北京市首都师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

首师大附中2026-2027学年度10月月考 高三数学试卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数的共轭复数（ ） A． B． C． D． 3．已知，，若和方向相同，则（ ） A． B． C．或 D．或 4．下列函数中，奇函数且单调递增的是（ ） A． B． C． D． 5．下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 6．“”是“为第一或第三象限角”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，则是（ ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 8．在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（都为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A． B． C． D． 9．已知函数．若，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数．则（ ） A．当时，在区间上单调递增； B．对任意实数，都有最小值； C．当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数，都有； D．对任意实数，，存在实数，当时，恒有． 二、填空题（每题5分，共25分） 11．函数的定义域为_____________． 12．已知向量，，若与垂直，则的值为_____________． 13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称．若角终边与单位圆交于点，则_____________． 14．已知，是两个单位向量，．设，若，则和的夹角为_____；若，则的最小值为______． 15．设函数 ①若，则的零点个数为___________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是___________． 三、解答题（共85分） 16．（13分）已知函数． （1）若，求的单调递减区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求在上的最大值． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：是的一个极值点． 17．（13分）在中，， （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①： 条件②：条 件③：的面积为． 18．（14分）2026年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温．为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取40份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （1）从所有参赛学生中抽取1人，估计该学生的成绩低于70分的概率； （2）从所有参赛学生中抽取4人，求2人中成绩低于70分，2人成绩高于90分的概率； （3）从所有参赛学生中随机抽取20人，记为这20人中成绩低于70分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 19．（15分）如图，是边长为4的正方形，平面，，且． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 20．（15分）已知函数． （1）求证：曲线在点处的切线总与直线平行； （2）函数在区间上存在极值点，求的取值范围； （3）讨论在区间上的零点个数． 21．（15分）已知函数 （1）时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数． （ⅰ）当时，求曲线与曲线的交点个数； （ⅱ）如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切．求的值，使得曲线与曲线相切． 学科网（北京）股份有限公司 $