得出结论； (2)由CF=10得AF=CF=10,在Rt△ADF中，由勾股定理得DF,在RtAABD中，由勾股定理得BD, 答案第12页（共17页） 然后由矩形的性质得OB=。BD. 2 【详解】(1)略 (2)解：如图连接BD,则O为BD的中点， ,CF=10, ∴.AF=CF=10, 在矩形ABCD中，AD=8,MB=CD,OB-BD,∠ADF=∠D1B=90, 在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF=VAF2-AD2=V102-82=6, .∴.CD=DF+CF=6+10=16, ..AB=CD=16, 在RtAABD中，由勾股定理得：BD=VAD2+AB2=V82+162=8√5， :.OB=IBD=45. 2 22.(1)S= (0<1≤6) 2 3t-9(6<1≤9) (2)5s 【分析】(1)分0<t≤6和6<1≤9两种情况建立函数关系式即可： (2)分别求出矩形ABCD面积的号和矩形ABCD面积的。，然后分别代入S=!和S=3-9求出对应的 6 2 时间，再求解时间差即可. 【详解】(I)解：四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=3cm,∠A=∠B=∠C=90°， 3 当0<t≤6时，S=5AP×AD=。t×3=。t: 2 2 当6<t≤9时，DP扫过的图形为四边形ADPB,此时BP=(t-6)cm B 答案第13页（共17页） ÷s=a+i0kB-0-6+3k6=3v-9 S=(0<156) 3t-9(6<t≤9) (2)解：由题意得，S形Bcn=AB×AD=3x6=18cm2, 当5=×18=时，则2-3解得1=s: 9 .39 当S=5×18=15时，则31-9=15，解得1=8s 6 8-3=5s ∴.点P运动了5s. (2)m<4 (3)k=±1 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是 解题的关键； (1)令y=0进行求解即可； (2)令y=0时，则有x2-4x+m=0,然后根据根的判别式可进行求解： 街题意易得x-3&-k-=0,则有=3，名=中=1+，然后向题 k 【详解】(1)解：由题意可令y=0时，则有5x-1=0,解得：x=5: 1 该函数的零点坐标为 故答案为传0小 (2)解：令y=0时，则有x2-4x+m=0, 二次函数y=x2-4x+m有两个零点， ∴.△=b2-4ac=16-4m>0, .m<4; (3)解：由题意得：k≠0， 令y=0时，x2-（4k+1)x+3k+3=0, ∴.(x-3)(x-k-1)=0, 解得：名=3公1计号 答案第14页（共17页） ,二次函数y=2-(4k+1)x+3k+3的两个零点都是整数点， +为整数。 ∴.k=1. 24.(1)y=-x2+2x+3 (2)(1,2) 创225 【分析】(1)求抛物线解析式：设交点式，代入直线与y轴交点坐标求系数。 (2)求Q点坐标：利用抛物线对称性，结合“两点之间线段最短”，求直线BC与对称轴交点. (3)求t的值：分三个区间判断抛物线高低点，代入d,-d2=2t+6列方程，验证解的有效性. 【详解】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3). 由直线y=-2x+3, 令x=0,得y=3, .C(0,3). 将C(0,3)代入y=a(x+1)(x-3),得3=a(0+1)(0-3), 解得a=-1. 因此，抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)抛物线的对称轴为直线x=1+3=1. 2 ,A、B关于对称轴对称， :.AO=BO,C0=AC +CQ+AQ AC+C+BQ. 根据两点之间线段最短得，当C、Q、B共线时，CQ+BQ最小，即△ACQ的周长最小. 设直线BC的解析式为y=c+b, 将B3,0)、C(0,3)代入，得6=3 3k+b=0 k=-1 解得 6=3，即直线BC的解析武为y=-x+3. 将x=1代入y=-x+3, 得y=2,所以Q的坐标为(1,2) 答案第15页（共17页） B (3)抛物线的解析式为y=(x-1)2+4,对称轴为x=1,顶点为(1,4) 将x=-2代入抛物线解析式，得y=-(-2)2+2×(-2)+3=-5,即M(-2,-5). 分三种情况讨论： 情况一：-2<t≤1 此时图像P的最高点为N(,-2+21+3),则d=-2+21+3, 最低点为M(-2,-5),则d2=-5. 由4-d2=2t+6,得(-t2+2t+3)-(-5)=2t+6, 即-2+8=6， 解得t=±V2, 因为-2<t≤1，所以t=-√2(t=V2>1,舍去). 情况二：1<t≤4 此时图像P的最高点为顶点(1,4)，则4，=4， 最低点为M(-2,-5),则d,=-5. 由d,-d2=2t+6,得4-（-5)=2t+6, 解得1（符合1<154. 情况三：1>4 此时图像P的最高点为顶点(1,4)，则d=4, 最低点为N(1,-2+2t+3),则d,=-2+21+3. 由d,-d2=2t+6,得4-(-t+2t+3)=2t+6, 解得1=5（符合t>4)或t=-1（舍去）. 综上所述，t的值为-2、？5。 【点睛】考查知识点：二次函数解析式求法、二次函数对称性与最值、一次函数解析式确定、分段讨论.思 答案第16页（共17页） 想方法：待定系数法、数形结合、分类讨论.熟练掌握二次函数的交点式与顶点式转化；准确判断不同区 间内抛物线图像的最高点和最低点：严格按照取值范围验证解的有效性为解题关键.易错点为坐标代入错 误、区间划分失误、未验证解的合理性. 答案第17页（共17页）