专题五 一元函数的导数及其应用01导数的概念及几何意义 导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数概念及几何性质专题，将平均变化率、导数定义、几何意义、求导公式法则及切线问题等核心考点按“概念-运算-应用”逻辑构建知识网络，通过填空式梳理、步骤化定义法及例题变式任务，引导学生自主推导规律，形成层次分明的认知框架。 亮点在于诊断性变式训练和素养导向设计，如类型应用中每个考点配3-5道变式题供学生自主检测，素养提升题结合图像分析培养数学眼光与思维。教师可通过学生错题分布精准指导，助力个性化复习，有效提升自主备考能力。

高考一轮总复习导学案 专题五 一元函数的导数及其应用01导数的概念及几何意义 1、 考情分析 高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主． 2、 知识梳理 知识点一 平均变化率 1．变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. 2．平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为：. 3．如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 知识点二 导数的概念 1．定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 2．定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. 知识点三 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 知识点四 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 (为常数) () () (，) 知识点五 导数的运算法则 若，存在，则有 （1） （2） （3） 知识点六 复合函数的求导法则: 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 知识点七 曲线的切线问题 1．在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2．过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 3、 类型应用 类型一 导数的概念 例1：已知，则______. 【答案】9 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【详解】因为， 所以. 变式训练1-1：已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故选：C 变式训练1-2：已知函数，则______． 【答案】2 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据题意，求出，由导数的定义求解. 【详解】由， . 故答案为：2. 变式训练1-3：设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 类型二 导数的运算 例2：下列求导数运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【详解】选项A：，故A正确； 选项B： ，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D： ， 故D正确. 变式训练2-1：下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的四则运算，复合函数的求导法则逐一进行判断. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错， 故选：B. 变式训练2-2：已知，则______． 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数 【详解】解析：． 变式训练2-3：已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则 【详解】∵，， 当时，，解得. 变式训练2-4：已知函数满足，则________. 【答案】 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【详解】先对求导：. 令，得. 移项得，即. 所以，代入， . 变式训练2-5：定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、简单复合函数的导数 【分析】根据奇函数定义，两边取导数可得，据此求解即可. 【详解】因为定义在上的奇函数，所以， 两边取导数可得，即， 所以， 因为时，，所以时，， 所以. 类型三 导数的几何意义 （1） 导数的几何意义的理解 例3：已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数（导函数）概念辨析、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】据导数的几何意义，直线的斜率公式，结合图象即可比较大小. 【详解】如图分别作直线，交的图象于点， 则和分别表示函数的图象在点处的切线的斜率， 结合图象可得，即， 而，表示过两点的直线的斜率， 由图知，即. 故选：D. 变式训练3-1：已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 变式训练3-2：如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【详解】点处的切线方程是，则， 切线斜率为，则， ． （2） 求曲线在某点处的切线方程 例4：函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用导数求出切线斜率，再结合直线的点斜式方程可得切线方程. 【详解】，则， ，所以切线方程为，化简可得， 即函数的图象在点处的切线方程为. 变式训练4-1：曲线在点处的切线方程是________. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【详解】，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 变式训练4-2：函数的图象在点处的切线方程为__________. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】根据导数几何意义求切线的斜率，结合切点坐标即可写出切线方程. 【详解】由，得， ，得， 故所求切线方程为，即. 变式训练4-3：已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，再利用点斜式方程求出切线方程即可. 【详解】由，则，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 变式训练4-4：已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【详解】，又，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即 （3） 由曲线的切线方程求参数 例5：若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【详解】设，则， 由题意得，解得. 变式训练5-1：曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、已知某点处的导数值求参数或自变量、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】令，求其导数，由条件分析出，求出值即可. 【详解】令，则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为2， 所以曲线在处的切线斜率为， 即，解得. 故选：B 变式训练5-2：已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 变式训练5-3：若是曲线的一条切线，则__________. 【答案】1 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【详解】设切点坐标为，因为， 所以. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增，且. 所以方程只有1解. 由. （4） 求距离最小值问题 例6：曲线上任意一点到直线的距离的最小值是________． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【详解】如图，所求最小值即曲线上斜率为的切线与两平行线间的距离， 也即切点到直线的距离． 由，则，得，， 即与直线平行的曲线的切线，切点坐标是， 所以上任意一点到直线的距离的最小值为． 变式训练6：曲线上的点到直线的最短距离是______. 【答案】 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求点到直线的距离 【分析】将直线平移，当直线与相切时，切点到直线的最短距离，利用导数的几何意义求出切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】将直线平移， 当直线与相切时，切点到直线的最短距离，    设曲线在点处的切线与直线平行， 因为，则，解得， 所以，则切点坐标为， 切点到直线的距离， 即曲线上的点到直线的最短距离是， 故答案为： （5） 求过一点的曲线的切线方程 例7：求过原点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）（2） 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）利用导数的运算法则可得答案； （2）利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程可得答案. 【详解】（1）， 两边求导， 当时，， 解得， 所以， 所以. （2）, 设切点为, 故切线的斜率， 切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 即, 解得或 所以切线方程为， 即切线方程为. 变式训练7：曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求过一点的切线方程、简单复合函数的导数 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . （6） 公切线问题 例8：若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】2 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设出曲线的切点为，利用公切线的斜率相等及切点也在公切线上，进而建立方程组求解即可． 【详解】由，则，则在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 设切线与曲线的切点为， 又，得， 则切点处的斜率必为1，且切点在切线上， 则，解得， 所以． 变式训练8：已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 类型四 导数的物理意义 例9：在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度（单位：m）是，则运动员的速度______m/s，加速度______． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、求某点处的导数值 【详解】函数在处的瞬时速度，速度. 已知，   . . . 加速度， . ， . 变式训练9：吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 【答案】 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】求出半径关于容量的导函数，再利用导数的几何意义即可得出时，气球的瞬时膨胀率. 【详解】利用球的体积公式直接可得， 所以，即， 所以， 当时，， 即时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为. 类型五 数学情境 1．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的加减法、瞬时变化率的概念及辨析、导数（导函数）概念辨析 【分析】通过求导，利用导数求瞬时变化率求解． 【详解】因为，所以， 故当时，， 即时，“高原版”复兴号动车的加速度为， 故选：B 2.某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【答案】D 【知识点】平均变化率 【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力. 【详解】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为. 对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力.由图可知，， 所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误； 对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误； 对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误； 对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确， 故选：D. 4、 素养提升 1．“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【详解】由，得． 由曲线在处的切线的倾斜角为， 可得，解得或． 故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件． 2．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可． 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得，解得， 故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为． 3．已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【答案】4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】通过切线斜率即可直接求得的值，再设函数的图象的切点为，由切线斜率得到，结合函数单调性求得，得到，即可求解. 【详解】设直线与函数的图象的切点为， 由求导得，由，得， 所以直线与函数的图象的切点为， 将点代入，解得. 设直线与函数的图象的切点为， 又，则（*）. 由，代入上式得， 因为函数单调递增，且， 所以，代入（*），解得， 所以. 4．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 5．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数为隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可.例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则有（是的函数，需要用复合函数的求导法则求导），得.利用隐函数求导方法可求得曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【分析】根据题干所给条件将两边对求导，再代入的坐标，求出，即切线的斜率，从而求出切线方程. 【详解】由，得，则， 将点的坐标代入，得，即， 所以所求切线的方程为，即. 故选：D. 6.为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 7．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的单调递减区间是 B．曲线在处的切线与直线垂直 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【知识点】利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；由导数的几何意义以及数形结合可判断C选项；设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程得，令，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 由可得，故函数的单调递减区间是，A对； 对于B选项，因为，且， 故曲线在处的切线方程为，B错； 对于C选项，由可得，故函数的单调递增区间为， 故函数的极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由于，故当点与原点重合时，点P到直线距离取最小值， 且最小值为，C对； 对于D选项，设切点为，则切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，可得， 令，其中，则， 由可得或，由可得， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 故函数的极小值为，极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D对. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题五 一元函数的导数及其应用01导数的概念及几何意义 1、 考情分析 高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主． 2、 知识梳理 知识点一 平均变化率 1．变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. 2．平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： . 3．如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差 ②作商： 知识点二 导数的概念 1．定义：函数在处瞬时变化率是 ，我们称它为函数在处的导数,记作 . 2．定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. 知识点三 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的 ，即 . 知识点四 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 (为常数) () () (，) 知识点五 导数的运算法则 若，存在，则有 （1） （2） （3） 知识点六 复合函数的求导法则: 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 知识点七 曲线的切线问题 1．在型求切线方程 2．过型求切线方程 3、 类型应用 类型一 导数的概念 例1：已知，则______. 变式训练1-1：已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 变式训练1-2：已知函数，则______． 变式训练1-3：设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 类型二 导数的运算 例2：下列求导数运算正确的有（   ） A． B． C． D． 变式训练2-1：下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练2-2：已知，则______． 变式训练2-3：已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 变式训练2-4：已知函数满足，则________. 变式训练2-5：定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 类型三 导数的几何意义 （1） 导数的几何意义的理解 例3：已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练3-1：已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练3-2：如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． （2） 求曲线在某点处的切线方程 例4：函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． . 变式训练4-1：曲线在点处的切线方程是________. 变式训练4-2：函数的图象在点处的切线方程为__________. 变式训练4-3：已知，则曲线在点处的切线方程为______． 变式训练4-4：已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. （3） 由曲线的切线方程求参数 例5：若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 变式训练5-1：曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 变式训练5-2：已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 变式训练5-3：若是曲线的一条切线，则__________. （4） 求距离最小值问题 例6：曲线上任意一点到直线的距离的最小值是________． 变式训练6：曲线上的点到直线的最短距离是______. （5） 求过一点的曲线的切线方程 例7：求过原点且与曲线相切的直线方程. 变式训练7：曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． （6） 公切线问题 例8：若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 变式训练8：已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 类型四 导数的物理意义 例9：在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度（单位：m）是，则运动员的速度______m/s，加速度______． 变式训练9：吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 类型五 数学情境 1．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（   ） A． B． C． D． 2.某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 4、 素养提升 1．“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 4．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 5．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数为隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可.例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则有（是的函数，需要用复合函数的求导法则求导），得.利用隐函数求导方法可求得曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6.为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 7．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的单调递减区间是 B．曲线在处的切线与直线垂直 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $