精品解析：广东江门市第一中学2027届高三上学期诊断练习（一）数学试卷

2027届高三诊断练习（一） 数学 本试卷共19题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持答题卡面清洁，不要折叠，不要弄破．不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， 故. 3. 在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示：因为，所以， 则. 4. 已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ） A. 或2 B. 或4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】解：的圆心，半径， 因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为， 即，整理得，解得或， 故选：A. 5. 已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为是偶函数，所以， 因为周期为3，所以， 即. 6. 若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后， 图象所对应解析式为：， 由关于轴对称，则， 可得，，又，所以， 即， 当时，， 所以当时，即时，. 故选：A． 【点睛】本题考查了三角函数图象的对称性、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．本题解题的关键在于能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. 7. 当函数的零点个数最多时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，再结合导数研究函数，最后得到取值范围即可. 【详解】令，则， 则的零点个数为根的个数， 即为与的交点个数， 若的零点个数最多，则与的交点最多， 令， 令，则或， 令，则， 令，则， 得到在上单调递减，在上单调递增， 可得的极小值为， 当时，，当时，， 所以，故A正确. 8. 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，，，，，联立直线的方程和抛物线方程求得，通过PF⊥AB求得，再过点作轴交于点，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】易知，焦点，准线方程， 设直线的方程为，，，，， 联立，消整理得， 则，， 又PF⊥AB，可得，即，化简得， 过点作轴交于点，如图所示： 则，所以为中点，故， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故三角形PAB的面积的最小值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：过点作轴交于点，且证明为中点，得到，从而得到阿基米德三角形面积关于，的表达式，再结合基本不等式求解． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（ ） A. ，，成等比数列 B. 为钝角三角形 C. ，，成等差数列 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；利用正弦定理、三角形的性质可判断B；根据，，成等差数列求出，再由余弦定理可判断C；求出可判断D. 【详解】对于A，，由正弦定理可得，且， 则，，成等比数列，故A正确； 对于B，将，利用正弦定理化简得：， 即，，利用正弦定理化简得：， ，，，所以角最大， 由得角为钝角，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，且，可得， 则由余弦定理可得，故C错误； 对于D，若，可得，，则，由，， 可得，所以，故D正确. 故选：ABD． 10. 已知平行六面体的所有棱长都为1，顶点在底面上的射影为，若，则（ ） A. B. 与所成角为 C. O是底面的中心 D. 与平面所成角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设，若交于，易知△、△为等边三角形，△、△为等腰直角三角形，由线面垂直的判定可证面、面，即可判断C、D；再根据线面垂直的判定、性质可知，由平行的推论可得△为直角三角形，即可判断A、B. 【详解】由题设，易知六面体上下底面、为正方形， 连接、、，又且各棱长为1， ∴△、△为等边三角形， 又，则，故，则. ∴△、△为等腰直角三角形， 若交于，连接，则，即， ∴，又，，即面，同理可得面， ∴的投影为，即与点重合，故O是底面的中心，且与平面所成角为，故C、D正确； 由上易知：，，，即面，又面， ∴，连接，则，故，又，且， ∴，在直角△中，显然与所成角为不为，故A正确，B错误. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据平行六面体的性质及已知条件证线面、面面垂直判断的投影及与平面所成角，由线面垂直的性质及平行推论证△为直角三角形判断长及与所成角. 11. 若图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据所给新定义，进行转化，首先求出时关于原点对称的函数为，即在上有两解，构造函数，研究的图像与性质，即可得解. 【详解】首先求出时关于原点对称的函数为， 若要恰有两个“友情点对”， 则有两解，即在上有两解， 令，求导可得，， 当，，为减函数， 当，，为增函数， 则， 所以其图像为： 若要在上有两解，则， 故选：BD 【点睛】本题考查了函数新定义，考查了利用导数研究函数，考查了函数方程思想，同时考查了转化思想，有一定计算量，属于中档题.本题的关键有： （1）理解“友情点对”，并转化为一侧函数图像关于原点对称过去后和另一侧函数图像的交点； （2）把方程解得问题转化为函数图像交点问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设公差，借助等差数列基本量计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，即， 化简得，解得或， 又等差数列的各项均为正数，故，故， 则. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点为，且是抛物线的焦点，记与的一个交点为，若直线与只有一个公共点，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意可知与抛物线相切，利用导数的几何意义以及两点的斜率公式可得，解得：，所以，化简即可得到椭圆的离心率. 【详解】设，则，对求导得，所以， 又，所以，即， 所以，所以，所以轴． 在中，，在中，， 所以，所以， 所以，解得． 故答案为： 14. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望__________． 【答案】##2.44 【解析】 【分析】根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】记为三次抽取中至少被取出一次的不同球的个数， 对于每个标号，记为（如：表示三次抽取中至少出现过一次标号，表示三次抽取中从未出现标号）， 则可表示为所有的和，即， 由于每个小球都相同，则每个的期望相同，且服从两点分布， 则， 每次未抽到的概率为，三次均未抽到的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知公比为的等比数列的前项和为，且． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项； （2），分和两种情况，结合对勾函数性质可得答案 【小问1详解】 ，由，得，又，，即或． 由，得，，或． 或． 【小问2详解】 由，得．由，得，或． 又． 由“对勾函数”的性质易知，当时，单调递增， 所以； 当时，单调递增， 所以， 综上，的取值范围是. 16. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为，，所以，． 在直三棱柱中，有底面侧面， 因为平面，平面平面， 所以平面． 在平面内过点作直线，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得， 令，则，，则． 又．则，所以． 又平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，验证与该法向量垂直，且不在平面内，从而证明线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量夹角与二面角大小相等或互补的关系，计算其余弦值，再转化为正弦值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）可知，，． 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，，则． 由（1）可知，平面的一个法向量是． 所以，． 所以，二面角的正弦值是． 17. 某公司计划对A产品进行定价，前期针对A产品的售价以及相应的市场份额进行调研，所得数据如下表（1）所示.根据前期的销售情况，公司征求了所有员工对产品定价的看法，所得数据如表（2）所示 表（一） A产品售价x（千元） 22 31 40 A产品所占市场份额y 0.5 0.3 0.08 表（2） 认为定价应该超过3000元 认为定价不能超过3000元 40岁以上员工（含40岁） 100 50 40岁以下员工 150 150 （1）根据表（1）数据建立A产品所占市场份额y与定价x之间的回归直线方程（回归直线方程的斜率和截距均保留两位有效数字）； （2）根据表（2）中的数据，依据的独立性检验，能否认为产品定价的高低与员工的年龄具有相关性？ （3）若按照年龄进行分层抽样，从表（2）中认为定价应该超过3000元的员工中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记40岁以下员工的人数为X，求X的分布列以及数学期望. 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）; （2）有99%的把握认为产品定价与员工年龄有关; （3）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）直接进行数据分析，套公式求出回归方程；（2）套公式计算，对着参数下结论；（3）利用古典概型的概率公式直接计算. 【小问1详解】 由题意可得：，. 所以， . 所以. 即回归直线方程为. 【小问2详解】 由题意进行数据分析可得： . 所以有99%的把握认为产品定价与员工年龄有关； 【小问3详解】 依题意，按分层抽样随机抽取10人，40岁以上员工（含40岁）有4人，40岁以下员工有6人，故的可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 18. 已知函数及其导函数的定义域均为，的图象为一条连续不断的曲线，且与在上恒成立，设定义域为的函数． （1）求；（用含和的代数式表示）； （2）若． （ⅰ）证明：； （ⅱ）判断方程实根的个数，并说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）由（1）得， 因为，，，， 所以，即． 若存在，使得， 因为在上恒成立，所以在上单调递增， 又，则，与矛盾， 所以． （ⅱ）方程有且仅有一个实根． 因为，所以在上单调递增， 令，， 所以在上单调递增， 因此方程至多有一个实根． 因为，且的图象为一条连续不断的曲线， 所以， 取，则，从而， 所以， 由零点存在定理可知在内至少有一个零点， 故方程有且仅有一个实根． 【解析】 【分析】（1）利用公式求解. （2）（ⅰ）由，，，，得到．若存在，使得，由在上恒成立，得到在上单调递增，从而得到，与矛盾，从而得到证明. （ⅱ）求出在上单调递增，构造函数，利用导数法得到在上单调递增，得到方程至多有一个实根，由的图象为一条连续不断的曲线，得到，由零点存在定理可知在内至少有一个零点，从而得到结论. 【小问1详解】 因为，且， 所以． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 已知点到的距离与到定直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）记的左、右焦点分别为，，左顶点为，点和如下构造：在第二象限任取上一点，直线交于另一点，直线交于另一点． ①记直线的斜率为，证明：； ②设点关于直线的对称点为，探究：是否存在定圆，使得点始终在上？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：（i）设直线， 联立，消得. 设交点， 则. 点，所以. 当直线过时，，代入得； 当直线过时，，代入得； 两式相除得， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以其前项和为， 因为，所以，即得证. （ii）存在定圆，方程为. 【解析】 【分析】（1）求出点到的距离和点到定直线的距离表达式，进而化简计算即可. （2）（i）将直线与双曲线联立，结合韦达定理可得到是首项为，公比为的等比数列，进而求出其前项和得证； （ii）先求出直线恒过定点，结合对称性可求出结果. 【小问1详解】 设，则点到的距离为， 点到定直线的距离为，由于点到的距离与到定直线的距离之比为2 所以，两边平方得， 化简得. 【小问2详解】 （i）略. （ii）存在定圆，方程为，理由如下： 设直线，由（i）得， 又，，所以， 即， 解得，即直线恒过定点. 设，由对称性质得，消去整理得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三诊断练习（一） 数学 本试卷共19题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持答题卡面清洁，不要折叠，不要弄破．不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ） A. 或2 B. 或4 C. D. 5. 已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 当函数的零点个数最多时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（ ） A. ，，成等比数列 B. 为钝角三角形 C. ，，成等差数列 D. 若，则 10. 已知平行六面体的所有棱长都为1，顶点在底面上的射影为，若，则（ ） A. B. 与所成角为 C. O是底面的中心 D. 与平面所成角为 11. 若图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 13. 已知椭圆的左、右焦点为，且是抛物线的焦点，记与的一个交点为，若直线与只有一个公共点，则的离心率为__________． 14. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知公比为的等比数列的前项和为，且． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 某公司计划对A产品进行定价，前期针对A产品的售价以及相应的市场份额进行调研，所得数据如下表（1）所示.根据前期的销售情况，公司征求了所有员工对产品定价的看法，所得数据如表（2）所示 表（一） A产品售价x（千元） 22 31 40 A产品所占市场份额y 0.5 0.3 0.08 表（2） 认为定价应该超过3000元 认为定价不能超过3000元 40岁以上员工（含40岁） 100 50 40岁以下员工 150 150 （1）根据表（1）数据建立A产品所占市场份额y与定价x之间的回归直线方程（回归直线方程的斜率和截距均保留两位有效数字）； （2）根据表（2）中的数据，依据的独立性检验，能否认为产品定价的高低与员工的年龄具有相关性？ （3）若按照年龄进行分层抽样，从表（2）中认为定价应该超过3000元的员工中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记40岁以下员工的人数为X，求X的分布列以及数学期望. 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数及其导函数的定义域均为，的图象为一条连续不断的曲线，且与在上恒成立，设定义域为的函数． （1）求；（用含和的代数式表示）； （2）若． （ⅰ）证明：； （ⅱ）判断方程实根的个数，并说明理由． 19. 已知点到的距离与到定直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）记的左、右焦点分别为，，左顶点为，点和如下构造：在第二象限任取上一点，直线交于另一点，直线交于另一点． ①记直线的斜率为，证明：； ②设点关于直线的对称点为，探究：是否存在定圆，使得点始终在上？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $