第1—3章期中知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·期中复习专辑系列 第1—3章期中知识与方法清单 高一数学上学期 人教A版（2019） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学生版 使用说明 本清单覆盖人教A版必修第一册第1—3章，按章组织知识与方法，并附12道自检题。 范围说明：只含第1—3章，不含指数与对数函数、函数零点，也不含三角函数与导数。 第1—3章正文按"定义与结论 — 使用步骤 — 常见误判 — 易漏条件"四层展开，每层都是可核对的结论。 自检题每章 4 题。学生版只给题干与作答区；教师版另附组卷网原【答案】【分析】【详解】。 题目均标注来源。 第一章 集合与常用逻辑用语 本章目标 会判断元素与集合的关系，正确使用子集与真子集计数，掌握交并补运算与含参分类讨论，能判断充分必要条件的方向并正确否定命题。 1.1 集合的概念 · 集合是具有某种特定性质的事物的总体；元素是集合中的个体。 · 元素与集合是“属于”关系，记 ；集合与集合是“包含”关系，记 。二者不可混用。 · 集合的三个特性：确定性（对象明确）、互异性（元素不重复）、无序性（书写顺序无关）。 · 空集 是特殊的集合：它是任何非空集合的真子集。 使用步骤 · 判断元素与集合的关系：先看元素是否满足集合描述的性质，再核对互异性。 · 由描述法给出的集合，若结果出现重复元素，要按互异性去重。 常见误判 判断 正误 说明 错 空集没有元素 对 含一个元素，该元素是 本身 对 空集是任何集合的子集 有两个元素 对 解为 −1 与 1，两个根互不相同，不需去重 易漏条件　由 求 a 时， 与 都要检验；由 求 a 时，、1、−1 都要检验。 1.2 集合间的基本关系 · “A 中每个元素都是 B 中的元素”（定义法判定）。 · 真子集 ： 且 。集合相等： 且 。 · 子集与真子集计数：含 n 个元素的集合，子集共 个，真子集 个，非空真子集 个（； 时为0个）。 · 由 必得 ，但反向不能推。 常见误判 · 数子集个数时把空集漏掉：非空子集才是 个。 · 有限集 时，满足 的 C 可在 中任选元素加入 A，共有 个（），包括 ；若另要求 ，则排除 ，共 个。 · 由 直接得 时，须限定为有限集。反例不成立的情形是：，，，结论恰好成立；真正要防的是把"真包含"与"元素数严格增加"混用时忘记 A、B 有限。 1.3 集合的基本运算 · 交集 ：同时属于 A 和 B 的元素全体。 · 并集 ：属于 A 或属于 B 的元素全体。 · 补集 ：全集 U 中不属于 A 的元素全体。 使用步骤 · 含参问题的通用路径：先化简集合，再分类讨论，最后检验边界。 · 等价关系串：。这三条互为充要条件，是含参集合题最常用的一条链。 · 解含参不等式得到集合时，端点开闭必须由不等式是否含等号决定，不能取整猜测。 常见误判 · 由 推 是错的：A、B 互不相交只说明它们没有公共元素，不说明它们已把全集分完。取 ，，，则 ，而 。 易漏条件　由 求参数范围时，只考虑判别式会漏掉 退化为一次方程的情形。 1.4 充分条件与必要条件 · p 是 q 的充分条件：。p 是 q 的必要条件：。p 是 q 的充要条件：。 使用步骤 · 判方向的核心动作是“小范围推大范围”：由条件能推出结论，则该条件充分。 · 化简集合时，把 p、q 各自化简为集合，再用包含关系判断方向。 · 命题否定：全称命题 ，p(x) 的否定是 ，¬p(x)；特称命题的否定是全称。否定后必须改变量词并把结论取反。 常见误判 · 把“必要不充分”与“充分不必要”记反。记忆办法：从 p 出发能推出 q 才是充分。 · 判断充要条件只验证一个方向就下结论，必须双向验证。 · 量词否定时只否定结论而忘记改量词。 1.5 全称量词与存在量词 · 全称命题 ，p(x)：对集合 A 中每个元素都成立。 · 存在命题 ，p(x)：A 中至少有一个元素成立。 使用步骤 · 全称命题为假 存在反例；存在命题为假 所有 结论都不成立，此时转化为恒成立问题求参数。 · 求参数范围时，把“ 恒成立”翻译成“最值比较”，把“ 有解”翻译成“范围相交非空”。 常见误判 · 存在命题为假时漏掉定义域：若 但函数在该点无意义，该取值不能作反例。 · 由 恒成立求参数时只取某个特殊点代入。恒成立要对全体 x 成立，必须用最值。 第二章 一元二次函数、方程和不等式 本章目标 会用不等式性质判断命题真假，理解基本不等式的成立条件与取等条件，联结二次函数、方程与不等式的三者关系。 2.1 等式性质与不等式性质 · 不等式基本性质：两边同加同减仍不等；两边同乘正数方向不变；同乘负数方向改变；两边同除负数必须变号。 · 同向可加、同向相乘（正数范围内）。 使用步骤 · 由 判断结论，核心动作是提公因式定号：，先定 b 的符号再讨论 a−b。 · 命题真假判断题用“举反例”否定，用“作差法”证明。 常见误判 判断 正误 说明 错 需 a、b 同号且 |a|>|b| ， 错 取 ，，则 错 取 ，则 ，方向相反 易漏条件　由 比较倒数：（a、b 同号）时 与 顺序与 a、b 相反； 且 （a 为正、b 为负）时 为正、 为负，仍有 。判断前必须先确定 a、b 同号还是异号。 2.2 基本不等式 · 对 、，有 ，当且仅当 时取等号。 · 文字形式：两数正，其算术平均不小于其几何平均。 · 常用变形：；（a、）；（a、b 同号非零）；（a、）。 使用步骤 · 使用前必须两个量都为正。题目常给 型，必须先换元或变形确认正性。 · 求最值三步：① 换元把式子凑成基本不等式可用的形式；② 套用基本不等式得下界；③ 检验等号成立条件是否在定义域内。第三步最容易漏。 常见误判 · 在 a、b 异号时套用基本不等式。 · 把“”写成“”，或漏掉等号成立条件。 易漏条件　忽略定义域会导致等号取不到。求 （）的最小值：令 ，原式，由基本不等式不小于 ，且当 即 时取到。若条件改成 ，则 而 不在该范围内，取不到 ；此时原式在 (0,1) 上随 t 增大而减小，下确界是 时的 4，而 不属于区间，所以最小值不存在，只有下确界 4。端点不属于定义域时，最值与下确界要分开说。 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 · 二次函数 （），对称轴 ，顶点 。 · 韦达定理： 的两根 、 满足 ，。 · 根的判别式 ： 两不等实根， 两相等实根， 无实根。 · 三者关系：二次函数与方程、不等式本质是同一个问题的三种问法。图象与 x 轴的交点即方程的根；图象在 x 轴上方或下方对应不等式的解集。 使用步骤 · 用交点式 快速定符号：把已知交点代入即可读出 b、c 的符号。 · 由对称轴位置判断单调性，再由两点到对称轴的距离比较函数值大小。 · 解一元二次不等式：先因式分解或配方，结合图象确定区间，注意根的顺序对应开闭。 常见误判 · 由 直接断言 恒成立。还要看开口方向。 · 由两根大小直接写韦达式，忽略与 a 的符号配合。 · 求二次函数最值不看定义域。在闭且有界的定义区间内，比较顶点（若在区间内）和两端点的函数值；开区间或无界区间须另查最值能否取得，例如 在 (1,2) 上无最大值和最小值。 易漏条件　含参二次函数题中，若 a 的取值使二次项系数为零，函数退化为一次函数，须单独讨论。 第三章 函数的概念与性质 本章目标 会求具体函数与抽象函数的定义域，掌握判断两个函数相等的三要素，会用定义法与作差法处理单调性，理解奇偶性与幂函数的条件，能在实际问题中分段求最值。 3.1 函数的概念及其表示 · 函数三要素：定义域、对应法则、值域。两个函数相等要求三要素全等。 · 求 f(a) 的关键是先由 a 定位到 x 值，再代入对应法则。 · 表示法：解析法、列表法、图象法、分段函数。 使用步骤 · 定义域求解步骤：① 分母不为零；② 偶次根式被开方数不小于零；③ 实际问题中的自变量取值范围。 · 由 f(g(x)) 求定义域：令 ，先解出 的范围，再解不等式求 x，两步都要检验。 · 判断两个函数是否相同：定义域相同、值域对应一致、解析式等价，三项全对才是同一函数。 常见误判 · 由 直接令 g(x)=所求值，漏掉“外层定义域要求 ”这一步。 · 判断同一函数时只看解析式，不算定义域。 · 分段函数把端点值算两遍，或漏掉某一段的取值范围。 3.2 函数的基本性质（单调性与奇偶性） · 单调递增：在区间 D 上，任取 ，都有 。 · 单调性的证明三步：① 任取 ；② 作差 并变形；③ 判断差的符号并说明理由。 · 奇函数：定义域关于原点对称，且 f(−x)=−f(x)。偶函数：定义域关于原点对称，且 。 · 判断奇偶性三步：① 验证定义域是否关于原点对称；② 化简 f(−x)；③ 与 f(x) 比较。 常见误判 · 求奇偶性只验证 f(−x)=±f(x)，漏掉定义域关于原点对称这一前提。定义域为 的函数无法讨论奇偶性。 · 判定单调性时跨区间比较函数值。单调性只保证同一区间内的可比性。 易漏条件　由 判断对称轴时，这个等式要对全体 x 成立；令 只能得到 ，不提供额外信息。真正的信息来自"对任意 x 都成立"这件事：取 ，则对一切 t 有 ，这正是"图象关于直线 对称"。若同时给出 ，令 化简可得图象关于点 (a,b) 中心对称。 3.3 幂函数 · 幂函数：形如 （ 为常数）的函数，系数必须为 ，所以 、 都不是幂函数。 · 常见五种幂函数：x、、、、。其中 的定义域是 ， 的定义域排除 0。 · 幂函数的单调性：α>0 时在 上单调递增；α<0 时在 上单调递减。这一条只在 上成立，跨过 0 要另行讨论定义域。 常见误判 · 把一般式 （）当作幂函数—— 必须等于 才是。 · 由幂函数的单调性比较 f(a) 与 f(b) 时不加 的前提，两个自变量必须同为正。 易漏条件　判断是否为幂函数须满足 的形式，底数是自变量 、系数是 、指数 是常数；如 不是幂函数。定义域须使表达式有意义。 3.4 函数的应用（一） · 分段函数：先写清各段的解析式与取值范围，含参题在端点处必须检验该点归哪一段。 · 实际应用通用路径：设变量 → 写解析式 → 标定定义域 → 分段求最值 → 比较取全局最优。定义域由实际意义决定，如件数非负、年份为正整数、单价为正。 · 用基本不等式求实际最值时，等号成立条件必须落在实际取值范围内，否则取不到。 常见误判 · 漏掉定义域，把实际问题当纯数学题处理。 · 分段求最值时只算了一段，或端点值重复计入、漏计。 · 计算利润时“年销售收入=单价×产量”未注意单位换算（万件与元、千台与万元）。 易漏条件　分段点归属需要专门核对。题干写 与 时，a 处的函数值由哪一段给出，直接影响答案与端点能否取到。 第1—3章期中自检题（12题，每章4题） 答题说明 本组自检题每章 4 题，用于核对本章知识是否落实。 选择与填空题直接作答；解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算过程。 第一章 1．（填空题） （26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） 若，则________． 2．（填空题） （26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） 已知集合，，集合满足⊊，则集合的个数为______. 3．（解答题） （26-27高一上·云南·阶段检测） 已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值集合． 4．（单选题） （25-26高一上·上海·阶段检测） 有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 第二章 5．（单选题） （25-26高一上·河南郑州·期末） 已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（解答题） （2025高一上·山东济南·竞赛） 在中，将分为了两个相似的三角形与，已知，求的最小值. 7．（填空题） （26-27高一上·湖南株洲·开学考试） 抛物线的开口向下，图象与x轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于x的一元二次方程有实数根；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确的结论是________（填写序号）. 8．（填空题） （25-26高一下·湖北荆州·期中） 已知，其中，若函数的最小值为0，则的取值范围为________． 第三章 9．（单选题） （26-27高一上·全国·课后作业） 已知函数的定义域为，的定义域为，则（　　） A． B． C． D． 10．（多选题） （25-26高一上·广西桂林·阶段检测） 下列命题是真命题的是（   ） A． B．函数的图象与直线至多有1个交点 C．方程的解集为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 11．（解答题） （25-26高一上·陕西咸阳·期末） 已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求函数在上的最大值. 12．（填空题） （26-27高一上·全国·课后作业） 已知，则________. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 第1—3章期中知识与方法清单 高一数学上学期 人教A版（2019） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 教师版 使用说明 本清单覆盖人教A版必修第一册第1—3章，按章组织知识与方法，并附12道自检题。 范围说明：只含第1—3章，不含指数与对数函数、函数零点，也不含三角函数与导数。 第1—3章正文按"定义与结论 — 使用步骤 — 常见误判 — 易漏条件"四层展开，每层都是可核对的结论。 自检题每章 4 题。学生版只给题干与作答区；教师版另附组卷网原【答案】【分析】【详解】。 题目均标注来源。 第一章 集合与常用逻辑用语 本章目标 会判断元素与集合的关系，正确使用子集与真子集计数，掌握交并补运算与含参分类讨论，能判断充分必要条件的方向并正确否定命题。 1.1 集合的概念 · 集合是具有某种特定性质的事物的总体；元素是集合中的个体。 · 元素与集合是“属于”关系，记 ；集合与集合是“包含”关系，记 。二者不可混用。 · 集合的三个特性：确定性（对象明确）、互异性（元素不重复）、无序性（书写顺序无关）。 · 空集 是特殊的集合：它是任何非空集合的真子集。 使用步骤 · 判断元素与集合的关系：先看元素是否满足集合描述的性质，再核对互异性。 · 由描述法给出的集合，若结果出现重复元素，要按互异性去重。 常见误判 判断 正误 说明 错 空集没有元素 对 含一个元素，该元素是 本身 对 空集是任何集合的子集 有两个元素 对 解为 −1 与 1，两个根互不相同，不需去重 易漏条件　由 求 a 时， 与 都要检验；由 求 a 时，、1、−1 都要检验。 1.2 集合间的基本关系 · “A 中每个元素都是 B 中的元素”（定义法判定）。 · 真子集 ： 且 。集合相等： 且 。 · 子集与真子集计数：含 n 个元素的集合，子集共 个，真子集 个，非空真子集 个（； 时为0个）。 · 由 必得 ，但反向不能推。 常见误判 · 数子集个数时把空集漏掉：非空子集才是 个。 · 有限集 时，满足 的 C 可在 中任选元素加入 A，共有 个（），包括 ；若另要求 ，则排除 ，共 个。 · 由 直接得 时，须限定为有限集。反例不成立的情形是：，，，结论恰好成立；真正要防的是把"真包含"与"元素数严格增加"混用时忘记 A、B 有限。 1.3 集合的基本运算 · 交集 ：同时属于 A 和 B 的元素全体。 · 并集 ：属于 A 或属于 B 的元素全体。 · 补集 ：全集 U 中不属于 A 的元素全体。 使用步骤 · 含参问题的通用路径：先化简集合，再分类讨论，最后检验边界。 · 等价关系串：。这三条互为充要条件，是含参集合题最常用的一条链。 · 解含参不等式得到集合时，端点开闭必须由不等式是否含等号决定，不能取整猜测。 常见误判 · 由 推 是错的：A、B 互不相交只说明它们没有公共元素，不说明它们已把全集分完。取 ，，，则 ，而 。 易漏条件　由 求参数范围时，只考虑判别式会漏掉 退化为一次方程的情形。 1.4 充分条件与必要条件 · p 是 q 的充分条件：。p 是 q 的必要条件：。p 是 q 的充要条件：。 使用步骤 · 判方向的核心动作是“小范围推大范围”：由条件能推出结论，则该条件充分。 · 化简集合时，把 p、q 各自化简为集合，再用包含关系判断方向。 · 命题否定：全称命题 ，p(x) 的否定是 ，¬p(x)；特称命题的否定是全称。否定后必须改变量词并把结论取反。 常见误判 · 把“必要不充分”与“充分不必要”记反。记忆办法：从 p 出发能推出 q 才是充分。 · 判断充要条件只验证一个方向就下结论，必须双向验证。 · 量词否定时只否定结论而忘记改量词。 1.5 全称量词与存在量词 · 全称命题 ，p(x)：对集合 A 中每个元素都成立。 · 存在命题 ，p(x)：A 中至少有一个元素成立。 使用步骤 · 全称命题为假 存在反例；存在命题为假 所有 结论都不成立，此时转化为恒成立问题求参数。 · 求参数范围时，把“ 恒成立”翻译成“最值比较”，把“ 有解”翻译成“范围相交非空”。 常见误判 · 存在命题为假时漏掉定义域：若 但函数在该点无意义，该取值不能作反例。 · 由 恒成立求参数时只取某个特殊点代入。恒成立要对全体 x 成立，必须用最值。 第二章 一元二次函数、方程和不等式 本章目标 会用不等式性质判断命题真假，理解基本不等式的成立条件与取等条件，联结二次函数、方程与不等式的三者关系。 2.1 等式性质与不等式性质 · 不等式基本性质：两边同加同减仍不等；两边同乘正数方向不变；同乘负数方向改变；两边同除负数必须变号。 · 同向可加、同向相乘（正数范围内）。 使用步骤 · 由 判断结论，核心动作是提公因式定号：，先定 b 的符号再讨论 a−b。 · 命题真假判断题用“举反例”否定，用“作差法”证明。 常见误判 判断 正误 说明 错 需 a、b 同号且 |a|>|b| ， 错 取 ，，则 错 取 ，则 ，方向相反 易漏条件　由 比较倒数：（a、b 同号）时 与 顺序与 a、b 相反； 且 （a 为正、b 为负）时 为正、 为负，仍有 。判断前必须先确定 a、b 同号还是异号。 2.2 基本不等式 · 对 、，有 ，当且仅当 时取等号。 · 文字形式：两数正，其算术平均不小于其几何平均。 · 常用变形：；（a、）；（a、b 同号非零）；（a、）。 使用步骤 · 使用前必须两个量都为正。题目常给 型，必须先换元或变形确认正性。 · 求最值三步：① 换元把式子凑成基本不等式可用的形式；② 套用基本不等式得下界；③ 检验等号成立条件是否在定义域内。第三步最容易漏。 常见误判 · 在 a、b 异号时套用基本不等式。 · 把“”写成“”，或漏掉等号成立条件。 易漏条件　忽略定义域会导致等号取不到。求 （）的最小值：令 ，原式，由基本不等式不小于 ，且当 即 时取到。若条件改成 ，则 而 不在该范围内，取不到 ；此时原式在 (0,1) 上随 t 增大而减小，下确界是 时的 4，而 不属于区间，所以最小值不存在，只有下确界 4。端点不属于定义域时，最值与下确界要分开说。 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 · 二次函数 （），对称轴 ，顶点 。 · 韦达定理： 的两根 、 满足 ，。 · 根的判别式 ： 两不等实根， 两相等实根， 无实根。 · 三者关系：二次函数与方程、不等式本质是同一个问题的三种问法。图象与 x 轴的交点即方程的根；图象在 x 轴上方或下方对应不等式的解集。 使用步骤 · 用交点式 快速定符号：把已知交点代入即可读出 b、c 的符号。 · 由对称轴位置判断单调性，再由两点到对称轴的距离比较函数值大小。 · 解一元二次不等式：先因式分解或配方，结合图象确定区间，注意根的顺序对应开闭。 常见误判 · 由 直接断言 恒成立。还要看开口方向。 · 由两根大小直接写韦达式，忽略与 a 的符号配合。 · 求二次函数最值不看定义域。在闭且有界的定义区间内，比较顶点（若在区间内）和两端点的函数值；开区间或无界区间须另查最值能否取得，例如 在 (1,2) 上无最大值和最小值。 易漏条件　含参二次函数题中，若 a 的取值使二次项系数为零，函数退化为一次函数，须单独讨论。 第三章 函数的概念与性质 本章目标 会求具体函数与抽象函数的定义域，掌握判断两个函数相等的三要素，会用定义法与作差法处理单调性，理解奇偶性与幂函数的条件，能在实际问题中分段求最值。 3.1 函数的概念及其表示 · 函数三要素：定义域、对应法则、值域。两个函数相等要求三要素全等。 · 求 f(a) 的关键是先由 a 定位到 x 值，再代入对应法则。 · 表示法：解析法、列表法、图象法、分段函数。 使用步骤 · 定义域求解步骤：① 分母不为零；② 偶次根式被开方数不小于零；③ 实际问题中的自变量取值范围。 · 由 f(g(x)) 求定义域：令 ，先解出 的范围，再解不等式求 x，两步都要检验。 · 判断两个函数是否相同：定义域相同、值域对应一致、解析式等价，三项全对才是同一函数。 常见误判 · 由 直接令 g(x)=所求值，漏掉“外层定义域要求 ”这一步。 · 判断同一函数时只看解析式，不算定义域。 · 分段函数把端点值算两遍，或漏掉某一段的取值范围。 3.2 函数的基本性质（单调性与奇偶性） · 单调递增：在区间 D 上，任取 ，都有 。 · 单调性的证明三步：① 任取 ；② 作差 并变形；③ 判断差的符号并说明理由。 · 奇函数：定义域关于原点对称，且 f(−x)=−f(x)。偶函数：定义域关于原点对称，且 。 · 判断奇偶性三步：① 验证定义域是否关于原点对称；② 化简 f(−x)；③ 与 f(x) 比较。 常见误判 · 求奇偶性只验证 f(−x)=±f(x)，漏掉定义域关于原点对称这一前提。定义域为 的函数无法讨论奇偶性。 · 判定单调性时跨区间比较函数值。单调性只保证同一区间内的可比性。 易漏条件　由 判断对称轴时，这个等式要对全体 x 成立；令 只能得到 ，不提供额外信息。真正的信息来自"对任意 x 都成立"这件事：取 ，则对一切 t 有 ，这正是"图象关于直线 对称"。若同时给出 ，令 化简可得图象关于点 (a,b) 中心对称。 3.3 幂函数 · 幂函数：形如 （ 为常数）的函数，系数必须为 ，所以 、 都不是幂函数。 · 常见五种幂函数：x、、、、。其中 的定义域是 ， 的定义域排除 0。 · 幂函数的单调性：α>0 时在 上单调递增；α<0 时在 上单调递减。这一条只在 上成立，跨过 0 要另行讨论定义域。 常见误判 · 把一般式 （）当作幂函数—— 必须等于 才是。 · 由幂函数的单调性比较 f(a) 与 f(b) 时不加 的前提，两个自变量必须同为正。 易漏条件　判断是否为幂函数须满足 的形式，底数是自变量 、系数是 、指数 是常数；如 不是幂函数。定义域须使表达式有意义。 3.4 函数的应用（一） · 分段函数：先写清各段的解析式与取值范围，含参题在端点处必须检验该点归哪一段。 · 实际应用通用路径：设变量 → 写解析式 → 标定定义域 → 分段求最值 → 比较取全局最优。定义域由实际意义决定，如件数非负、年份为正整数、单价为正。 · 用基本不等式求实际最值时，等号成立条件必须落在实际取值范围内，否则取不到。 常见误判 · 漏掉定义域，把实际问题当纯数学题处理。 · 分段求最值时只算了一段，或端点值重复计入、漏计。 · 计算利润时“年销售收入=单价×产量”未注意单位换算（万件与元、千台与万元）。 易漏条件　分段点归属需要专门核对。题干写 与 时，a 处的函数值由哪一段给出，直接影响答案与端点能否取到。 第1—3章期中自检题（12题，每章4题） 答题说明 本组自检题每章 4 题，用于核对本章知识是否落实。 选择与填空题直接作答；解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算过程。 本清单教师版附每题的原答案、分析与详解，可据此讲评。 第一章 1．（填空题） （26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） 若，则________． 【原解析】 【答案】 2 【分析】 分和时，并结合集合互异性求解即可. 【详解】 因为， 所以当时，解得，此时，不满足集合互异性； 当时，解得，由于时不满足题意，时，，满足题意. 综上所述，. 2．（填空题） （26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） 已知集合，，集合满足⊊，则集合的个数为______. 【原解析】 【答案】 【分析】 根据集合的包含与真包含关系确定的必含元素，将问题转化为求剩余可选元素构成的集合的非空子集个数计算可得. 【详解】 由条件⊊可推导得如下结论： 集合必须包含的全部元素；集合不能与相等，即至少额外包含个中不属于的元素； 集合的所有元素均属于. 首先计算中不属于的元素构成的集合：，该集合共含个元素. 所以集合的非空子集的个数为个， 即，共个. 又因为集合必须包含的全部元素，因此集合可能为， ，共个. 因此满足条件的集合的个数为. 3．（解答题） （26-27高一上·云南·阶段检测） 已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值集合． 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【分析】 （1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合的包含关系可得关于的不等式组，进而计算可求得的取值集合． 【详解】 （1）当时，，， 所以或， 所以. （2）由，得. 当时，则，解得， 当时，，符合； 当时，由，得，解得； 综上所述：的取值集合为． 4．（单选题） （25-26高一上·上海·阶段检测） 有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 【原解析】 【答案】 B 【分析】 对于①，由得到集合与集合两个集合中没有公共元素，则，说明必要性成立；由，则的元素个数等于的元素个数与的元素个数，说明集合与两个集合中没有公共元素，得到，则充分性成立.对于②，由可知集合A中的元素都是集合B中的元素，说明可以得到，则必要性成立.③特值法，取，，则满足，但不满足，说明充分性不成立； ④由可以推出，则必要性成立；特例法，取，，满足，但不满足，则充分性不成立. 【详解】 对于①，，则集合与集合两个集合中没有公共元素，，必要性成立； ， 则的元素个数等于的元素个数与的元素个数， 集合与两个集合中没有公共元素，，充分性成立. ①正确； 对于②，，集合A中的元素都是集合B中的元素， 可以推出，必要性成立. ②正确； ③如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，③错误； ④，，必要性成立；如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，④错误； 故选：B. 第二章 5．（单选题） （25-26高一上·河南郑州·期末） 已知，则（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【分析】 首先整理已知条件： 由 移项得 ，且因为 ，所以 ，可得 ，即同号，据此分析每个选项. 【详解】 选项A：，因为 ，，所以 ，A正确； 选项B：取 ，满足 ，但 ，B错误； 选项C：取 ，满足 ，但 ，C错误； 选项D：取，满足条件，但 ，D错误. 6．（解答题） （2025高一上·山东济南·竞赛） 在中，将分为了两个相似的三角形与，已知，求的最小值. 【原解析】 【答案】 6 【分析】 首先根据三角形相似得到，再利用基本不等式求最值. 【详解】 因为，所以，即， 因为，所以； 因为，所以，当且仅当时取等； 所以AB的最小值为6. 7．（填空题） （26-27高一上·湖南株洲·开学考试） 抛物线的开口向下，图象与x轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于x的一元二次方程有实数根；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确的结论是________（填写序号）. 【原解析】 【答案】 ①②③⑤ 【分析】 根据抛物线开口方向，对称轴位置，交点坐标判断a，b，c的符号，判断①，结合交点式得到c与a，m的关系，根据m的范围判断②， 利用二次函数性质，比较两点到对称轴的距离判断③，利用顶点纵坐标判断方程是否有实根，判断④，整理不等式求解集判断⑤． 【详解】 抛物线开口向下， ， 抛物线与x轴交于和， 对称轴为直线， ， 则对称轴在y轴右侧， 即， ， ， 将代入抛物线得， ， ，， ， ，故①正确． 抛物线可写成交点式， ， ，， 不等式两边同乘得， 即，故②正确． 若，则对称轴为直线， 开口向下，抛物线上点离对称轴越远，函数值越小， ，，两点到对称轴的距离分别为，， 若，则， 平方得， 化简得， 即，故当时，，故③正确． 关于x的方程有实根，需满足，为顶点的纵坐标， ， 代入不等式得， 即， ， ∴，故不等式不成立，方程无实根，故④错误． 整理不等式得， 由得， 代入得， 即， ， ， 解得，故⑤正确． 故正确的结论是①②③⑤． 8．（填空题） （25-26高一下·湖北荆州·期中） 已知，其中，若函数的最小值为0，则的取值范围为________． 【原解析】 【答案】 【分析】 令，则，可以把函数最小值为转化为计算即可求解. 【详解】 因为，， 所以 令， ，， 函数，当时，，只要即可， ，综上的取值范围是． 第三章 9．（单选题） （26-27高一上·全国·课后作业） 已知函数的定义域为，的定义域为，则（　　） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【分析】 先求出两函数的定义域，再根据交集的定义即可求解． 【详解】 令，解得， 所以函数的定义域为， 令，解得， 的定义域为， 所以． 10．（多选题） （25-26高一上·广西桂林·阶段检测） 下列命题是真命题的是（   ） A． B．函数的图象与直线至多有1个交点 C．方程的解集为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【原解析】 【答案】 BD 【详解】 对于选项A，将两边平方，得， 因为，所以.所以选项A不正确. 对于选项B，根据函数定义，定义域内任意一个自变量对应唯一的函数值. 若在定义域内，与有1个交点；若不在定义域内，则二者无交点，因此最多有1个交点，所以选项B正确. 对于选项C，解分式不等式或.所以解集是.故选项C不正确. 对于选项D，因为的定义域是，则，即的定义域为.选项D正确. 11．（解答题） （25-26高一上·陕西咸阳·期末） 已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求函数在上的最大值. 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【分析】 （1）根据一元二次不等式解法直接计算可求出不等式解集； （2）由二次函数对称轴位置以及所给区间即可计算得出最大值. 【详解】 （1）当时，不等式，解得， 即不等式的解集为， （2）当时，函数， 即函数为开口向上的二次函数，对称轴为, 又易知，对称轴在轴的左侧，所以函数在上单调递增，且3距离对称轴较远， 所以函数在上的最大值为，即. 12．（填空题） （26-27高一上·全国·课后作业） 已知，则________. 【原解析】 【答案】 【详解】 设， 则为奇函数， 则， 所以. 所以， 所以. 自检题讲评参考 12 道自检题，每章 4 题，优先覆盖本章最容易漏掉的条件： 第一章——含参集合的互异性检验（01）、真包含下的子集计数（02）、含参集合需分类讨论 （03）、充要关系方向判断（04）； 第二章——由 提公因式定号（05）、基本不等式在几何背景中的等号成立（06）、交点式与抛物线系数符号（07）、max 恒成立求参数范围（08）； 第三章——分式与根式定义域联立（09）、抽象函数复合后的定义域（10）、对称轴与区间上的最大值（11）、奇偶性与对称性联立求值（12）。 讲评提示 讲评时优先追问"这一步为什么成立"，而不是核对答案是否一致。 错在定义域条件的题，追问是哪一类约束没有列出；错在含参分类讨论的题，追问是否讨论了二次项系数为零的情形。 第10、12题没有【分析】栏，讲评时可让学生先自己说分析思路，再对照【详解】。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $