18.1.2 分式的基本性质 知识清单 2026-2027学年人教版八年级数学上册

18.1.2 分式的基本性质 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册　第十八章　分式　18.1.2 分式的基本性质 知识地图 ① 基本性质　分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 ② 系数化整　分子、分母同乘各系数分母的最小公倍数，各项系数都化为整数。 ③ 符号法则　分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 ④ 约分　约去分子与分母的公因式，结果是最简分式或整式。 ⑤ 最简分式　分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。 ⑥ 通分　把异分母分式化成同分母分式，关键是确定最简公分母。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 理解 理解分式的基本性质，知道它与分数基本性质的联系 掌握 会用分式的基本性质进行恒等变形（系数化整、变号） 掌握 会确定分子、分母的公因式，正确约分，理解最简分式 掌握 会确定最简公分母，正确通分 应用 能综合运用基本性质进行化简与求值 2. 本节重难点 重点：分式的基本性质，约分与通分。 难点：分子、分母是多项式时先分解因式再约分、通分；确定最简公分母；符号法则的灵活运用。 二、分式的基本性质（第 1 课时） 1. 类比分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子与分母乘（或除以）同一个不为 0 的数，分数的值不变。例如 = = 。把这里的“数”换成“整式”，就得到分式的基本性质。 2. 分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 = ，　　 = 　（C ≠ 0，A、B、C 都是整式） 如图 1，先用分数说明这个性质：同一块长方形，平均分成 3 份取 2 份是 ；把每份再平均分成 2 份，共 6 份取 4 份是 。涂色部分的面积始终没变，所以 = ；反过来把分子、分母同时除以 2，又能由 得到 。 图 1　分式的基本性质：分子、分母同乘（或同除以）同一个不等于 0 的整式，值不变 ★ 注意三点：① 分子、分母必须乘（或除以）同一个整式；② 这个整式不能等于 0；③ 只能“同乘同除”，不能“同加同减”。 3. 例 1（教材 P140 例 1）说明变形的依据 例 1　下列等式从左到右是怎样运用分式的基本性质变形的？ (1) = （a ≠ 0）；　　(2) = （n ≠ 0）。 解：(1) 分子、分母同除以 a（a ≠ 0），分式的值不变； 　　(2) 分子、分母同乘 n（n ≠ 0），分式的值不变。 ★ 提醒：同乘（或同除以）的整式必须不等于 0，所以变形时要注明 a ≠ 0、n ≠ 0。 4. 例 2（教材 P141 例 2）填空 例 2　填空： (1) = ；　　(2) = ； (3) = ；　　(4) = 。 解：(1) 分母乘了 b，分子也乘 b，括号内填 ab + ； 　　(2) 分子 = (x − y)2，分母 = (x + y)(x − y)，同除以 (x − y)，括号内填 x − y； 　　(3) 分母乘了 (x + 1)，分子也乘 (x + 1)，括号内填 2x + 2； 　　(4) 分母除以 (x − 2)，分子也除以 (x − 2)，括号内填 − 2x。 ★ 方法：看分母怎样变，想分子怎样变；看分子怎样变，想分母怎样变。 三、把分子、分母中各项系数化为整数 1. 方法 当分式的分子、分母中各项的系数是分数或小数时，可以依据分式的基本性质，把分子、分母同乘一个适当的数（各系数分母的最小公倍数），把各项系数都化为整数，分式的值不变。 ★ 只把“系数”化成整数，字母和字母的指数都不变；同乘的数必须是非零数。 2. 例 3（教材 P141 例 3） 例 3　不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1) ；　　(2) 。 解：(1) 分子、分母中系数的小数位数最多是 1 位，同乘 10，得 ； 　　(2) 各系数分母 2、3 的最小公倍数是 6，分子、分母同乘 6，得 。 3. 例 4　巩固练习 例 4　不改变分式的值，把分式 的分子、分母中各项系数化为整数。 解：分子、分母中系数的小数位数最多是 2 位，同乘 100，得 。 四、分式的符号法则 1. 符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 = = − = − 如图 2，以 为例：把分子、分母同时变号，或把分子与分式本身同时变号，或把分母与分式本身同时变号，得到的分式都与原分式相等。 图 2　分式的符号法则：改变分子、分母、分式本身三个符号中的任意两个，值不变 ★ 数一数分子、分母中“−”号的个数：奇数个时结果保留一个“−”号，偶数个时结果为正。通常把分子、分母的首项都化为正号。 2. 例 5　使分子、分母都不含“−”号 例 5　不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“−”号： (1) ；　　(2) ；　　(3) ；　　(4) −。 解：(1) 只有分子含“−”，结果为负： = −； 　　(2) 只有分母含“−”，结果为负： = −； 　　(3) 分子、分母都含“−”，可同时去掉： = ； 　　(4) 分式本身与分母都含“−”，可同时去掉：− = 。 3. 例 6　巩固练习 例 6　不改变分式的值，把 的分子与分母都不含“−”号。 解：分母 −a − b = −(a + b)，所以 　　 = = − = 。 五、约分与最简分式（第 2 课时） 1. 约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。 约分的依据是分式的基本性质：分子、分母同除以它们的公因式，分式的值不变。 2. 找公因式的方法 看什么 怎样取 系数 取分子、分母系数的最大公约数 相同的字母（或因式） 取相同字母（或因式）的最低次幂 分子或分母是多项式时，先把它分解因式，再找公因式。 3. 约分的步骤 步骤 做法 一找 先确定分子、分母的公因式 二约 依据分式的基本性质，分子、分母同除以公因式 三查 检查结果是不是最简分式或整式 4. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式。 约分时，一般要约去分子、分母所有的公因式，使结果成为最简分式或整式。 5. 例 7（教材 P142 例 1） 例 7　约分： (1) ；　　(2) ；　　(3) 。 解：(1) 系数的最大公约数是 3，相同字母取最低次幂 a、b，公因式是 3ab，所以 　　 = = 。 　　(2) − 4 = (x + 2)(x − 2)， + 4x + 4 = (x + 2)2，公因式是 (x + 2)，所以 　　 = = 。 　　(3) 因为 (1 − m) = −(m − 1)，先提出“−”号，再约去公因式 3ab(m − 1)： 　　 = − = −。 ★ 提醒：分子、分母中有互为相反数的因式时，先提“−”号化成相同因式，再约分。 六、通分与最简公分母 1. 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分。 通分的依据也是分式的基本性质：分子、分母同乘一个适当的整式。 2. 最简公分母 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母。 确定最简公分母 怎样取 系数 取各分母系数的最小公倍数 字母（或因式） 取各分母中所有出现的字母（或因式） 次数 相同字母（或因式）取最高次幂 各分母是多项式时，先把它们分解因式，再确定最简公分母。 如图 3，约分与通分是方向相反的两条路，它们都以分式的基本性质为依据。 图 3　约分（同除以公因式）与通分（同乘适当的整式）都以基本性质为依据 3. 例 8（教材 P143 例 2） 例 8　通分： (1) 与 ；　　(2) 与 。 解：(1) 系数 2、3 的最小公倍数是 6，字母取最高次幂 、、c，最简公分母是 6c。 　　 = ，　　 = 。 　　(2) − 25 = (x + 5)(x − 5)，2x − 10 = 2(x − 5)，最简公分母是 2(x + 5)(x − 5)。 　　 = ，　　 = 。 七、典型例题 【基础题】 例 9　下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. = 　　B. = 　　C. = （m ≠ 0）　　D. = 解：选 C。A 是分子、分母同加一个数，值会变；B 没有说明 c ≠ 0，变形不一定成立；D 是分子、分母同平方，值会变；只有 C 是分子、分母同除以 m（m ≠ 0），值不变。 例 10　填空： = 。 解：分母乘了 (x − y)，分子也乘 (x − y)，括号内填 − xy。 例 11　约分：(1) ；　　(2) 。 解：(1) 公因式是 4xy，原式 = ； 　　(2) 分子 = (a + 3)(a − 3)，分母 = (a + 3)2，原式 = 。 例 12　不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“−”号： (1) ；　　(2) ；　　(3) −。 解：(1) = −；　　(2) = −；　　(3) − = 。 【提升题】 例 13　下列分式中，是最简分式的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解：选 A。B、C 的分母 (x + 1)(x − 1) 与分子有公因式，D 的分子 (x + 1)2 与分母有公因式，都能继续约分；只有 A 的分子、分母没有公因式。 例 14　约分：(1) ；　　(2) 。 解：(1) 原式 = = ； 　　(2) 原式 = = 。 例 15　通分：(1) 与 ；　　(2) 与 。 解：(1) 最简公分母是 12， = ， = ； 　　(2) − 1 = (x + 1)(x − 1)，最简公分母是 (x + 1)(x − 1)， 　　 = ，　　 = 。 例 16　不改变分式的值，把分式 的分子、分母中各项系数化为整数。 解：各系数分母 2、3、4、6 的最小公倍数是 12，分子、分母同乘 12，得 。 八、易错清单 序号 易错点 正确做法 1 认为分子、分母可以同加（或同减）同一个整式 只能同乘（或同除以）同一个不等于 0 的整式 2 同乘（或同除以）时忘了说明整式不等于 0 这个整式必须不等于 0，变形才成立 3 系数化整时只乘了部分系数 分子、分母同乘的数要覆盖所有系数（取各分母的最小公倍数） 4 符号法则里同时改了三个符号 只能改其中两个；改三个相当于给分式变了号 5 约分时只约系数，或只约一部分字母 要约去分子、分母所有的公因式，直到最简分式或整式 6 分子、分母是多项式时不分解因式就约分 先分解因式，找出公因式再约 7 把“约去公因式”写成“约去相同的项” 只能约因式（乘积中的因子），不能约加减中的项 8 通分时只把分母变成最简公分母，分子不跟着变 分子必须乘同一个整式，分式的值才不变 附：错解辨析 下面几种错误最常见，请对照检查自己的解法。 题目 错解 错因 正确解 约分 漏掉 (1 − m) = −(m − 1) 的负号 − 去掉“−”号 丢了一个负号，分式的值变了 − 的分子、分母都加 1 违背基本性质（只能同乘同除） 不能这样变形 把 系数化整 分母各项并未同乘 10 九、方法总结与知识结构 1. 解题的一般思路 要解决的问题 做法 判断变形是否正确 看是不是分子、分母同乘（或同除以）同一个不等于 0 的整式 把系数化为整数 分子、分母同乘各系数分母的最小公倍数 去掉分子、分母的“−”号 数“−”号的个数，奇数个留一个负号，偶数个为正（符号法则） 约分 先找公因式（系数最大公约数 × 相同因式最低次幂）→ 分子、分母同除以公因式 通分 先把分母分解因式 → 确定最简公分母 → 分子、分母同乘相应的整式 2. 知识结构 基本性质： = = （C ≠ 0，A、B、C 是整式）。 作用：是分式恒等变形的依据，约分、通分都要靠它。 系数化整：分子、分母同乘各系数分母的最小公倍数，各项系数都化为整数。 符号法则：分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 约分：约去公因式 → 最简分式或整式；公因式 = 系数最大公约数 × 相同因式最低次幂。 通分：化成同分母分式；最简公分母 = 系数最小公倍数 × 各因式最高次幂。 十、学以致用（即时自测） 1. 下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. = 　　B. = 　　C. = 　　D. = 2. 若 = ，则括号内应填 __________。 3. 不改变分式的值，把 的分子、分母中各项系数化为整数，结果是 __________。 4. 约分： = __________。 5. 通分： 与 的最简公分母是 __________。 参考答案 1. C（A、D 是分子、分母同加同减，B 是同平方，都改变分式的值）。 2. 分母乘了 (x + 2)，分子也乘 (x + 2)，填 3(x + 2) = 3x + 6。　3. 同乘 10，得 。 4. 原式 = 。　5. 6（系数取 2、3 的最小公倍数 6，字母取最高次幂 a2）。 解题小贴士 ① 变形的关键：分子、分母“同乘（或同除以）”，且乘（除）的整式不等于 0。 ② 约分看“因式”，通分看“公分母”；分子、分母是多项式时，先分解因式。 ③ 符号法则只改两个符号；结果通常把分子、分母的首项都化为正号。 十一、知识拓展与思考 例 17　已知 = 3（y ≠ 0），求分式 的值。 解：因为 y ≠ 0，所以 xy ≠ 0。把分式的分子、分母同除以 xy，得 　　 = = = 2。 例 18　若把分式 中的 x、y 的值都扩大为原来的 5 倍，分式的值怎样变化？ 解：把 x、y 分别换成 5x、5y，得 = = ，所以分式的值不变。 例 19　先约分，再求值：，其中 x = 3。 解：原式 = = 。当 x = 3 时，原式 = = = 。 十二、数学活动 活动一　同加不行——辨一辨 例 20　小明说：“因为 = = ，所以分子、分母同加同一个数，分式的值不变。”他说得对吗？为什么？ 答：不对。 ≈ 0.667，而 = 0.75，两者不相等。分式的基本性质只允许分子、分母同乘（或同除以）同一个不等于 0 的整式，不允许同加（或同减）。 活动二　约分、通分与基本性质 例 21　填空，并说出每一步的依据： (1) = （约分）；　　(2) = （通分）。 答：(1) 分子、分母同除以 3xy，得 ，所以括号内填 2x； 　　(2) 分母由 2x 变成 4，是乘 2x，分子也乘 2x，括号内填 2x。 活动三　变号的妙用 例 22　不改变分式的值，把 的分子与分母都不含“−”号。 解：分子 −x + 3 = −(x − 3)，分母 −2x − 1 = −(2x + 1)，分子、分母同时变号， 　　 = = 。 十三、综合应用 下面几题都要先把式子变形为含有“已知式”的形式，再用基本性质或约分求出结果。 例 23　已知 x + y = 5xy（xy ≠ 0），求分式 的值。 解：原式 = = = = 1。 例 24　已知 a − 2b = 0（b ≠ 0），求分式 的值。 解：由 a − 2b = 0，得 a = 2b。把 a = 2b 代入，得 　　 = = = 。 例 25　已知分式 。 (1) 当 x 取什么值时，分式有意义？(2) 当 x 取什么值时，分式的值为零？(3) 把这个分式约分。 解：(1) 由 x − 2 ≠ 0，得 x ≠ 2； 　　(2) 由 − 4 = 0，得 x = 2 或 x = −2；x = 2 应舍去，所以 x = −2； 　　(3) 原式 = = x + 2（x ≠ 2）。 十四、综合应用（续） 下面两题都先把分式变形（把系数化为整数或去掉“−”号），再代入求值。 例 26　不改变分式的值，先把 的分子、分母中各项系数化为整数，再求当 x = 2、y = 1 时分式的值。 解：分子、分母同乘 10，得 。 　　当 x = 2、y = 1 时，原式 = = = 。 例 27　不改变分式的值，先使 的分子、分母都不含“−”号，再求当 a = 2、b = 1 时分式的值。 解：分子、分母同时变号，得 。 　　当 a = 2、b = 1 时，原式 = = = 。 十五、本课技能自查 对照下表逐项自查，已经掌握的请打“√”；还没掌握的，回看对应例题。 我应掌握的技能 对应例题 用基本性质说明等式变形的依据 例 1、例 9 用基本性质填空（看分母想分子） 例 2、例 10 把分子、分母中各项系数化为整数 例 3、例 4、例 16、例 26 用符号法则去掉分子、分母的“−”号 例 5、例 6、例 12、例 22、例 27 找公因式并约分 例 7、例 11、例 14 判断一个分式是不是最简分式 例 13 确定最简公分母并通分 例 8、例 15、例 21 判断扩大（缩小）后分式的值怎样变化 例 18 变形（整体代入、约分）后求值 例 17、例 19、例 23、例 24、例 25 ★ 判断变形是否成立，只看是不是“同乘（或同除以）”、且所乘（除）的整式不为 0。 学科网（北京）股份有限公司 $