第一章集合与常用逻辑用语（期中知识清单）高一数学上学期人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 集合的概念 1.1 元素与集合的概念 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 集合通常用大写拉丁字母 ，， 表示，集合中的元素通常用小写拉丁字母 ，， 表示。 1.2 集合中元素的三个特征 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。 无序性 元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法。 注意：确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个基本特征，也是判断一组对象能否构成集合的依据。 1.3 集合的相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 示例：集合 与集合 的元素完全相同，二者相等。 1.4 元素与集合的关系 如果 是集合 的元素，就说 属于集合 ，记作 ；如果 不是集合 中的元素，就说 不属于集合 ，记作 。 示例：用 表示” 之间的所有偶数”组成的集合，则 ，。 1.5 常用数集及其记法 数集 名称 记法 非负整数集（自然数集） 全体非负整数组成的集合 正整数集 全体正整数组成的集合 或 整数集 全体整数组成的集合 有理数集 全体有理数组成的集合 实数集 全体实数组成的集合 1.6 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号”“括起来表示集合的方法叫做列举法。 示例：”方程 的所有实数根”组成的集合可以表示为 。 1.7 描述法 一般地，设 是一个集合，我们把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法。 示例：不等式 的解集为 。 注意：有时也用冒号或分号代替竖线，写成 或 ；对于任何 ，都有 ，且 成立。 2. 集合间的基本关系 2.1 子集与 Venn 图 一般地，对于两个集合 ，，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的子集，记作 （或 ），读作” 包含于 “（或” 包含 “）。 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图。 2.2 集合的相等 如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，同时集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 与集合 相等，记作 。 也就是说，若 ，且 ，则 。 示例：，，则 且 ，故 。 2.3 真子集 如果集合 ，但存在元素 ，且 ，就称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ），读作” 真包含于 “（或” 真包含 “）。 示例：集合 是集合 的真子集。 2.4 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集。 示例：方程 没有实数根，所以它的实数根组成的集合是空集 。 2.5 集合间关系的基本结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 ； （2）对于集合 ，，，如果 ，，那么 。 3. 集合的基本运算 3.1 并集 一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为集合 与 的并集，记作 （读作” 并 “），即 ，或 。 示例：，，则 。 3.2 交集 一般地，由所有属于集合 且属于集合 的元素组成的集合，称为集合 与 的交集，记作 （读作” 交 “），即 ，且 。 示例：，，则 。 3.3 全集与补集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 。 对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ，且 。 示例：，，则 。 4. 充分条件与必要条件 4.1 命题 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多命题可以写成”若 ，则 ““如果 ，那么 ”等形式，其中 称为命题的条件， 称为命题的结论。 4.2 充分条件与必要条件 “若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 ，这时，我们就说，由 可以推出 ，记作 ，并且说， 是 的充分条件， 是 的必要条件。 如果”若 ，则 “为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，此时，我们就说 不是 的充分条件， 不是 的必要条件。 示例：”若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”是真命题，所以”四边形为菱形”是”四边形的对角线互相垂直”的充分条件，后者是前者的必要条件。 4.3 充要条件 如果”若 ，则 “和它的逆命题”若 ，则 “均是真命题，即既有 ，又有 ，此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为充要条件。 显然，如果 是 的充要条件，那么 也是 的充要条件；概括地说，此时 与 互为充要条件。 示例：”两个三角形三边成比例”与”两个三角形相似”互为充要条件。 5. 全称量词与存在量词 5.1 全称量词与全称量词命题 短语”所有的““任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号”“表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 通常，将含有变量的语句用 ，， 表示，变量的取值范围用 表示，那么，全称量词命题”对 中任意一个 ， 成立”可用符号简记为 示例：”对任意一个 ， 是整数”是全称量词命题。 5.2 存在量词与存在量词命题 短语”存在一个““至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号”“表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 存在量词命题”存在 中的元素 ， 成立”可用符号简记为 示例：”存在一个 ，使 “是存在量词命题。 5.3 含有一个量词的命题的否定 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。 全称量词命题 ，它的否定：。也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题。 存在量词命题 ，它的否定：。也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。 示例：”所有的矩形都是平行四边形”的否定是”存在一个矩形不是平行四边形”。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 有限集合的子集个数 含 个元素的集合，其子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。 1.2 空集的特殊性 空集 是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。注意 不含任何元素，而 是含一个元素（这个元素是空集）的集合，两者不是一回事。 1.3 并、交运算的基本性质 对任意集合 ，，：，；，；交换律 ，；结合律 ，。 1.4 补集运算的性质 ；，；，。 1.5 有限集合中元素的个数（容斥原理） 对任意两个有限集合 ，，有 ；三个有限集合 ，， 有 。 1.6 集合包含与充分、必要条件的转化 设 ， 分别是使 ， 成立的元素组成的集合。则 的条件是 是 的充分条件（）； 的条件是 是 的必要条件（）； 的条件是 与 互为充要条件。即”小范围推出大范围”，小集合对应充分条件，大集合对应必要条件。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 元素与集合、集合与集合关系的判断 先看清”研究对象是谁”：元素与集合之间用 或 ，集合与集合之间用 、 或 。如 ，而 ；，但 。 2.2 集合表示方法的选择 元素有限且能一一列出时用列举法；元素无限或虽有有限个但难以列举、且具有共同特征时用描述法。描述法必须写清”代表元素＋共同特征＋取值范围”，如 。 2.3 求并、交、补的步骤 先确定全集 ；连续实数集用数轴直观求（并集取”被覆盖”部分，交集取”公共”部分，补集取数轴上”剩余”部分），有限集用列举或 Venn 图；结果端点开闭（空心、实心）勿错。如 ，，则 。 2.4 已知包含关系求参数范围 先讨论空集： 求参数时， 往往满足条件，须单独讨论；再列不等式（组）求参数；最后检验端点能否取等（代入端点验证是否满足）。如 ， 且 ： 时需 且 ，即 。 【使用提醒】端点能否取等必须代回原集合验证，不能只看”带不带等号”。 2.5 充分、必要、充要条件的判断 定义法：看 与 分别是否成立，据此判定充分、必要或充要；集合法：看 、 对应集合的包含关系，“小范围”是充分条件、“大范围”是必要条件。如”“是”“的充分不必要条件。 2.6 证明充要条件的方法 证明 是 的充要条件，分两步：先证充分性（），再证必要性（）。如证” 是直线 与 相切的充要条件”，先由 证相切（充分性），再由相切证 （必要性）。 2.7 全称、存在量词命题真假的判定 全称量词命题”对 中任意 都成立”须逐一对 中所有元素验证（或证明）；只要找到一个元素使结论不成立（举反例），它就是假命题。存在量词命题只要找到一个元素使结论成立即为真； 中找不到这样的元素才为假。 2.8 含一个量词命题的否定 先把量词互换（ 与 互换），再把结论否定；否定后仍是命题，且与原命题一真一假。如”“的否定是”“。 3. 集合运算 / 逻辑判定小技巧 技巧 要点 示例 数轴法求交并补 连续实数集一律画数轴：并集取”覆盖”、交集取”公共”、补集取”剩余”；端点空心实心别写错 ，， 代表元素辨析 是自变量的集合， 是函数值的集合， 是图象上的点的集合 ， 举反例判假 全称命题判假、充分条件判”推不出”，举一个反例即可 “若 为无理数，则 ， 为无理数”：取 ， 即可否定 用集合关系判条件 “小范围推出大范围”：，则元素属于 是元素属于 的充分条件 “四边形是正方形”是”四边形是平行四边形”的充分条件 含参子集勿忘空集 求参数时， 常满足条件，要单独讨论 满足 时，须先看 的情形 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆”元素与集合”“集合与集合”两类关系 典例：用符号 或 填空：　；　；　。 错解：；；。 正解：；；。 原因：概念理解错误。、 描述的是”元素”与”集合”的关系，、、 描述的是”集合”与”集合”的关系。 是元素不是集合， 是集合不是元素， 是含一个元素的集合。学生把”属于”与”包含于”当成同一回事，根源是没分清研究对象究竟是”元素”还是”集合”，做题时先问一句”等号两边谁是元素、谁是集合”即可避免。 易错点 2：忽略集合元素的互异性，漏检验重复元素 典例：已知集合 ，，若 ，求实数 的值。 错解：由 得 ，即 ，所以 或 。 正解：由 得 ，解得 或 ；检验互异性：当 时， 出现重复元素，不满足集合元素的互异性，舍去。故 。 原因：忽略隐含条件。集合中的元素必须互不相同，解得参数后必须代回检验是否有元素重复。学生只盯着”两个集合相等”这个显性条件列方程，把互异性当成可有可无，尤其当参数使两个元素恰好相等（本题 时 ）时最容易漏掉。 易错点 3：描述法代表元素理解错误，误把”点集”“值集”当”数集” 典例：已知集合 ，，，试判断 、、 三个集合之间的关系。 错解：三个集合的元素都是 ，所以 。 正解： 是自变量的集合，即 ； 是函数值的集合，即 ； 是抛物线图象上所有点组成的集合（点集）。三者两两不同。 原因：审题理解错误。描述法中”|“前面的字母是代表元素，它决定集合的元素是什么：写 是数的集合、写 是另一类数的集合、写 是点的集合。学生只看到竖线后面相同的”“，忽略了代表元素不同导致集合含义完全不同。 易错点 4：已知子集关系求参数，漏掉空集这一情形 典例：已知集合 ，，若 ，求实数 的值。 错解：，，由 得 或 ，解得 或 。 正解：当 时，方程 无解，，而空集是任何集合的子集，满足 ；当 时，，由 得 或 ，解得 或 。综上，， 或 。 原因：漏分类讨论。 是一次方程的解集，其元素个数随系数 变化， 时方程无解， 为空集。学生默认” 一定有一个元素 “，忽略了系数为 导致空集的退化情形。凡由 反求参数，都要先讨论 。 易错点 5：判断端点能否取等时凭感觉，不代回验证 典例：已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围。 错解： 中的元素最大可以无限接近 ，但取不到 ，所以 必须大于 ，即 。 正解：当 时，， 中任何元素都小于 ，故 成立；所以 的取值范围是 。 原因：端点取等判断错误。端点能否取等不能”想当然”，应代回验证：本题 是开区间， 本来就不在 中，所以 时 的元素仍全部满足 。学生看到 的右端是开区间就误以为 只能取 ，忽略了”开区间的端点根本不属于 ，取等不破坏包含关系”。 易错点 6：充分、必要条件的”谁推谁”方向搞反 典例：判断”“是”“的什么条件。 错解：由 可以推出 ，所以”“是”“的充分条件。 正解：由 可以推出 ，但由 推不出 （如 满足 但不满足 ）。所以”“是”“的必要不充分条件。 原因：逻辑方向搞反。 表示 是 的充分条件、 是 的必要条件；判断时可用”小范围推出大范围”来定方向——“”对应的范围小，是小范围，所以它是充分条件，而”“对应的范围大，是必要条件。学生常把”范围大”误当成”能推出”，把方向整个颠倒。 学科网（北京）股份有限公司 $