精品解析：广东湛江市第二十一中学2027届高三上学期9月月考数学试题

湛江市第二十一中学2026-2027学年第一学期高三9月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中的元素个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求得，再求出，即可得答案. 【详解】因为， 所以，共8个元素. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助复数运算法则先计算出后利用复数模长公式计算即可得. 【详解】由，则，即， 则，故，故. 3. 从小到大排列的一组数据： ，若这组数据的第 50 百分位数与平均数相同，则 的值为（ ） A. 98 B. 104 C. 106 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】根据一组数据的百分位数与平均数的定义，列式求解即得. 【详解】由，可知这组数据的第 50 百分位数为， 而平均数为， 依题意，，解得. 故选：B. 4. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又周期为2，故，所以， 又，所以， 所以，所以. 5. 在中，内角、、所对边分别为、、，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简得出，再利用正弦定理结合连比定理可求得结果. 【详解】由余弦定理可得， 所以，所以，故， 由正弦定理可得，可得， 故. 故选：B. 6. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则， 因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 7. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 23 B. 27 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为是方程的两根，再根据韦达定理以及换底公式化简求出. 【详解】可化为， 因为，是方程的两个根， 所以是方程的两根， 则， 则. 故选：C 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列是等比数列，公比，其前项和为，则（ ） A. 当时，为递增数列 B. 若，，则 C. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 D. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，当时，时，为递减数列，故A错误； 对于B，若，，，，成等比数列， 则，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，即， 即，即，即， 所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，，，成等差数列，所以， 即，所以， 即，即， 所以，所以，，成等差数列，故D正确. 10. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面 C. M、O、三点共线 D. 直线与平面所成角的为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D. 【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A正确； 对于B，平面，平面，则，又， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，又，因此平面，B正确； 对于C，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点， 同理，点和都是平面和平面的公共点， 因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确； 对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成的角，在中，， 因此，，D错误. 故选：ABC 11. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的通项为， 令，则， 故项的系数为. 故答案为：80 13. 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【详解】 如图，以为原点，分别以为轴建系， ，，，， ，， 所以. 14. 函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用函数零点的意义，将点视为直线上的点，再利用目标函数的几何意义，借助点到直线距离公式列式，进而构造函数并利用导数求出最小值. 【详解】设为在上的零点，则，即点在直线上， 又为点到原点的距离的平方，原点到直线的距离为， 因此，即的最小值即为在上能成立， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）由，① 当时，，由 ，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为 ，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接， 因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的法向量，利用向量的距离公式，列出方程，求得，再由的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是的中点，可得， 因为，所以， 又因为平面，且平面，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 设，可得， 所以， 设平面的法向量为，可得， 令，可得，所以， 因为点到平面的距离为，可得， 则，解得，所以，所以，且. 又因为平面与轴所在直线垂直，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，可得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 17. 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. （1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； （2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； （3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 【答案】（1） （2） 0 2 3 5 7 8 10 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，求出可能的取值及相应的概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解； （3）先求出乙同学的总得分的可能取值及相应的概率，设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出，再由条件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确， . 【小问2详解】 可能的取值有, 所以的分布列为： 0 2 3 5 7 8 10 【小问3详解】 记为乙同学的总得分，可能的取值有， 则,，， ，， ， 设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分， 法一：因为， 则. 法二：， ， 18. 设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． （1）证明：点在以为直径的圆上； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：设直线的方程为，， 联立，即，则，，， 因为，则，又， 所以，所以，即， 所以点在以为直径的圆上； （2） 【解析】 【分析】（1）设直线方程及，两点坐标，联立方程组，列出韦达定理，要证点在以为直径的圆上，即证即可； （2）先根据已知条件可求出，再通过弦长公式及点到直线的距离公式，将面积表示成关于的式子，从而求出面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可得，，则， 所以，又， 所以， 由（1）知，，所以，解得， 由弦长公式可得， 又点到直线：的距离， 所以. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上递减，当时，在上递减，在上递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【小问1详解】 ∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． 【小问2详解】 由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． 【小问3详解】 由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2026-2027学年第一学期高三9月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中的元素个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 从小到大排列的一组数据： ，若这组数据的第 50 百分位数与平均数相同，则 的值为（ ） A. 98 B. 104 C. 106 D. 108 4. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 在中，内角、、所对边分别为、、，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 23 B. 27 C. D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列是等比数列，公比，其前项和为，则（ ） A. 当时，为递增数列 B. 若，，则 C. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 D. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 10. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面 C. M、O、三点共线 D. 直线与平面所成角的为 11. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 13. 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 14. 函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. （1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； （2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； （3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 18. 设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． （1）证明：点在以为直径的圆上； （2）若，求的面积． 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $