1.2 菱形的性质与判定 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（新教材）九年级上册1.2菱形的性质与判定 【知识点1】菱形的性质 （1）菱形的性质      ①菱形具有平行四边形的一切性质；      ②菱形的四条边都相等；      ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；      ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算      ①利用平行四边形的面积公式．      ②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度） 1.（2025春•梓潼县期末）菱形两条对角线的长分别为2和6，则它的面积是（　　） A．24 B．12 C．8 D．6 2.（2025春•海口期末）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，则点A到BD的距离等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 3.（2025春•景泰县期中）如图，已知某菱形花坛ABCD的周长是24m,∠BAD=120°，则花坛对角线AC的长是______m. 4.（2025秋•莲池区校级月考）如图所示，在菱形ABCD中，对角线BD与AC交于点O，且AC=2BD，BO=2，则菱形的边长为______． 5.（2025•岳阳楼区校级一模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若∠B=60°，求证：△AEF为等边三角形． 6.（2025•余姚市三模）如图，菱形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，以B为圆心，BD为半径画弧，两弧交于点E． （1）求证：DE⊥AB； （2）连结AC，若，求cos∠C的值． 【知识点2】菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 1.（2024•重庆一模）下列条件能判定四边形是菱形的是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相垂直平分的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形 2.（2013•湖北）如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是______（写出一个即可）． 【知识点3】菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）______（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 1.（2012•凯里市校级三模）如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（　　） A．2cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 2.（2015•泰安模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（　　） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 D．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 3.（2024春•宜都市期中）如图1，AM∥BN，∠BAM，∠ABN的平分线分别交BN于点C，交AM于点D，连接CD． （1）填空：四边形ABCD是 ______形；并证明． （2）过点D作AC的平行线交BN于点F，∠DCN的平分线交DF于G，交AM于H，连接AG，如图2．若AB=3，AC=4，求AG的长和△AGH的面积． 4.（2023秋•西安月考）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=BD=5厘米，动点P从点A出发沿AB→BD运动到点D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发沿DC→CB→BA运动到点A，速度为2.8厘米/秒．设运动时间为t,当t=5秒时，P，Q两点相距3厘米． （1）当t=5秒时，P，Q两点的运动路程分别是多少？ （2）当t=5秒时，试判断△APQ的形状，并说明理由． 北师大版（新教材）九年级上册1.2菱形的性质与判定 (参考答案) 【知识点1】菱形的性质 （1）菱形的性质      ①菱形具有平行四边形的一切性质；      ②菱形的四条边都相等；      ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；      ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算      ①利用平行四边形的面积公式．      ②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度） 1.（2025春•梓潼县期末）菱形两条对角线的长分别为2和6，则它的面积是（　　） A．24 B．12 C．8 D．6 【答案】D 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积． 【解答】解：∵菱形两条对角线的长分别为2和6， ∴该菱形的面积是=6， 故选：D． 2.（2025春•海口期末）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，则点A到BD的距离等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AO⊥BD，∠ABD=ABC=30°，再根据直角三角形的性质可得AO=AB． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO⊥BD，∠ABD=ABC=30°， ∵AB=10， ∴AO=5， ∴点A到BD的距离等于5， 故选：A． 3.（2025春•景泰县期中）如图，已知某菱形花坛ABCD的周长是24m,∠BAD=120°，则花坛对角线AC的长是______m. 【答案】6 【分析】由四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案． 【解答】解：∵菱形花坛ABCD的周长是24m,∠BAD=120°， ∴AB=BC=6m,AD∥BC， ∴∠ABC=180°-∠BAD=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6m. 故答案为6． 4.（2025秋•莲池区校级月考）如图所示，在菱形ABCD中，对角线BD与AC交于点O，且AC=2BD，BO=2，则菱形的边长为______． 【答案】． 【分析】由BO=2可得BD=4，再根据AC=2BD得AC=8；利用菱形对角线垂直平分的性质，在直角三角形AOB中，利用勾股定理即可求出边长． 【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线BD与AC交于点O， ∴BD=2BO=2×2=4， 又∵AC=2BD， ∴AC=2×4=8， 从而， 在Rt△AOB中，∠AOB=90°， ∴AB2=AO2+BO2， 代入AO=4，BO=2， 即AB2=42+22=16+4=20， ∴， 故答案为：． 5.（2025•岳阳楼区校级一模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若∠B=60°，求证：△AEF为等边三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据“AAS”证明△ABE≌△ADF即可； （2）根据菱形的性质和已知条件可推出∠BAD度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出∠BAE和∠DAF度数，从而求出∠EAF度数，即可证明△AEF为等边三角形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D． 又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB=∠AFD=90°， 在△ABE与△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）； （2）∵△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE=AF； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠BAD=180°， ∵∠B=60°， ∴∠BAD=120°， 又∵∠AEB=90°，∠B=60°， ∴∠BAE=30°， 由（1）知△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠DAF=30°， ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°． ∴△AEF是等边三角形． 6.（2025•余姚市三模）如图，菱形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，以B为圆心，BD为半径画弧，两弧交于点E． （1）求证：DE⊥AB； （2）连结AC，若，求cos∠C的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接BD，根据BD=BE，AD=AE，得出AB为DE的中垂线，进而可得出结论； （2）连接AC，先证明△ABC∽△EBD，得出，设AF=x,AD=5a=AB，则BD=4a,BF=5a-x,求出x=3.4a,再根据cos∠C=cos∠DAB即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接BD，如图1， ∵以A为圆心，AD为半径画弧，以B为圆心，BD为半径画弧，两弧交于点E， ∴BD=BE，AD=AE， ∴AB为DE的中垂线， ∴DE⊥AB； （2）解：如图2，连接AC，BD， ∵AB为DE的中垂线， ∴∠ABD=∠ABE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠ABD=∠CBD， ∴∠ABC=∠DBE， ∵， ∴△ABC∽△EBD， ∴， 设AF=x,AD=5a=AB，则BD=4a,BF=5a-x, 则（5a）2-x2=（4a）2-（5a-x）2， 解得x=3.4a, ∴． 【知识点2】菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 1.（2024•重庆一模）下列条件能判定四边形是菱形的是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相垂直平分的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理可直接选出答案． 【解答】解：根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形可直接选出答案， 故选：C． 2.（2013•湖北）如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是______（写出一个即可）． 【答案】答案不惟一，如：CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF等 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形进而判断即可． 【解答】解：根据题意可得出：四边形CBFE是平行四边形， 当CB=BF时，平行四边形CBFE是菱形， 当CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF时，都可以得出四边形CBFE为菱形． 故答案为：如：CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF等． 【知识点3】菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）______（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 1.（2012•凯里市校级三模）如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（　　） A．2cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】D 【分析】首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可． 【解答】解：如图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵AD∥CB，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵纸条宽度都为3cm, ∴AE=AF=3cm, 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形． ∴BC=AB， ∵=sinα，∠α=60°， ∴BC=AB=2cm, ∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=3×2=6（cm2）， 故选：D． 2.（2015•泰安模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（　　） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 D．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 【答案】D 【分析】在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，OM=AM=BM，但AO与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形．同样，我们也无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，也无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形．根据位似图形的定义可知四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形． 【解答】解：根据位似图形的定义可知 A、OA与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形，故错误； B、无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，故错误； C、无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形，故此选项错误； D、四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故此选项正确； 故选：D． 3.（2024春•宜都市期中）如图1，AM∥BN，∠BAM，∠ABN的平分线分别交BN于点C，交AM于点D，连接CD． （1）填空：四边形ABCD是 ______形；并证明． （2）过点D作AC的平行线交BN于点F，∠DCN的平分线交DF于G，交AM于H，连接AG，如图2．若AB=3，AC=4，求AG的长和△AGH的面积． 【答案】（1）菱，证明见解析； （2），． 【分析】（1）根据平行线和角平分的定义证明∠ACB=∠BAC，进而得到AB=BC，根据菱形的判定求证即可； （2）根据菱形的性质，结合勾股定理求BE的长，证四边形ADFC是平行四边形，连接HF，证四边形DCFH是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，证明如下： ∵AM∥BN， ∴∠DAC=∠ACB， ∵AC平分∠BAM， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠ACB=∠BAC， ∴AB=BC， 同理可证：AB=AD， ∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为：菱； （2）解：在菱形ABCD中，，BD=2BE，AC⊥BD，AD=AB=3， ∴，， ∵CH平分∠DCN， ∴， ∵AM∥BN， ∴∠DHC=∠HCF， ∴∠DCH=∠DHC， ∴DC=DH=AD=3， 连接HF，如图所示， ∵DF∥AC，AM∥BN， ∴四边形ADFC是平行四边形， ∴CF=AD=DH=BC， ∴四边形DCFH，DBCH是平行四边形， ∴， ∵DC=DH， ∴四边形DCFH是菱形， ∴DF⊥CH，，， ∴， ∵DF∥AC，DF⊥CH， ∴AC⊥CH， ∴∠ACH=90°， ∴． 4.（2023秋•西安月考）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=BD=5厘米，动点P从点A出发沿AB→BD运动到点D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发沿DC→CB→BA运动到点A，速度为2.8厘米/秒．设运动时间为t,当t=5秒时，P，Q两点相距3厘米． （1）当t=5秒时，P，Q两点的运动路程分别是多少？ （2）当t=5秒时，试判断△APQ的形状，并说明理由． 【答案】（1）10厘米；14厘米， （2）△APQ为直角三角形． 【分析】（1）根据运动的路程=时间×速度即可得出P，Q两点的运动路程； （2）首先确定5秒时点P运动到点D位置上，点Q在线段AB上，且BQ=4厘米，然后在△BPQ中利用勾股定理的拟定理判定∠BQP=90°，进而可判定△APQ的形状． 【解答】解：（1）∵点P运动的速度为2厘米/秒，点Q运动的速度为2.8厘米/秒， ∴t=5秒时，点P运动的路程为：2×5=10（厘米），点Q运动的路程为：2.8×5=14（厘米）． （2）∵AB=BD=5厘米， ∴AB+BD=10（厘米）， ∵动点P从A出发按A→B→D路线运动到D，5秒时点P运动路程为10厘米， ∴5秒时点P与点D重合， ∵AB=BC=CD=5厘米， ∴DC+CB+BA=15（厘米）， ∵动点Q从点D出发按D→C→B→A路线运动到A，5秒时点Q运动路程为14厘米 ∴5秒时点Q在AB边上，且BQ=4cm,如图所示：   又∵5秒时点P，Q相距3厘米， ∴PQ=3厘米 在△BPQ中，BQ=4厘米，PQ=3厘米，BP=5厘米， ∵BQ2+PQ2=BP2， ∴△BPQ为直角三角形，即∠BQP=90°， ∴∠APD=90°， ∴△APQ为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $