专题五 一元函数的导数02导数与函数的单调性 导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数与函数单调性专题，将导数与单调性关系、不含参单调区间求解、由单调性求参数范围、含参单调性讨论等核心考点按逻辑递进构建知识网络，通过例题探究和变式训练引导学生自主推导规律，形成完整认知框架。 亮点在于分层式题型训练和素养导向设计，如类型应用分不含参、含参、图像关系等模块，每模块配例题及3-4个变式题供学生自主诊断，培养数学思维与模型意识。素养提升部分设置条件判断、不等式证明等综合题，帮助学生建立个性化错题归因，教师可依学情精准指导，提升备考实效。

高考一轮总复习导学案 专题五 一元函数的导数 02导数与函数的单调性 1、 考情分析 高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了． 2、 知识梳理 知识点一 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 知识点二 求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 知识点三 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间令， 解不等式，求单调增区间，则 ②已知在区间上存在单调减区间令， 解不等式，求单调减区间，则 （3）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点） 知识点四 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 三、类型应用 类型一 求函数单调区间（不含参） 例1：已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 变式训练1：函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、简单复合函数的导数 【分析】求出定义域后再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间即可得． 【详解】的定义域为， ， 由，可得， 故的单调递减区间为． 故选：C． 例2：设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求某点处的导数值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由求，解不等式求单调区间. 【详解】定义域为，， 所以，解得， 所以，， 由解得， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 变式训练2：已知函数，则的单调增区间为___________ 【答案】 【知识点】导数的运算法则、求对数型复合函数的定义域、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调增区间. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 例3：函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 变式训练3-1：函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，令导数小于零求解． 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 变式训练3-2：函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 变式训练3-3：函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求出，再分析各项中的的符号，进而即可得到答案． 【详解】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 类型二 已知函数单调区间求参数值或参数范围 例4：若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】先求出导函数，再根据减区间求. 【详解】由题意得， 因为函数的单调递减区间为， 所以的解集为， 即方程的两根为， 所以，解得， 故选:B. 变式训练4：函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数 【分析】对函数求导，可求解值，分析导函数符号即可得到函数的单调递增以及递减区间，即可求解. 【详解】根据题意可知， 则可得，令，即， 解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为： 例5：若在上单调递增，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对求导，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，求出函数的最小值即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 变式训练5：若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由函数在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，即，就是求范围内的最大值，利用导数法求出单调性，通过单调性求出最大值即可得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， ， 在区间上恒成立， ， ， 设， ， ，，，在上单调递增， 当时，， 则在内，有， 故，故的取值范围为. 例6：函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】利用导数与函数单调性的关系得到不等式，结合参数分离及均值不等式求解参数范围． 【详解】函数的定义域为，. 由函数在上单调递增，得对任意恒成立． 即恒成立， 即恒成立． 由知，所以， 当且仅当，即等号成立. 因此的最小值为． 要使恒成立，则，即． 变式训练6-1：已知函数. 若在区间上单调递减，求的取值范围. 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可；. 【详解】， 又在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以，所以， 故的取值范围是. 变式训练6-2：已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围． 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为． 例7：已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】由在区间上单调递减，得在上恒成立，进而得，令，利用导数研究单调性求出最大值即可求解. 【详解】由已知得，因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即，得， 令，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 又，所以a的最小值为． 变式训练7-1：已知函数． 若在上单调递增，求的取值范围； 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意得在上恒成立，则在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最大值即可； 【详解】，求导可得， 因为在上单调递增，所以当时，，即， 设，求导可得， 令，即，可得， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此的极大值为，即， 所以的取值范围是． 变式训练7-2：已知函数． (1)若在单调递增，求的取值范围； 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； 【详解】，其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. 变式训练7-3：已知函数，其中． 若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； 【详解】由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. 变式训练7-4：若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究能成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】假设函数不存在单调递减区间，利用导数与单调性的关系可得在恒成立，可求得实数的取值范围，根据函数存在单调递减区间可求解. 【详解】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 类型三 函数与导函数图像之间的关系 例8：设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B．:C．D． 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 变式训练8-1：如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ABD 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】由图像与性质关系可得答案. 【详解】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD 变式训练8-2：已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 变式训练8-3：已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数的单调性与导数的关系、以及函数下降速度的快慢判断即可. 【详解】当时，且递减，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”， 当时，且递增，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意. 类型四 求含参函数单调区间 例9：已知函数． 求的单调区间； 【答案】当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导后讨论的取值，从而判断导函数的正负，确定单调区间. 【详解】已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 变式训练9：已知函数，，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先求导，分、两种情况讨论的正负性即可. 【详解】当时，，定义域为， 得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 例10：已知函数.讨论的单调性； 【答案】 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. 【详解】， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 变式训练10-1：已知函数． 讨论函数的单调性； 【答案】当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导，分和两种情况讨论求解即可； 【详解】由，， 则， ①当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 变式训练10-2：已知函数，其中． 讨论的单调性． 【答案】若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、导数中的极值偏移问题 【分析】先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. 【详解】由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. 变式训练10-3：已知函数，． 讨论的单调性； 【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【详解】 若时，在上恒成立，此时在上单调递增； 若时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 变式训练10-4：已知函数. 讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先求出函数的导数，通过设并分析其判别式，分情况讨论的正负，进而确定的正负，从而得到的单调性. 【详解】由题意知，， 函数的定义域为，设， ，令，则或， ①当，即时，对恒成立， 即，在单调递增， ②当，即或时，方程， 有两不等实根， 当时，由韦达定理，， 此时两根一正一负，当， ，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 当时，由韦达定理，， 此时两根为正，且当， ，所以在和上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 综上所述：当在单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 例11：已知函数，．讨论的单调性； 【答案】时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求出导数，分类讨论的取值情况来判断单调性； 【详解】的定义域为，． 当时，在上单调递增；当时，由得， 由得，由得， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． 变式训练11-1：已知函数．讨论的单调性； 【答案】当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； 【详解】， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. 变式训练11-2：函数，其中． 讨论函数的单调区间； 【答案】当时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先求导函数，再根据导函数正负判断单调区间； 【详解】由题可知的定义域为，. 当时，恒成立，因此在上单调递增，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. 类型五 数学情境 1.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数新定义、由导数求函数的最值（不含参）、函数与方程的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据新定义得到，，，得到三个具体的等式，构造函数，通过研究函数的单调性可比较大小. 【详解】由已知可得，，即，所以，即. 由得. 由得. 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以. 所以，即. 令，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以在上单调递减. 又，，所以. 因为在上单调递减，，所以. 又，所以，即. 令，，则恒成立， 所以在上单调递减. 又，， 所以. 综上可得，. 故选：C. 2．古建筑是中华传统文化的重要载体，其结构及功能更是展示了我国古代劳动人民智慧的结晶，其中古建筑屋顶的构造更是最富艺术魅力的部分.湖南岳阳楼屋顶的设计有助于在暴雨等恶劣天气下雨水的及时快速排出.如下图，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，两点间的屋顶剖面曲线可近似看成函数的图象，利用数学建模的方法，则下列函数模型与所给曲线拟合程度最高的为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、具体函数的定义域 【分析】利用函数的定义域判断A；利用特殊点法判断C，利用导数研究函数的单调性判断BD. 【详解】对于A，观察曲线图可得该曲线在处有定义域， 而在处无意义，故排除A选项； 对于C，曲线图在处， 而，故排除C选项； 对于D，令，所以， 令，则， 当时，，，则； 当时，，则； 综上，， 所以即在上单调递增， 又， 所以在上存在唯一零点， 当时，；当时，； 故先单调递减后单调递增，与图示所给曲线的趋势和走向不一致，故排除D选项； 对于B，令，所以，显然的周期为， 由题意，我们考虑的符号在上的变化情况， 当时，；当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 与图示所给曲线的趋势和走向一致，故B正确. 故选：B. 3、 素养提升 1．“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、判断命题的充分不必要条件 【分析】结合导数将函数单调问题转化为恒成立问题，求出，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意得，则， 若在区间上单调递增，则在上恒成立， 化简得在上恒成立，令， 由二次函数性质得在上单调递增， 而，则，得到， 可得“”是“”的充分而不必要条件，故A正确. 2．若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】根据极值求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算即可. 【详解】因为，，所以，， 因为，所以. 设，，则. 当时，，在上单调递增，在上单调递增， 所以，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为函数在上不单调，且，所以，即， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 3.已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、根据函数的单调性解不等式 【分析】先求导得到的单调性，再利用单调性结合定义域可得结果. 【详解】因为， 所以在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小 【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 5．已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 6．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 7．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造，，分析可知在定义域内单调递增，结合解不等式即可. 【详解】因为等价于， 构造，，原不等式即为， 因为，则， 可知在定义域内单调递增，且， 则不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 8．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，根据条件得出其单调性，再将问题转化为解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即， 故不等式的解集为. 9．已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、导数的运算法则 【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论. 【详解】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 10．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据单调性定义，将问题转化为在上单调递增，由此可知在恒成立，采用分离变量的方法可求得结果. 【详解】当时，由得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即，实数的取值范围为. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题五 一元函数的导数 02导数与函数的单调性 1、 考情分析 高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了． 2、 知识梳理 知识点一 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调 在内单调 在内是 知识点二 求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 知识点三 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增， 恒成立. ②已知在区间上单调递减， 恒成立. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间令 ， 解不等式，求单调增区间，则 ②已知在区间上存在单调减区间令 ， 解不等式，求单调减区间，则 （3） 已知函数在区间上不单调，使得 （是变号零点） 知识点四 含参问题讨论单调性 第一步： 第二步： 第三步： 三、类型应用 类型一 求函数单调区间（不含参） 例1：已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 变式训练1：函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 例2：设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式训练2：已知函数，则的单调增区间为___________ 例3：函数的单调递减区间为__________. 变式训练3-1：函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 变式训练3-2：函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 变式训练3-3：函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 类型二 已知函数单调区间求参数值或参数范围 例4：若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 变式训练4：函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 例5：若在上单调递增，则的取值范围是_____． 变式训练5：若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6：函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练6-1：已知函数. 若在区间上单调递减，求的取值范围. 变式训练6-2：已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例7：已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 变式训练7-1：已知函数． 若在上单调递增，求的取值范围； 变式训练7-2：已知函数． 若在单调递增，求的取值范围； 变式训练7-3：已知函数，其中． 若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； 变式训练7-4：若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 类型三 函数与导函数图像之间的关系 例8：设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B．:C．D． 变式训练8-1：如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 变式训练8-2：已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 变式训练8-3：已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   类型四 求含参函数单调区间 例9：已知函数．求的单调区间； 变式训练9：已知函数，，当时，讨论函数的单调性. 例10：已知函数.讨论的单调性； 变式训练10-1：已知函数．讨论函数的单调性； 变式训练10-2：已知函数，其中．讨论的单调性． 变式训练10-3：已知函数，．讨论的单调性； 变式训练10-4：已知函数.讨论的单调性； 例11：已知函数，．讨论的单调性； 变式训练11-1：已知函数．讨论的单调性； 变式训练11-2：函数，其中．讨论函数的单调区间； 类型五 数学情境 1.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 2．古建筑是中华传统文化的重要载体，其结构及功能更是展示了我国古代劳动人民智慧的结晶，其中古建筑屋顶的构造更是最富艺术魅力的部分.湖南岳阳楼屋顶的设计有助于在暴雨等恶劣天气下雨水的及时快速排出.如下图，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，两点间的屋顶剖面曲线可近似看成函数的图象，利用数学建模的方法，则下列函数模型与所给曲线拟合程度最高的为（    ）      A． B． C． D． 3、 素养提升 1．“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 3.已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 6．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 9．已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $