1.4.2充要条件 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过“若p则q”形式命题及逆命题的真假判断实例导入，衔接命题知识与充要条件定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动，融合数学思维（推理能力）与数学语言（符号表达），通过定义法、集合角度等多方法判断（如例3用定义法分析四边形关系），证明题规范充分性与必要性（如例5方程根的证明）。助力学生培养逻辑推理，教师可借系统例题与检测提升教学效率。

1.4.2充要条件 思考： 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集。 命题(1)、(4)与它们的逆命题都是真命题； 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 定义： 2、充分必要条件 一般地，如果既有pq ，又有qp 就记作 p  q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件. 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.(p等价于q) 概括地说，如果p  q，那么p 与 q互为充要条件. 上题思考中，命题(1)、(4)中，p 与 q互为充要条件. 一般地， (1)若p q，则称p是q的充分不必要条件； (2)若p q，则称p是q的必要不充分条件; (3)若p q，则称p是q的既不充分也不必要条件． 知识拓展  ⇍ ⇏⇐ ⇏⇍ 例3、下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； 解：(1)因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以q⇏p， 所以p不是q的充要条件。 (2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即p q，所以p是q的充要条件。 例3、下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (3)p：xy＞0，q：x＞0，y＞0; (4)p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0) 解：(3)因为xy＞0时，x＞0，y＞0不一定成立，所以p⇏q， 所以p不是q的充要条件。 (4)因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p  q， 所以p是q的充要条件。 达标检测 1、设命题甲：0<x<5，命题乙：|x－2|＜3，那么甲是乙的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 A 达标检测 2、设集合A＝{1，a2，－2} ，集合B＝{2，4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的( )条件. A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 A 解：若a＝2，则A＝{1，4，－2}，A∩B＝{4}，满足充分条件要求； 若A∩B＝{4}，则a2＝4，解得a＝2或a＝－2，不满足必要条件要求； 所以“a＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件，选A 方法规律 【1】定义法：(1)分清命题的条件和结论 (2)找推式，判断pq和qp的真假 (3)根据条件和推式得出结论 【2】等价法：将命题转化成为另一个与之等价的且便于判断真假的命题 【3】赋值法：对于选择题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明结论或者推导不成立，但不可用于证明题。 归纳小结：判断充要条件的方法 集合角度研究充要条件 探究：集合的角度判断充分必要条件 设集合A={x|p(x)}和集合B={x|q(x)} ，利用集合的包含关系来判断充要条件 B A B A A(B) 小范围 大范围 p是q的充要条件即A＝B p是q的充分不必要条件即A⫋B p是q的必要不充分条件即B⫋A p是q的既不充分也不必要条件即AB且BA A B A B 或 例4、已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么： ①s是q的什么条件？ ②r是q的什么条件？ ③p是q的什么条件？ 解：利用图示，表示出p，q，s，r之间的关系如下： p q r s     ①因为qr，rs，所以qs；又有sq，所以s是q的充要条件 ②因为rs，sq，所以rq；又有qr，所以r是q的充要条件 ③因为pr，rs，sq，所以pq；又有q⇏p，所以p是q的充分不必要条件 例5、证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac＜0. 分析　解答本题可先确定p和q，再分充分性(由ac＜0推证方程有一个正实数根和一个负实数根)和必要性(由方程有一个正实数根和一个负实数根推证ac＜0)进行证明. 解析：先证充分性：∵ac＜0，∴△＝b2－4ac＞0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实根. 设方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根分别为x1，x2， 则 ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正实数根和一个负实数根. 再证必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正实数根和一个负实数根， ∴△＝b2－4ac＞0， ，∴ac＜0. 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac＜0. 例6、已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． 求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 证明：设p: d=r, q: l与⊙O相切.如图所示. (1)充分性(pq)： 作OP⊥l于点P，则OP=d，若d=r，则点P在⊙O 上，在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O 相切. P Q l O (2) 必要性(qp)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l，因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件. 由“条件”⇒“结论”是证明充分性, 由“结论”⇒“条件”是证明必要性. 证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性. 方法总结 达标检测 2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空： (1)x=y是x2＝y2的_____________ 条件 (2)ab = 0是a = 0 的________________条件 (3)x2>1是x<1的__________________条件 (4)x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件 充分不必要 必要不充分 既不充分又不必要 充要 达标检测 3、若集合A={x|a-2<x<a+2}，B={x|x≤-2或x≥4}，则A∩B=⌀的充要条件是(　　) A.0≤a≤2 B.-2<a<2 C.0<a≤2 D.0<a<2 解析:由A∩B=⌀，得 解得0≤a≤2. 答案:A 达标检测 4、已知集合M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x-a)×(x-8)≤0}，求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件. 解:因为M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x-a)·(x-8)≤0}， 由M∩P={x|5<x≤8}，所以-3≤a≤5， 因此M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}. 达标检测 5、四个电路图如图所示，条件p:“开关S闭合”，条件q:“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是______；p是q的充要条件的电路图是_____. ① ② ③ ④ ①④ ② 解析: 图①，开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，所以p⇒q，但q⇏p，所以p是q的充分不必要条件. 图②，p⇔q，所以p是q的充要条件. 图③，开关S,S1与灯泡L串联，所以p⇏q，q⇒p,所以p是q的必要不充分条件. 图④，开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，所以p⇒q，但q⇏p，所以p是q的充分不必要条件. 6、求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明： (1)必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”． ∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0． (2)充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”． 把x=1代入方程的左边，得a×12+b×1+c=a+b+c． ∵a+b+c=0， ∴x=1是方程的根． 综合(1)(2)知命题成立 课堂小结 (3)判别技巧： ① 可先简化命题； ② 否定一个命题只要举出一个反例即可； (1)充分条件、必要条件、充要条件的概念. (2)判断充分、必要条件的基本步骤： ①认清条件和结论； ②考察 pq 和 p ⇐q 是否能成立。 $