18.4 整数指数幂 导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 · 第十八章 分式 · 18.4 整数指数幂（导学案） 第十八章 分式 18.4 整数指数幂 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 八年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第十八章 分式 · 第 4 节 · 2 课时 · 教材 P158—P163 数的范围是一点点扩大的，数的运算也跟着一点点推广。加法最初只在非负整数里用，后来有了分数、有了负数，才有了有理数范围内的加法。这一节要办的正是同一件事，只是扩大的对象换成了幂的指数：以前 里的 n 只能是正整数，现在要让指数能取 0，也能取负整数。 扩范围不能靠另起一套。老办法是：先定一条新规则，再看老性质还灵不灵。于是本节从 ÷ 这一个式子出发，用两条路各算一遍——两条路算的是同一个式子，结果必须一样，所以 只能等于 。把这一步立成规定，指数就能一路往左排下去。 指数扩到全体整数以后，正整数指数幂的三条运算性质照样能用；再把小于 1 的正数也写成 a×，一些很小的数就能写得又短又准。整节的走法可以概括成一句话：给指数表往左补格子。 学习目标 1. 知道两条规定的原文与前提： = 1（a≠0）， = （a≠0，n 是正整数）。 2. 理解负整数指数幂的规定是怎么来的：由 ÷ 用分式的约分与同底数幂相除两条路算得同一结果，从而把 = 这一格补上。 3. 知道 （a≠0）是 的倒数；知道负指数里的负号管的是"取倒数"，与结果的正负无关。 4. 会做整数指数幂的运算：按"先算幂、再化去负整数指数、最后化为正整数指数幂"的顺序算，结果里不残留负整数指数。 5. 知道正整数指数幂的五条运算性质在指数扩到全体整数后仍然成立，并能把它们合并成三条（m、n 都是整数，底数都不为 0）。 6. 会用科学记数法表示小于 1 的正数：写成 a×（1≤a<10，n 是正整数），会数 n，也能把这种写法还原成小数。 7. 能用整数指数幂与科学记数法解决简单的实际问题（比较大小、估计数量），并按"统一单位、列式计算、作答"三步写。 学习重点与难点 项目 内容 学习重点 负整数指数幂的意义 = （a≠0）； 与 互为倒数；整数指数幂的三条运算性质；用科学记数法表示小于 1 的正数；结果化为正整数指数幂 学习难点 第一，把负指数当成"结果的负号"，把 算成 -4；第二，写规定时漏掉底数不为 0 这个前提，甚至误算 ；第三，积的乘方没有"每个因式分别乘方"， 里系数 = 1 被漏掉；第四，幂的乘方没有把指数相乘， 中 (-2)×(-3) 得 6 而不是 -6；第五，指数该加该乘分不清，把 × 与 混用；第六，结果里还留着负整数指数就交卷；第七，用科学记数法表示小于 1 的正数时 n 数错一位，或写出 35× 这种不满足 1≤a<10 的形式 课时与教材页码 课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾 第 1 课时　18.4.1 整数指数幂与负整数指数幂 P158—P161 由数的范围扩大类比出幂的指数扩充（课本 P158 情境）；复习正整数指数幂与零指数幂；由 ÷ 的两条算法补出规定 = （a≠0）；例 1（课本 P160）四小题；由具体例子验证老性质仍然成立，并把五条性质合并成三条；课本 P161 练习 第 1—2 题 ○ 第 2 课时　18.4.2 用科学记数法表示小于 1 的正数 P161—P163 从雾尘、毛细血管、石墨烯厚度等情境体会小数的简明写法（课本 P161）；仿照 0.1 = 填空并归纳出 a×（1≤a<10，n 是正整数）；数 n 的方法；例 2（课本 P162）碳纳米管；课本 P162 练习 第 1—2 题；完成《习题18.4》 ○ 本节正文从课本 P158 的情境开始，到 P163 的《习题18.4》结束。课本 P158 的"溯源"栏目讲了幂的符号从丢番图到笛卡儿的演变，还提到牛顿 1676 年的设想，这一栏目配的图（课本图18.4-1）请同学自己翻课本看，本材料不重画。 开场六问 1. 计算： = ______； = ______。再想一想： 为什么规定为 1？ 2. 计算：÷ = ______（用分式的约分算）；如果照"同底数幂相除，指数相减"算，结果写成幂是 ______。 3. 填空：当 n 是正整数时， = ______（a≠0），所以 是 的 ______。 4. 计算： = ______； = ______； = ______。 5. 用科学记数法表示：0.000 257 = ______；0.000 000 08 = ______。 6. 说一说：计算 × 时，你打算先算哪一步？为什么积的乘方要"每个因式分别乘方"？ 我写热身答案： 【预习提醒】第 1 题：8；1。规定 = 1（a≠0），这样"同底数幂相除，指数相减"在 m = n 时也能用。第 2 题：÷ = = ；写成幂是 。两式结果相同，所以 = 。第 3 题：；倒数。第 4 题： = ； = ； = -。第 5 题：2.57×；8×。第 6 题：先算乘方。 是积的乘方，括号里是 与 两个因式的积，要把它们分别乘方，指数相乘得 ；这一步不能与前面的 合在一起算。 一、先看这张表 · 指数能取哪些值 这一节要动的是幂的指数。以前 里的 n 只能是正整数，另外还额外规定过 = 1（a≠0），除此之外再没有别的指数了。指数还能不能接着往左排？能排，只是要先补上一格。 动手之前，先把"指数能取哪些值"排成一张表看清楚。看清了表的左半截是怎么补上去的，后面的规定就不用背，自己也能推出来。 1. 指数能取哪些值，如图 1。 图 1 指数能取哪些值：负整数指数、零指数、正整数指数 对着图看三格：最右边一格是早就学过的正整数指数；中间一格是规定过的零指数；最左边一格是本节要补上的负整数指数。三格排在一起，指数就从负整数一路连到正整数。 2. 三格各自的来历，与这一节的课本出处（课本 P158—P161）：正整数指数来自定义，零指数来自规定，负整数指数本节也要用一条规定补上。 指数 幂的写法 来历 课本出处 打勾 负整数指数 本节要补的规定： = （a≠0） 本节补充（课本 P159） ○ 零指数 规定 = 1（a≠0），以前学过 已学过（课本 P158 情境中复习） ○ 正整数指数 定义：n 个 a 相乘，以前学过 已学过（课本 P158 情境中复习） ○ 3. 一句话说完本节的走法：先把指数表往左补一格（补上负整数指数幂），再验一验老规则还灵不灵（三条运算性质），最后拿它去写很小的数（科学记数法）。本节的板块顺序就是照着这三步排的。 4. 想一想：数的范围是怎么扩大的？加法从非负整数扩到有理数，靠的是什么？幂的指数要往左扩，能不能照这个法子来？ 我写想法： 【走法提醒】加法能从非负整数扩到有理数，靠的是"定一条新规则，让老性质仍然成立"。幂的指数也一样：只要规定 = ，"同底数幂相除，指数相减"这条老性质在指数相减得负数时就能照样用。所以扩范围不是另起一套，而是让老规则继续灵。 二、往左补一格 · 把负整数指数幂的规定补上 补格子这件事不是凭空想一个数出来，而是"逼"出来的：拿一个必须算的式子，用两条路各算一遍，两条路的结果必须一样，这一格里放的东西就被唯一确定了。 这一板块分三步走：先用 ÷ 把 逼出来；再把这一步写成一条规定；最后看清 与 之间是倒数关系，顺手把负号的意思弄对。 1. 逼出 ：同一个式子，两条路各算一遍，如图 2。 图 2 往左补一格：照旧用性质算得 ，再补一条规定 = 对着图看上下两格：上一格是照旧用性质算，照"同底数幂相除，指数相减"得 ；下一格是再补一条规定，改用分式的约分算同一个式子，得 。同一个式子算出两个结果，所以只能规定 = 。 2. 两条路各自的算法（课本 P159）：一路用分式的约分，÷ = = ；二路是去掉"m>n"的限制、假设同底数幂相除的性质仍然可用，÷ = = 。 两条路算的是同一个式子，结果必须相同，于是得到 = 。一般地，当 n 是正整数时， = （a≠0）。这就是本节要补的那一格。注意它带着一个前提：右边要把 放到分母上，所以 a 不能等于 0 —— 0 没有倒数。 3. 底数相同时，两个幂互为倒数，如图 3。 图 3 底数相同时的两个幂：指数互为相反数，两个幂互为倒数 对着图看左右两格：底数都是 a，指数一个是 -n、一个是 n，正好互为相反数；把这两个幂放在一起，它们就互为倒数。所以要算 ，只要把 取倒数就行。 规定 = （a≠0，n 是正整数）落在两句话上：一是负整数指数幂就是"把底数取倒数再乘方"；二是 与 互为倒数。特别要提醒一句：负号管的是取倒数，跟结果的正负毫无关系。 = 是正数， = - 才是负数 —— 结果的正负要看底数的正负与指数的奇偶，不能只看指数上有没有负号。 4. 例题（课本 P160 例 1）：(1) ÷；(2) ；(3) ；(4) ×。 分析与解答：四道小题的做法都是"先算幂（该加的加、该乘的乘），再把负整数指数化成正整数指数"。第 (1) 小题用同底数幂相除；第 (2) 小题先分式的乘方、再取倒数；第 (3)(4) 小题是积的乘方与幂的乘方混在一起。 (1) 原式 = = = 。 (2) 原式 = = = = 。 (3) 原式 = = 。 (4) 原式 = × = = 。 【解题提醒】四道小题各有一处要盯住。第 (1) 小题是"指数相减"：(-2) 减 5 得 -7，别算成 -3 或 3。第 (2) 小题两步走：先按"分式的乘方 = 分子、分母分别乘方"写成 ，再用负指数取倒数，得 —— 分子上的 搬到分母上就成了 。第 (3) 小题是积的乘方： 与 都要乘方 3 次，指数相乘得 与 。第 (4) 小题最容易错在 ：幂的乘方要把指数相乘，(-2)×(-3) = 6，所以是 而不是 。 我写例题解答： 5. 即时练习（课本 P161 练习 第 1 题）：计算：(1) ÷；(2) ；(3) ×。每题写两步：先算幂，再把负整数指数化成正整数指数。 我写练习答案： 【解题提醒】这道题三道小题的得数依次是 、、。第 (1) 小题两个幂相除，指数相减得 ；第 (2) 小题是积的乘方，系数 2 与 a、 都要分别乘方， 得 ；第 (3) 小题先把除法改成乘法：× = ×a = 。 6. 即时练习（课本 P161 练习 第 2 题）：计算：(1) ÷；(2) ÷。 我写练习答案： 【解题提醒】两道小题的得数依次是 与 。第 (1) 小题 ()÷ = = ，注意减负得加。第 (2) 小题先把两个幂算开： = ， = ，再相除，指数分别相减得 。 7. 想一想： 的规定里，为什么要写明 a≠0？如果把 0 代进去，会出现什么问题？ 我写想法： 8. 自主小结：把 = 这条规定复述一遍（连前提一起说）；再说说它是怎么从 ÷ 里推出来的。 我写小结： 三、老规则还灵不灵 · 运算性质与三条合并 指数从正整数扩到全体整数，最要紧的一句话是：以前那几条性质还灵不灵？这件事不能靠"应该还灵"就算数，要一条一条拿例子验过才作准。 验完之后会发现一件省事的事：五条性质里有两条可以被另外三条推出来，于是五条并成三条。要记的少了，出的错也跟着少了。 1. 五条性质并成三条，如图 4。 图 4 把五条并成三条：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 对着图看左右两栏：左边是原来的五条（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除、商的乘方），右边只剩三条。中间少掉的那两条，是被"并"进去的。 2. 五条变三条的依据（课本 P160—P161）：同底数幂的除法可以转化为乘法 ÷ = × = ；商的乘方可以转化为积的乘方 = = 。有这两条转化，五条里的后两条就不必单列了。 合并后有 m、n 都是整数，底数都不为 0）：(1) × = ；(2) = ；(3) = 。三条要配着三句话记：同底数幂相乘，指数相加；幂的乘方，指数相乘；积的乘方，每个因式分别乘方。三句话各配一个小例子写在旁边，就不容易混。 3. 三条性质的具体内容与各自的小例子，如下表。 三条性质 三句话 小例子 打勾 (1) × = 同底数幂相乘，指数相加 × = ○ (2) = 幂的乘方，指数相乘 = ○ (3) = 积的乘方，每个因式分别乘方 = 4 ○ 4. 探究（课本 P160）：引入负整数指数幂与零指数幂以后，上面的性质在指数取负数、取 0 时还成立吗？三种情形各验一遍。 × = = = ；又 × = × = 。两条路结果相同，成立。 × = = = ；又 × = × = 。两条路结果相同，成立。 × = = = ；又 × = 1× = 。两条路结果相同，成立。 5. 算整数指数幂有两条路，如图 5。 图 5 两条处理路径：先化再算，或直接用性质 对着图看左右两栏：一路是先把每一个负整数指数幂写成分式，再用分式的乘除去算；二路是直接在整数指数幂范围内用那三条性质算到底，最后把负指数化成正指数。两条路都能走到头，挑自己顺手的一条即可。 6. 两条路各有各的注意点（课本 P160）：一路的好处是不必记负指数的运算，坏处是式子会长一些；二路的好处是式子短，坏处是中间容易在指数该加该乘上出错。两条路都要求同一件事：交卷前扫一眼，结果里不许残留负整数指数。 7. 三条纪律一起记下来：一不许残留负整数指数；二不许漏写底数不为 0 的条件；三不许把不同底数的幂硬合并。 8. 默写：把合并后的三条性质写一遍（m、n 都是整数，底数都不为 0）。 我写三条性质： 9. 想一想：× = 与 = 长得很像，你能各举一个指数是负数的例子，把它们区分开吗？ 我写想法： 10. 自主小结：把合并后的三条性质说一遍；再说说原来的五条是怎么变成三条的。 我写小结： 四、往小处用它 · 用科学记数法表示小于 1 的正数 指数能取负整数以后，就多出一种很好用的写法。以前科学记数法只会把很大的数写短（a×，n 是正整数）；现在 n 也能取负整数，于是很小的数照样能写短。 这一板块要练两件事：一是把小于 1 的正数写成 a×（1≤a<10，n 是正整数），二是把这种写法还原成小数。写与还原是一对互逆的动作，可以用一个去检查另一个。 1. 两种写法只差一个符号，如图 6。 图 6 小数点往哪边移：比 1 大的数用 a×，比 1 小的数用 a× 对着图看左右两栏：左边是比 1 大的数，写成 a×，小数点往右移；右边是比 1 小的数，写成 a×，小数点往左移。两种写法长得一样，只有 10 的指数符号不同。写之前先看这个数在 1 的哪一边。 2. 小于 1 的正数的科学记数法（课本 P161）：小于 1 的正数可以写成 a× 的形式，其中 1≤a<10，n 是正整数。n 等于原数左边第一个不为 0 的数字前面所有 0 的个数，小数点前面那一个 0 也要算进去。 3. 例子与填空：0.002 7 = 2.7×；0.000 016 2 = 1.62×。仿照 0.1 = ，可得 0.01 = 、0.001 = 、0.000 1 = 、0.000 01 = 。 4. n 是怎么数出来的，如图 7。 图 7 n 是怎么数出来的：从第一个不是 0 的数字往回数 0 的个数 对着图看那一串数字：从左边的小数点起，一直数到第一个不是 0 的数字为止，路上有几个 0，n 就是几再加 1。数完了，再把小数点挪到第一个非 0 数字的后面。 5. 例题（课本 P162 例 2）：碳纳米管是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为 2 至 20 纳米。通常一根头发丝的直径约为 70 微米，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？ 分析与解答：先把三个量的单位都统一成米。1 微米 = 米，1 纳米 = 米，所以 70 微米 = 70× 米，2 纳米 = 2× 米，20 纳米 = 20× 米。再把两个量相除。 (70×)÷(2×) = 35× = 3.5×；(70×)÷(20×) = 3.5×。 所以一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的 3.5× 至 3.5× 倍。 【解题提醒】这道题有三处要盯住。第一处是单位：先把微米、纳米都换成米，换错了后面全错。第二处是两次除法各算各的，因为碳纳米管的直径本来就是一个区间（2 至 20 纳米），所以倍数也是一个区间。第三处是结果的规范：算出 35× 不能就停笔，a 必须满足 1≤a<10，所以要写成 3.5×。 我写例 2 解答： 6. 即时练习（课本 P162 练习 第 1 题）：用科学记数法表示：(1) 0.000 3；(2) 0.000 020 09；(3) 0.000 000 105。 我写练习答案： 【解题提醒】三道小题的得数依次是 3×、2.009×、1.05×。第 (1) 小题小数点后面第一个非 0 数字前面有 3 个 0，加 1 得 4。第 (2) 小题 0.000 020 09 里，第一个非 0 数字是 2，它前面有 4 个 0，加 1 得 5，所以是 2.009×，注意 2 后面的两个 0 要保留在小数部分里。第 (3) 小题第一个非 0 数字是 1，前面有 6 个 0，加 1 得 7。 7. 即时练习（课本 P162 练习 第 2 题）：把用科学记数法表示的数还原成小数：(1) 1×；(2) 7.04×；(3) 5.23×。 我写练习答案： 【解题提醒】三道小题的得数依次是 0.000 1、0.000 070 4、0.000 000 523。还原的动作就是把小数点向左移动 n 位，位数不够就在前面补 0。第 (2) 小题 7.04 的小数点往左移 5 位，得 0.000 070 4，中间的两个 0 不能丢。还原与表示互为逆动作，可以把还原的结果再写成科学记数法，检查两遍是否一致。 8. 想一想：若一个小数的小数点后到第一个非 0 数字之间共有 m 个 0，那么这个数写成科学记数法时，10 的指数是多少？说说你的理由。 我写想法： 9. 自主小结：把小于 1 的正数的科学记数法说一遍（连 a 的范围一起说）；再说说数 n 的动作该怎么走。 我写小结： 五、收尾清点 · 易错清单、自评与作业 一节扩范围的课学完，先把最容易踩的几处集中查一遍。本节的规定与性质都不多，可错的地方却相当集中：把负指数当成负数、漏写底数不为 0、积的乘方漏乘系数、幂的乘方的指数没相乘、指数该加该乘分不清、结果里还留着负指数、数 n 数错一位。下面把最常见的七处列成三栏：错法、错在哪里、怎么改。做题时若有一道怎么算都不顺，回来对一对。 查完以后再动手做作业。本节作业分两层：第一层是课本《习题18.4》的复习巩固与综合运用，人人必做；第二层是拓广探索与本材料自编的分层练习，量力选做。 错法 错在哪里 怎么改 ① 把负指数当成负数 算成 -4；一看见指数上有负号，就先在结果前面写个负号 负号管的是取倒数： = = 。结果的正负要看底数的正负与指数的奇偶 ② 漏写底数不为 0 写 = 时不带 a≠0；甚至动笔算 每次写规定都把"a≠0"一起写出来；0 没有倒数，0 的负整数指数幂没有意义 ③ 积的乘方漏乘系数 算成 ，把底数里的系数 -1 丢掉了 积的乘方要每个因式分别乘方，系数也要乘： = 1，正解是 ④ 幂的乘方指数没相乘 算成 ，b 的指数连符号一起写错 幂的乘方要把指数相乘：(-2)×(-3) = 6，应为 = ⑤ 指数该加该乘分不清 把 × 算成 ，把 算成 背三句话：同底数幂相乘，指数相加；幂的乘方，指数相乘；积的乘方，每个因式分别乘方 ⑥ 结果残留负整数指数 把 写成 ，就当成做完了 交卷前把全式扫一眼，把负整数指数一律化成正整数指数 ⑦ 科学记数法 n 数错一位 0.000 008 写成 8×；0.000 000 000 335 写成 33.5× n 数"第一个非 0 数字前面 0 的个数"（含小数点前的那一个 0）；a 必须满足 1≤a<10 1. 自查：上面的七条里，本节你做错过的有哪几条？把序号写下来，再各写一句"下一次怎么躲开它"。 我写易错自查： 【自查提醒】七条里，第 ① 条与第 ⑤ 条最容易反复。第一条是"负号的误解"——只要指数上有负号就以为结果是负数，纠正的办法是每见到负指数就先改写成分式，再动笔算数值。第五条是"该加该乘"——两条性质长得像，纠正的办法是每条性质旁各写一个小例子，做之前先念一遍那三句话。 评价项目 自评 能说出 = 这条规定，并带上"a≠0"这个前提 ○ 能说清这条规定是怎么从 ÷ 里推出来的 ○ 知道 与 互为倒数，也知道负号管的是取倒数 ○ 会做整数指数幂的运算，结果里不残留负整数指数 ○ 能说出合并后的三条运算性质，并配得上那三句话 ○ 知道三条性质在指数取负数、取 0 时仍然成立，并能举一个例子验证 ○ 会用科学记数法表示小于 1 的正数，会数 n，也会还原成小数 ○ 能用整数指数幂与科学记数法解决简单的实际问题，并按"统一单位、列式计算、作答"三步写 ○ 2. 学习反思：写两句——本节的三条规定与三条性质里，哪一件你用着最顺？哪一处最容易踩坑，还需要再练几道题？ 我写学习反思： 3. 作业安排（课本《习题18.4》在课本 P162—P163，共 8 题） 层次 题目范围 要求 打勾 必做 复习巩固 第 1—4 题（课本 P162） 全做，写在作业本上；每题要写出"先算幂 — 化去负整数指数 — 化为正整数指数幂"的过程 ○ 必做 综合运用 第 5—6 题（课本 P163） 先算幂的乘除，再把结果化成正整数指数幂；结果若用科学记数法表示，a 要满足 1≤a<10 ○ 选做 拓广探索 第 7—8 题（课本 P163） 第 7 题先写"因为 x + = 3，所以 = 9 ……"；第 8 题先写 1 滴水的质量，再列式计算，结果写"答"并带单位 ○ 4. 《习题18.4》全览（课本 P162—P163，共 8 题） 题号 教材页码 这一题要做什么 打勾 第 1 题 P162 复习巩固：零指数幂与负整数指数幂的填空，含 有意义的条件 ○ 第 2 题 P162 复习巩固：含零指数幂与负整数指数幂的加减混合运算，两道小题 ○ 第 3 题 P162 复习巩固：整数指数幂的乘法、除法与乘方，四道小题 ○ 第 4 题 P162 复习巩固：用科学记数法表示小于 1 的正数，四道小题 ○ 第 5 题 P163 综合运用：用科学记数法表示的数的乘法与除法，两道小题 ○ 第 6 题 P163 综合运用：含负整数指数幂的乘除混合运算，两道小题 ○ 第 7 题 P163 拓广探索：已知 x + = 3，求 + 与 + 的值 ○ 第 8 题 P163 拓广探索：一滴水中的水分子个数，以及数完这些水分子大约要的时间 ○ 5. 第 8 题动手之前，先看清它三步走的路子，如图 8。 图 8 从一滴水到时间：先求一滴水的质量、再求水分子的个数、最后求数完要的时间 对着图看三格：左边一格把"20 滴水为 1 克"换成 1 滴水的质量；中间一格用一个水分子的质量去除这滴水的质量，得到分子个数；右边一格用人数与每人每分钟数 100 个的速度去除，得到要的时间。每一步都先靠科学记数法把数写简，再一项一项算下去。 6. 分层练习 A 组（必做·把两条规定与三条性质各练一遍） (1) 计算：；；。 (2) 计算： + ； - 。 (3) 计算：；×；÷。 (4) 计算：；。 (5) 用科学记数法表示：0.000 05；0.000 000 702。 我写 A 组解答： B 组（选做·混合运算与实际比较） (1) 计算：×；÷()。 (2) 计算：(2×)×(4×)；(6×)÷(2×)。 (3) 计算：÷。 (4) 先化简，再求值：×，其中 x = 2、y = -1。 (5) 一根头发丝的直径约为 7× 米，一个雾尘颗粒的直径约为 2× 米。头发的直径约是雾尘颗粒直径的多少倍？ 我写 B 组解答： C 组（挑战·先整理再算） (1) 计算：( + )÷( - )。 (2) 先化简，再求值：( - )÷( + )，其中 x = 2、y = 3。 (3) 计算：×，结果用科学记数法表示。 (4) 一种细菌的直径约为 5× 米，一个水分子的直径约为 4× 米。细菌的直径约是水分子直径的多少倍？ 我写 C 组解答： 【挑战提醒】C 组四道题都藏着一句"先整理"。第 (1) 题先把两个负指数幂都写成分式，括号里的两式分别是 与 ，再把除法改成乘法约分。第 (2) 题同样先化成分式，能约的先约。第 (3) 题先算乘方、再把负指数取倒数，最后把结果规范成 a× 的形式。第 (4) 题把两个直径写成科学记数法后相除，系数与 10 的幂分开算。 六、参考答案 （一）前导 · 学习目标与开场六问 （1）第 1 题： = 8； = 1。规定 = 1（a≠0），是为了让"同底数幂相除，指数相减"在 m = n 时也能用。 （2）第 2 题：÷ = = ；写成幂是 。两式结果相同，所以 = 。 （3）第 3 题： = ； 是 的倒数。 （4）第 4 题： = ； = ； = -。底数的正负与指数的奇偶决定结果的正负。 （5）第 5 题：0.000 257 = 2.57×；0.000 000 08 = 8×。 （6）第 6 题：先算乘方。 要把括号里的两个因式分别乘方，指数相乘得 ；这一步不与前面的 合并。 （二）先看这张表 · 指数能取哪些值 （1）三格依次是：负整数指数（）、零指数（）、正整数指数（）。 （2）三格各自的来历：正整数指数来自定义（n 个 a 相乘）；零指数来自规定 = 1（a≠0）；负整数指数是本节补的规定 = （a≠0）。 （3）本节的走法：先把指数表往左补一格，再验一验老规则还灵不灵，最后拿它去写很小的数。 （4）扩范围靠的是"定一条新规则，让老性质仍然成立"。加法从非负整数扩到有理数是这样，幂的指数往左扩也是这样；所以补上 = ，同底数幂相除的性质在指数相减得负数时就能照样用。 （三）往左补一格 · 负整数指数幂的规定 （1）两条路：一路用分式的约分，÷ = = ；二路去掉 m>n 的限制，÷ = = 。两条路的结果必须相同，所以 = 。 （2）规定（课本 P159）：当 n 是正整数时， = （a≠0）。这就是说， 是 的倒数。 （3）为什么要写 a≠0：右边要把 放到分母上，而分母不能为 0；0 没有倒数，所以 0 的负整数指数幂没有意义。 （4）负号的意思：负号管的是取倒数，与结果的正负无关。 = 是正数， = - 是负数；结果的正负看底数的正负与指数的奇偶。 （5）想一想示例： 没有意义，因为 的分母是 0。规定里若不写 a≠0，这条规定就成了空话。 （四）往左补一格 · 例 1 四小题详解 （1）第 (1) 小题：原式 = = = 。 （2）第 (2) 小题：原式 = = = = 。 （3）第 (3) 小题：原式 = = 。 （4）第 (4) 小题：原式 = × = = 。 （5）练习（课本 P161 练习 第 1 题）：(1) 原式 = ÷ = = ；(2) 原式 = = ；(3) 原式 = ×a = = 。 （6）练习（课本 P161 练习 第 2 题）：(1) 原式 = （指数相减得 2 - (-1) = 3）；(2) 原式 = ()÷() = = 。 （7）小结示例：四道小题的做法都是"先算幂（该加的加、该乘的乘），再把负整数指数化成正整数指数"，结果里不残留负整数指数。 （五）老规则还灵不灵 · 运算性质与三条合并 （1）五条并三条：原来的同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除、商的乘方，合并为 (1) × = ；(2) = ；(3) = （m、n 都是整数，底数都不为 0）。 （2）合并的依据：同底数幂的除法转化为乘法 ÷ = × = ；商的乘方转化为积的乘方 = = 。 （3）三句话：同底数幂相乘，指数相加；幂的乘方，指数相乘；积的乘方，每个因式分别乘方。 （4）探究（课本 P160）：× = = ；× = = ；× = = 。三种情形两条路算得的结果都相同，性质在指数取负数、取 0 时仍然成立。 （5）两条处理路径：一路先把负整数指数幂都写成分式，再用分式的乘除算；二路直接在整数指数幂范围内用三条性质算，最后把负指数化成正指数。两条路都能走到头。 （6）三条纪律：不残留负整数指数；不漏写底数不为 0；不把不同底数的幂硬合并。 （7）想一想示例：× = ，是同底数幂相乘，指数相加；而 = ，是幂的乘方，指数相乘。两条性质的区别就在这一步。 （六）往小处用它 · 用科学记数法表示小于 1 的正数 （1）小于 1 的正数的科学记数法（课本 P161）：a×，其中 1≤a<10，n 是正整数。n 等于原数左边第一个不为 0 的数字前面所有 0 的个数，小数点前面那一个 0 也算在内。 （2）例子与填空：0.002 7 = 2.7×；0.000 016 2 = 1.62×；0.1 = 、0.01 = 、0.001 = 、0.000 1 = 、0.000 01 = 。 （3）例 2（课本 P162）：70 微米 = 70× 米，2 纳米 = 2× 米，20 纳米 = 20× 米；(70×)÷(2×) = 35× = 3.5×，(70×)÷(20×) = 3.5×。所以一根头发丝的直径约是碳纳米管直径的 3.5× 至 3.5× 倍。 （4）练习（课本 P162 练习 第 1 题）：3×；2.009×；1.05×。 （5）练习（课本 P162 练习 第 2 题）：0.000 1；0.000 070 4；0.000 000 523。 （6）想一想示例：共有 m 个 0 时，10 的指数是 -(m+1)。因为小数点要往左移动 m+1 位才能落到第一个非 0 数字后面，所以写成 a×。 （七）收尾清点 · 易错清单与自我评价 （1）七条依次是：把负指数当成负数；漏写底数不为 0；积的乘方漏乘系数；幂的乘方的指数没相乘；指数该加该乘分不清；结果残留负整数指数；科学记数法的 n 数错一位。 （2）最需要防的两条是"负号的误解"与"该加该乘"。前者靠"一见负指数就先改写成分式"这个动作，后者靠"每条性质配一个小例子、动笔前先念一遍那三句话"这个动作。 （3）自我评价：逐项对照评价表打勾；没有打勾的项目，就回到对应的板块，把那条规定或性质重看一遍，再把那一栏的练习重做一遍。 （八）作业 ·《习题18.4》与分层练习 （1）习题18.4 第 1 题（课本 P162）：(1) a≠3；(2) 1÷ = a，× = 1， = 。 （2）习题18.4 第 2 题（课本 P162）：(1) 原式 = 1 + - (-27) = ；(2) 原式 = - 5×1× = -。 （3）习题18.4 第 3 题（课本 P162）：(1) 原式 = 6 = ；(2) 原式 = -2y；(3) 原式 = -27 = -；(4) 原式 = 12m = 。 （4）习题18.4 第 4 题（课本 P162）：1×；2×；5.67×；3.01×。 （5）习题18.4 第 5 题（课本 P163）：(1) 原式 = 10× = 1×；(2) 原式 = (9×)÷(9×) = 1×。 （6）习题18.4 第 6 题（课本 P163）：(1) 原式 = -4 = -；(2) 原式 = -b = -。 （7）习题18.4 第 7 题（课本 P163）：由 x + = 3 得 = + 2 + = 9，所以 + = 7；再由 = + 2 + = 49，得 + = 47。 （8）习题18.4 第 8 题（课本 P163）：1 滴水的质量 = 克 = 0.05 克 = 5× 千克；水分子数 = (5×)÷(3×) ≈ 1.67×（个）；数完所需时间 = 1.67×÷(×100) = 1.67×（分钟）。 （9）A 组：(1) ；；9。(2) ；-1。 （10）A 组：(3) ；；。(4) ；。(5) 5×；7.02×。 （11）B 组：(1) ab；。(2) 8×；3×。 （12）B 组：(3) 。(4) 化简得 ，当 x = 2、y = -1 时原式 = 64。(5) (7×)÷(2×) = 3.5×，即约 350 倍。 （13）C 组：(1) 原式 = 。(2) 原式 = ，当 x = 2、y = 3 时原式 = 。 （14）C 组：(3) 原式 = 9××5× = 45× = 4.5×。(4) (5×)÷(4×) = 1.25×，即约 1250 倍。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $