1.3.1 并集和交集课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

并集和交集 第一章 1.3　集合的基本运算 索引 1.理解两个集合的并集与交集的含义. 2.能求两个集合的并集与交集. 3.能使用Venn图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. 学习目标 通过前面的学习,我们知道两实数存在大小关系,两个集合存在包含、相等关系. 观察下面两个图的阴影部分,它们同集合A、集合B有什么关系? 引入 你能否联想实数的运算进行类比,集合是否也有类似的运算? 课时精练 一、并集 二、交集 三、并集、交集的运算性质及应用 课堂达标 内容索引 并集 一 探究1 请同学们观察下列三组集合: ①A={-1,0},B={1,3},C={-1,0,1,3}; ②A={x|x是偶数},B={x|x是奇数}, C={x|x是整数}; ③A={1,2},B={1,3,4},C={1,2,3,4}. (1)集合C中的元素与集合A,B中元素的关系是什么? 提示　集合C中元素是由所有属于A或属于B的元素组成. (2)①中集合C的元素个数等于集合A,B的元素个数的和吗?③中呢? 提示　等于,不等于. 6 1.并集的概念 知识梳理 或 A∪B {x| x∈A,或x∈B} 7 2.并集的运算性质 (1)A∪B=______,A∪⌀=___,A∪A=A. (2)A∪B=A⇔________,A⊆(A∪B). B∪A A B⊆A 8 (1)符号语言“x∈A,或x∈B”包含三种情况:“x∈A,但x∉B”,“x∈B,但x∉A”,“x∈A,且x∈B”,如下图所示: 温馨提示 (2)A∪B仍是一个集合.对概念中“所有”的理解,要注意集合元素的互异性. 9 (链接教材P10例1、例2)(1)已知集合A={-1,1,3,5},B={0,1,3,4,6},则A∪B=__________________.  例1 {-1,0,1,3,4,5,6} ∵A={-1,1,3,5},B={0,1,3,4,6}, ∴A∪B={-1,0,1,3,4,5,6}. 10 (2)已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>5},则M∪N=__________________.  {x|x<-5,或x>-3} 在数轴上表示出集合M,N,如图所示, 则M∪N={x|x<-5,或x>-3}. 11 并集运算的注意点 (1)若集合中元素个数有限,求并集时多根据求并集的定义求解. (2)若集合是无限连续的数集,可利用数轴分析求解,要注意端点应为实心点还是空心点. 思维升华 12 (1)设集合A={1,2},B={2,4,6},则A∪B= A.{2} B.{1,2} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6} 训练1 √ 由A={1,2},B={2,4,6}, 知A∪B={1,2,4,6}. 13 √ (2)设集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B= A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥3} C.{x|x>2} D.{x|x≥2} 集合B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}. 又A={x|2≤x<4}, 所以A∪B={x|x≥2}. 14 交集 二 15 探究2 观察集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={2,3},回答下面的问题: (1)集合A与集合B有公共元素吗?它们组成的集合是什么? 提示　有公共元素,组成的集合是{2,3}. (2)集合C中的元素与集合A,B有什么关系? 提示　集合C的所有元素既属于A,又属于B. 探究3 若A={-1,0,1},B={2,4,6,8},则集合A与B有没有公共元素? 提示　没有公共元素. 16 1.交集的概念 知识梳理 {x| x∈A,且x∈B|} 且 A∩B 17 2.交集的运算性质 (1)A∩B=______,A∩A=A,A∩⌀=___. (2)A∩B=A⇔A___B,(A∩B)⊆A. B∩A ⌀ ⊆ 18 (1)交集概念中的“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素. (2)若A∩B仍是一个集合,两个集合没有公共元素,则二者的交集为⌀. 温馨提示 19 (链接教材P14习题1.3T1与T2)(1)若A={x∈N|1≤x≤10}, B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为________.  例2 {2} 易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}. 20 (2)若集合M={x|0≤x<16},N={x|3x≥6},则M∩N=____________.  {x|2≤x<16} 因为N={x|3x≥6},所以N={x|x≥2}. 由题意M={x|0≤x<16}, 画出数轴如图所示, 所以M∩N={x|2≤x<16}. 21 思维升华 1.若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集. 2.若A,B的元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集. 3.若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示. 22 (1)设集合A={-2,-1,0,1,2},B=,则A∩B= A.{0,1,2} B.{-2,-1,0} C.{0,1} D.{1,2} √ 训练2 集合A={-2,-1,0,1,2}, B=,∴A∩B={0,1,2}. 23 √ (2)已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B等于 A.{2,1} B.{x=2,y=1} C.{(2,1)} D.(2,1) 由 故A∩B={(2,1)}. 24 并集、交集的运算性质及应用 三 25 已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a,且a>0}. (1)若A∪B=B,求a的取值范围; 因为A∪B=B,所以A⊆B,画出数轴(如图). 例3 观察数轴可知≤a≤2. 经检验端点可知符合题意,故a的取值范围为. (2)若A∩B={x|3<x<4},求a的值. 画出数轴如图,A∩B={x|3<x<4}. 观察图形可知即a=3. 在例3(2)中,将条件“A∩B={x|3<x<4}”变为“A∩B=⌀”,求实数a的取值范围. 由于A∩B=⌀,结合数轴(图略)得a≥4或3a≤2. 又因为a>0, 所以a≥4或0<a≤. 故实数a的取值范围是. 迁移1 若将本例中集合A,B变为集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∩B=⌀,求实数a的取值范围. ①若A=⌀,有2a>a+3,∴a>3. ②若A≠⌀,由于A∩B=⌀, ∴解之得-≤a≤2. 综上所述,a的取值范围是. 迁移2 思维升华 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据:A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A. (2)关注点:当集合A⊆B时,若集合A不确定,运算时要考虑A=⌀的情况,否则易漏解. {t|t≤2} 设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}.若M∩N=N,则实数t的取值范围为____________.  训练3 由M∩N=N,得N⊆M.故当N=⌀,即2t+1≤2-t,t≤时, M∩N=N成立. 当N≠⌀时,由图得 解得<t≤2. 综上可知,所求实数t的取值范围为{t|t≤2}. 31 【课堂达标】 1.已知集合M={0,1,3},N={0,3,9},则M∪N= A.{0} B.{0,3} C.{1,3,9} D.{0,1,3,9} √ 由于M={0,1,3},N={0,3,9}, 故M∪N={0,1,3,9}. 2 3 4 1 2.设集合M={x|0<x<4},N=,则M∩N= A. B. C.{x|4≤x<5} D.{x|0<x≤5} √ M∩N=. 2 3 4 1 3.若集合A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是____________.  A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a}, 由A∩B=A,得A⊆B,故a≥2. {a|a≥2} 2 3 4 1 4.已知集合A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},A∩B=,则A∪B=____________.  将x=代入两个方程,得方程组 即可得集合A=,B=, 故A∪B=. 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},则M∩N= A.{2,4} B.{2,4,6} C.{2,4,6,8} D.{2,4,6,8,10} 由题意知M∩N={2,4},故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B= A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} ∵A=,B=, ∴A∪B=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.(多选)满足{1}∪B={1,2}的集合可以为 A.⌀ B.{2} C.{1,2} D.N* √ 由{1}∪B={1,2},故B={2},{1,2},故选BC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.已知集合A={x|-6<2-x<-2},B=,则A∩B= A.{x|3<x<6} B.{x|4<x<6} C.{x|3<x<8} D.{x|4<x<8} 由-6<2-x<-2可得2<x-2<6, 所以4<x<8,所以3<x<6, 所以A={x|4<x<8},B={y|3<y<6}. 所以A∩B={x|4<x<6}.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.已知集合A={1,2},A∩B={1},A∪B={0,1,2},则集合B等于 A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{1} ∵集合A={1,2},A∩B={1}, A∪B={0,1,2}, ∴1∈B,0∈B,2∉B,则B={0,1}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.(多选)已知表示集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N*}关系的Venn图如图所示,则阴影部分表示的集合中的元素有 √ √ ∵M={x|-1≤x≤3},N={x|x=2k-1,k∈N*},∴M∩N={1,3}, 则阴影部分的集合中元素为1和3. A.-1 B.0 C.1 D.3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.已知集合A={x|x≤-1,或x≥3},B={x|a<x<4},若A∪B=R,则实数a的取值范围是 A.{a|3≤a<4} B.{a|-1<a<4} C.{a|a≤-1} D.{a|a<-1} √ 利用数轴,若A∪B=R,则a≤-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.已知集合M={0,x},N={1,2},若M∩N={2},则M∪N=____________.  {0,1,2} 因为M∩N={2},所以2∈M, 而M={0,x},则x=2,所以M={0,2}, 所以M∪N={0,1,2}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.满足{1,3}∩A=A的集合A的个数为____________.  4 由{1,3}∩A=A,知A⊆{1,3}, 所以A=⌀或{1}或{3}或{1,3}, 所以集合A的个数为4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.设集合M={x|-4<x<3},N={x|t+2<x<2t-1,t∈R}.若M∩N=N,则实数t的取值范围为____________.  {t|t≤3} 由M∩N=N,得N⊆M. 故当N=⌀,即t+2≥2t-1,t≤3时,M∩N=N成立; 当N≠⌀时,则无解. 综上所述,t≤3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知集合A={x|x2-px+15=0}和B={x|x2-ax-b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},分别求实数p,a,b的值. 因为A∩B={3},所以3∈A. 从而可得p=8,所以A={3,5}. 又由于3∈B,且A∪B={2,3,5}, 所以B={2,3}, 所以方程x2-ax-b=0的两个根为2和3. 由根与系数的关系可得a=5,b=-6. 综上可得,p=8,a=5,b=-6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.6 √ 依题意A∩B的元素是直线x+y=8上满足x,y∈N*且y≥x的点, 故(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)是A∩B中的元素. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则只参加物理小组的有____________人,同时参加数学和化学小组的有____________人.  5 8 由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组. 因为同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,所以只参加物理小组的有15-6-4=5(人). 设同时参加数学和化学小组的人数为x, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 则只参加数学小组的人数为26-6-x=20-x, 只参加化学小组的人数为13-4-x=9-x. 又总人数为36, 即20-x+x+6+4+5+9-x=36, 所以44-x=36,解得x=8, 即同时参加数学和化学小组的有8人. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1}. (1)若m=-3,求A∩B; 当m=-3时,B={x|-7<x<-2}, 故A∩B={x|-3≤x<-2}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)若A∪B=A,求实数m的取值范围. 因为A∪B=A,故B⊆A, 若2m-1≥m+1,即m≥2, 则B=⌀,符合题意; 若m<2,则解得-1≤m<2, 综上,实数m的取值范围是{m|m≥-1}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.(多选)设不大于x的最大整数为[x],如[3.6]=3.已知集合A={x|[x]=-1}, B={x|0<[2x+2]<3},则 A.A={x|-1≤x<0} B.A∪B= C.[-]=-3 D.A∩B= √ √ A={x|[x]=-1}={x|-1≤x<0},A正确. 由0<[2x+2]<3,得1≤2x+2<3, 则-≤x<,故B=, 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 因此A∪B=, A∩B=,知B错,D正确. 由于-4<-<-3,所以[-]=-4,C错. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.设集合A={2,-1,x2-x+1},B={2y,-4,x+4},C={-1,7},且A∩B=C,求实数x,y的值及A∪B. 由题意,得7∈A,7∈B且-1∈B,所以在集合A中x2-x+1=7, 解得x=-2或x=3. 当x=-2时,在集合B中,x+4=2,又2∈A,故2∈(A∩B)=C, 但2∉C,故x=-2不符合题意,舍去. 当x=3时,在集合B中,x+4=7,所以2y=-1,解得y=-,符合题意, 所以A={2,-1,7},B={-1,-4,7},所以A∪B={2,-1,7,-4}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $