北京市东直门中学2026-2027学年高三上学期10月阶段考试数学试题

北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期阶段考试 高三数学 2026.10 考试时间：120分钟 总分150分 班级________ 姓名________ 学号________ 第一部分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为 A． B． C． D． 3．下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是 A． B． C． D． 4．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则 A．28 B．42 C．56 D．112 6．已知，为非零向量，则“与共线”是“与共线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．在生活中，人们常用声强级（单位：）来表示声强度（单位：）的相对大小，具体关系式为，其中基准值．若声强度为时的声强级为，那么当声强度变为时的声强级约为（参考数据：） A． B． C． D． 8．已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于 A． B． C． D． 9．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的有 ①存在点，使得 ②存在点，使得平面 ③三棱锥的体积是定值 ④不存在点，使得与所成的角为 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 10．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 第二部分 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．在展开式中，的系数为___________． 12．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则此几何体的表面积为___________． 13．已知菱形的边长为4，，，分别是，的中点，则___________；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为___________． 14．设函数，当时，函数的最小值为___________；若无最小值，则实数的取值范围是___________． 15．已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，，．给出下列四个结论： ①当，时，； ②，； ③存在，使得，为等腰直角三角形； ④任取，为递增数列． 其中所有正确的结论是___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为中点，，，． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的余弦值． 17．在中，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 （1）估计软件能正确解答数学问题的概率； （2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； （3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 19．已知椭圆：短轴长为2，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆交于，两点，线段中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知函数的定义域为，，函数．对，曲线在点处的切线方程为． （1）求的最小值； （2）讨论的单调性： （3）已知，求过点且与曲线相切的直线条数． 21．已知各项均为正整数的有穷数列：，满足：，有．若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质． （1）分别判断下列数列是否具有性质； ①：3，1，7，5； ②：2，4，8，16，32． （2）已知数列：2，4，8，16，32，具有性质，求出的所有可能取值； （3）若一个数列：，，…，具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $