精品解析：辽宁省沈阳市浑南区第一初级中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市浑南一中八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：，，，，，（相邻两个1之间逐渐增加1个0），是无理数的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个判断所给数，统计无理数个数即可得到答案． 【详解】解：中是无理数，因此是无理数， 是有限小数，属于有理数， ，是分数，属于有理数， 开平方开不尽，是无理数， 开立方开不尽，是无理数， （相邻两个之间逐渐增加个）是无限不循环小数，是无理数， ∴综上，无理数共有4个． 2. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 【详解】的平方根是． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的加法运算法则、二次根式的除法运算法则、二次根式的乘法运算法则、分母有理化逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由与不能合并，则A选项错误； B.由，故B选项符合题意； C. 由，故C选项不符合题意； D由，故D项不符合题意． 故选：B． 4. 要使式子有意义，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣1 B. m≥﹣1 C. m＞﹣1且m≠1 D. m≥﹣1且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：， 解得：m≥﹣1且m≠1． 故选D 【点睛】此题主要考查二次根式的性质和分式的有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和分式的有意义的条件即可解题． 5. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解． 【详解】∵，，， ∴点一定在第四象限， 故选：D． 6. 中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，又， 则， 则，是直角三角形，不合题意； B、， 设，，， 又， 则，解得， 则，是直角三角形，不合题意； C、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不合题意； D、设，，， ，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 7. 如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查数轴表示数、勾股定理等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点A到的距离，再根据点A的位置确定点A所表示的数即可． 【详解】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：，即点A到表示的点的距离为， ∴点A到原点的距离为个单位， ∵点A在原点的左侧， ∴点A所表示的数为：． 故选：A． 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 9. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长尺． 故选：D． 10. 如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm，高是3的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )． A. 3 B. 2 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】如图（1），， 如图（2），． ， 它所行的最短路线的长是． 故选． 【点睛】此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的结果是_________． 【答案】5． 【解析】 【详解】. 故答案为5. 12. 已知点，轴，且，则B点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设，根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，再由得到，解之即可得到答案． 【详解】解：设， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 13. 估计与0.5的大小关系是：______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等． 14. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 15. 如图，在中，CE平分∠ACB，CF平分外角∠ACD，且EF∥BC交AC 于M，若CM=5，则___． 【答案】100 【解析】 【详解】试题分析：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100． 考点：角平分线的定义；勾股定理． 点评：根据角平分线的性质、外角定理以及三角形内角和定理推知∠ECF是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，实数的运算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算乘方，最后计算加减法即可； （3）先计算二次根式乘除法，再去绝对值，最后计算加减法即可； （4）根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 求下列各式中的值． （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 两边都除以得，， 由平方根的定义得，； 【小问2详解】 解：， 由平方根的定义得，， 即或． 【点睛】本题主要考查了根据平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 18. 已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积等知识点，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 如图：连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0,1）、B（2,0）、C（4,3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积等于_____，BC边上的高等于_______； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为_______； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1）图见解析，4， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案； （3）由P为x轴正半轴上一点，的面积为4，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵、、． ∴在平面直角坐标系中画出如下； ； ∵， ∴边上的高等于， 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵P为x轴上一点，的面积为4， 即， ∴， ∴， ∵，所以点的横坐标为：或， 故P点坐标为：或． 【点睛】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质，掌握“平面直角坐标系的知识”是解本题的关键． 20. （1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，构造等量关系，然后化简即可证得； （2）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明； （3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 故答案为：，，； （2）证明：由图得，大正方形面积=， 整理得，， 即 ； （3）如图，过A作，过E作于F，交的延长线于D，则四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴． 21. 阅读下面计算过程： 试求： （1）________； （2）（为正整数）________ （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． （1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值； （3）当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当直角三角形时，或． 【小问3详解】 解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 23. 如图，在中，，，若E是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，且，连接． （1）求证：； （2）试探究、和之间的数量关系，并说明理由； （3）把点E是延长线上一点改成点E是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）．理由见解析 （3）的值为或3或或1 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角得出，，结合可证，然后根据“”证明即可得出； （2）由（1）知，则，由可得，可知，由勾股定理可得，，即可得证； （3）分四种情况：①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，结合全等三角形的性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 由勾股定理可得：， 又∵是等腰直角三角形，则，， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴，，， ①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接， 由（1）（2）可知，，， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去），即：， ∴； ②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接， ∵，则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， 则，可得； ③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接， 同理，可得，，， 则，可得； ④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接， 同理，可得，，， 则，可得， ∴； 综上所述，值为或3或或1． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等，通过“”证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年辽宁省沈阳市浑南一中八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：，，，，，（相邻两个1之间逐渐增加1个0），是无理数的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使式子有意义，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣1 B. m≥﹣1 C. m＞﹣1且m≠1 D. m≥﹣1且m≠1 5. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 9. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 10. 如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm，高是3的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )． A. 3 B. 2 C. 5 D. 7 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的结果是_________． 12. 已知点，轴，且，则B点的坐标为______． 13. 估计与0.5的大小关系是：______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 14. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 15. 如图，中，CE平分∠ACB，CF平分外角∠ACD，且EF∥BC交AC 于M，若CM=5，则___． 三、解答题：本题共8小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 求下列各式中的值． （1） （2） 18. 已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0,1）、B（2,0）、C（4,3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积等于_____，BC边上的高等于_______； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为_______； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标． 20. （1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论 21 阅读下面计算过程： 试求： （1）________； （2）（正整数）________ （3）求的值． 22. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值； （3）当为等腰三角形时，求t值． 23. 如图，在中，，，若E是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，且，连接． （1）求证：； （2）试探究、和之间的数量关系，并说明理由； （3）把点E是延长线上一点改成点E是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $