精品解析：山东莒县第三中学2026-2027学年八年级上学期第一次阶段学情自测数学试题

山东莒县第三中学2026-2027学年八年级上学期第一次阶段学情自测数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 剪纸是中国民间传统艺术，下列剪纸图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意. 2. 下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 3. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴． 4. 如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（ ） A. 直线、的交点不一定在上 B. 是等腰三角形 C. 与面积相等 D. 垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：与关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称， 直线和直线的交点一定在上， A选项错误，符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形， B选项正确，不符合题意； 与关于直线对称， ， 与面积相等， C选项正确，不符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点，点C与点为对应点， 垂直平分， D选项正确，不符合题意． 故选：A． 5. 将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，先证明，得到，再根据三角形内角和得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在四边形中，平分，，点在边上，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点作于点，由角平分线的性质可得，证明，则有，同理可得，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，同理可得， ∴， 即， ∴， 故选：． 7. 如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于点；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点．根据以上作图，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察作图过程，得出，是的角平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质得，再运用三角形内角和性质得，根据同位角相等，两直线平行得，即可作答． 【详解】解：依题意，是的角平分线， ∴ 依题意，是的垂直平分线， ∴ ∴ ∴，故D选项不符合题意； 则 ∴，故B选项不符合题意； ∵，是的垂直平分线， ∴ ∴，故A选项不符合题意； 只知道，是的角平分线，是的垂直平分线，得不出的度数，故无法得出之间的关系， 故不一定正确， 故C选项符合题意． 8. 如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，，…进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、是等边三角形， ， ， ，， ，， ， ，，， 以此类推，的边长为， 的边长为， 故选：D． 9. 如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，首先从的周长入手求出，延长至，使，连接，然后利用全等来解． 【详解】解：如图所示，延长至，使，连接， 的周长为2，即， ∵正方形的边长是1， ∴，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ， ∴， 在与中，，，， ∴， ． 故选：B． 10. 如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和同角的余角相等证明全等，可判断①；的长是变化的，而是定值，可判断②；由全等三角形的性质得到，再由线段的和差关系可判断③；根据等边对等角和三角形外角的性质，可判断④． 【详解】解：∵中，，，D是的中点， ，，， ， ， ， ， ，故①正确； ∴， ∴， ∵的长是变化的， ∴的长是变化的，而的长是定值， 和不一定相等，故②错误； ∵， ∴， ，故③正确； ∵， ， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①③④． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 12. 锐角三角形，边的中垂线和的角平分线相交于点，若，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为点，由角平分线的性质可得，，进而得到，由中垂线的性质可得，则，因此． 【详解】解：如图，设的中点为点， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 【答案】90 【解析】 【分析】取格点F，连接，，得到，得到，进而求解即可． 【详解】解：取格点F，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点、过点作于点，若，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案． 【详解】连接、，作于，如图所示： 点在的垂直平分线上， ， 点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 【答案】2或5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； ②当点E在射线上移动时，， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故答案为：2或5． 三、解答题 16. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，， （1）从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：①∵， ∴， 即． ∵， ∴； ③∵， ∴， 即． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），先证明，再根据“边边边”和“边角边”可得结论； 对于（2），根据全等三角形的对应角相等得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 17. 如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的周长． 【答案】（1）证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； （2）13 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出点的坐标； （3）若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 【答案】（1）解：如图，即为所求；     （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据点关于y轴对称点为，则，结合，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中图可得点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 19. 如图，，垂足分别为D，E，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再结合已知条件，可证明，得到，，从而可求出，即得答案． 【详解】解：∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） （2）若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】（1）角平分线的性质， （2）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 日影的长为米． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质可得，然后通过“”即可求证； （2）由是等边三角形，可得，则，通过角平分线的定义可得，所以，从而得，然后通过垂直平分线的判定即可求证； 通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：略； 在中，， ∴（米）， 由知（米）， ∴（米）， ∴日影的长为米． 21. 如图，在等腰直角中，平分交于点D，平分交于点，请完成以下作图与证明： （1）用直尺和圆规，过点作的垂线与交于点，连接（不写作法，只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，求证：． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）证明：∵是等腰直角三角形， ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵平分，， ∴ ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意描述即可作图； （2）先证明，再证明，最后证明，再由全等三角形的性质求证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. （1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）2＜DG＜5 （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 【解析】 【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围； （2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论． 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）略 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线． 23. 【初步探究】 （1）如图1，和都是等腰直角三角形，，连接． ①由题中条件判断与的数量关系： ； ②与是否存在特殊的位置关系？请你证明． 【灵活运用】 （2）将绕点A旋转至如图2所示位置，连接．在（1）中的结论下，若，四边形的面积存在最大值吗？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①； ②，理由如下： 延长交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）存在，最大值是32 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，四边形的面积等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①证明，可得出； ②延长交于点F，根据，得出，从而得到，继而得到，即可； （2）连接交于点G，证明，得出，，得到，可得四边形的面积，根据，得出当时，四边形面积取得最大值，即可． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 （2）解：连接交于点G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形面积取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东莒县第三中学2026-2027学年八年级上学期第一次阶段学情自测数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 剪纸是中国民间传统艺术，下列剪纸图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 4. 如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（ ） A. 直线、的交点不一定在上 B. 是等腰三角形 C. 与面积相等 D. 垂直平分 5. 将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，平分，，点在边上，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于点；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点．根据以上作图，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 12. 锐角三角形，边的中垂线和的角平分线相交于点，若，，则的度数为___________． 13. 如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 14. 如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点、过点作于点，若，，则____________． 15. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 三、解答题 16. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，， （1）从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 17. 如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的周长． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出点的坐标； （3）若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 19. 如图，，垂足分别为D，E，．求的长． 20. 【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） （2）若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 21. 如图，在等腰直角中，平分交于点D，平分交于点，请完成以下作图与证明： （1）用直尺和圆规，过点作的垂线与交于点，连接（不写作法，只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，求证：． 22. （1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 23. 【初步探究】 （1）如图1，和都是等腰直角三角形，，连接． ①由题中条件判断与的数量关系： ； ②与是否存在特殊的位置关系？请你证明． 【灵活运用】 （2）将绕点A旋转至如图2所示位置，连接．在（1）中的结论下，若，四边形的面积存在最大值吗？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $