精品解析：山东省日照市莒县第三中学2025-2026学年八年级上学期第二次阶段性素养数学练习

2025—2026学年度上学期八年级第二次素养练习 数学试题 （时间：120分钟，分值120分） 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和中，，添加下列哪一个条件无法证明（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 5. 如果分式的值为0，则x的值是 A. 1 B. 0 C. －1 D. ±1 6. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A， B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m-1，2n)，则m与n的关系为（） A. m＋2n=1 B. m-2n=1 C. 2n-m=1 D. n-2m=1 7. 已知多项式与的乘积中不含项，则常数b的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如果二次三项式x2-2（m-1）x+16是一个完全平方式，那么m的值是（　　） A. 3 B. -5 C. 3或-5 D. 5或-3 9. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为12的等边，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（ ）个． ①；②；③；④的周长最小值为18；⑤的大小随着点D的移动而变化． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______________． 12. 定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则_____． 13. 如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____． 14. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_________ 15. 如图，在中，，，平分交于点，点分别是线段上的动点，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时要写出必要的文字说明或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 17. （1）解分式方程：． （2）先化简，再求值：，其中a从、1、、2中取一个你认为合适的数代入求值． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． （1）若与关于轴对称，请你在平面直角坐标系中画出，并分别写出点的对应点的坐标； （2）点与点关于轴对称，则______，______； （3）求的面积． 19. 对于任意实数，我们规定：，例如：． （1）填空： ①______， ②若，则______； （2）若，且，求与的值； 20. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，请写出你的结论并证明． 21. 阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题． 例如：， ， ． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值． （3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 22. 综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 23. 如图，为等边三角形，点D是边上的一个动点，点E为延长线上的点，且，过点D作的垂线，交于点F． （1）如图①，若点D是的中点，则与的数量关系为______，和的数量关系为______； （2）如图②，若点D是边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立．请给出证明；若不成立．请说明理由； （3）如图③，若点G和点B关于对称，延接，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期八年级第二次素养练习 数学试题 （时间：120分钟，分值120分） 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图，和中，，添加下列哪一个条件无法证明（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由可得，利用“”可证明，故A选项不符合题意； B、若时，是“”，不能证明，故B选项符合题意； C、若，可利用“”证明，故C选项不符合题意； D、若，利用“”可证明，故D选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断． 【详解】解：①符合因式分解的定义，是因式分解； ②右边不是整式的积，不是因式分解； ③等式左边不是多项式，不是因式分解； ④是整式的乘法运算，不是因式分解， 是因式分解的个数是个， 故选：A． 5. 如果分式的值为0，则x的值是 A. 1 B. 0 C. －1 D. ±1 【答案】A 【解析】 【详解】根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须． 故选A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A， B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m-1，2n)，则m与n的关系为（） A. m＋2n=1 B. m-2n=1 C. 2n-m=1 D. n-2m=1 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， 根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线， ∴CD=CE， ∵点C的坐标为(m-1，2n)且在第一象限， ∴CD=2n， CE= m-1． ∴m-1=2n，即m-2n=1 ． 故选B． 7. 已知多项式与的乘积中不含项，则常数b的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则． 计算乘积 ，合并同类项后，令项的系数为零，解出b即可． 【详解】解：∵ ， 又∵不含 项， ∴， ∴， 故选：A 8. 如果二次三项式x2-2（m-1）x+16是一个完全平方式，那么m的值是（　　） A. 3 B. -5 C. 3或-5 D. 5或-3 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点进行解答即可． 【详解】解：∵多项式x2-2（m-1）x+16是完全平方公式， ∴2（m-1）x是x和4的2倍， ∴m-1=±4， 解得m=-3或5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，掌握并灵活运用“首平方、二倍积、尾平方”成为解答本题的关键． 9. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，找规律．先根据题中给出项找到规律，再写出问题中第二项的系数即可． 【详解】解：由题知， 展开式中含项的系数是． 故选：A． 10. 如图，边长为12的等边，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（ ）个． ①；②；③；④的周长最小值为18；⑤的大小随着点D的移动而变化． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等．根据三线合一定理即可判断①；证明是线段的垂直平分线，得到，再由等边三角形的性质证明，即可判断②③；根据点到直线的距离垂线段最短可知当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，即可判断④；证明，得到即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形，F是边的中点， ∴，故①正确； ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； ∴，故②正确； ∵D在线段上， ∴当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小， ∵等边三角形的边长为12，F是边的中点， ∴， ∴的周长的最小值为，故④正确； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的一共有4个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得且， 解得：且． 故答案为：且． 12. 定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值，乘方运算，根据新定义先求出，代入即可，掌握新定义的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由新定义可知，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 14. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_________ 【答案】a＜8且a≠-1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数求出a的范围即可． 【详解】解：去分母得：2-x-a=2x-6， 解得：x=， 由分式方程的解为正数，得到＞0且≠3， 解得：a＜8且a≠-1． 故答案为：a＜8且a≠-1． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15. 如图，在中，，，平分交于点，点分别是线段上的动点，则的最小值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线的问题，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用含30度角的直角三角形的性质解决问题．从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，过作交于点，交于点， ， 的最小值是的长， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ，，， 在中，， 的最小值为4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时要写出必要的文字说明或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据运用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并同类项即可． （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. （1）解分式方程：． （2）先化简，再求值：，其中a从、1、、2中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，值为 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，以及分式混合运算的运算法则． （1）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） 解得， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2） ， ，，， ，，， 当时，原式． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． （1）若与关于轴对称，请你在平面直角坐标系中画出，并分别写出点的对应点的坐标； （2）点与点关于轴对称，则______，______； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，割补法求三角形面积，解二元一次方程组： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出A、B、C对应点的坐标，再在坐标系中描出，最后顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到方程组，接方程组即可得到答案； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得， 19. 对于任意实数，我们规定：，例如：． （1）填空： ①______， ②若，则______； （2）若，且，求与的值； 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，完全平方公式的变形求值： （1）①根据新定义可得；②根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义得到，即，再根据完全平方公式的变形求出，则． 【小问1详解】 解；①由题意得，， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 20. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，请写出你的结论并证明． 【答案】BF=2CF． 【解析】 【分析】连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF，于是得到结论． 【详解】解：BF=2CF． 证明：连接AF， ∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠B=∠C=30°， ∵EF垂直平分AC， ∴AF=CF， ∴∠CAF=∠C=30， ∴∠AFB=∠CAF+∠C=60°， ∴∠BAF=180°﹣∠B﹣∠AFB=90°， ∴BF=2AF， ∴BF=2CF． 考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 21. 阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题． 例如：， ， ． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值． （3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【答案】（1）2，； （2）有最大值，相应的的值为； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质确定代数式的最值； （2）先提出负号，再变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 【小问1详解】 解：∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ， ∵ ∴， ∴代数式有最大值，相应的的值为； 【小问3详解】 解：∵a，，是的三边长，满足， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 是中最长的边， ∴． 答：的取值范围为． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． 22. 综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】任务1：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷；任务2：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数是解题的关键． 任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，列分式方程求解即可； 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题意得 ，求出；，当，（万元），此时B型无人机（台）． 【详解】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷 由题意可得： 解得： 经检验：是原分式方程的根， 答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷． 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元， 由题意可知： 解得： ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当，（万元） 此时B型无人机（台）． 答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元． 23. 如图，为等边三角形，点D是边上的一个动点，点E为延长线上的点，且，过点D作的垂线，交于点F． （1）如图①，若点D是的中点，则与的数量关系为______，和的数量关系为______； （2）如图②，若点D是边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立．请给出证明；若不成立．请说明理由； （3）如图③，若点G和点B关于对称，延接，若，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2） 解：结论依然成立．理由如下： 如图②中，过点D作，交AB于点H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，，，证明为等腰三角形，即可得出结论； （2）过点D作，证明是等边三角形，推出，进而得到，根据三线合一，得到即可； （3）根据对称，得到，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，． 理由：如图①中 ∵是等边三角形，点D是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图③中， ∵B，G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $