精品解析：山东临沂市临沭县第二初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026－2027学年度上学期阶段学情调研 九年级数学试题 时间：100分钟 分数：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（） A. y=（x+3）2+2 B. y=（x+3）2－2 C. y=（x+2）2+3 D. y=（x+2）2－3 3. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 6. 二次函数中的，的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 7. 若关于的一元二次方程有一解为，则关于的一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论中：①；②；③；④对于任意的实数，总有；⑤方程（，为常数）的所有根的和为2或3或4．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 12. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为________人． 13. 已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 14. 如图，抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，点在该抛物线上且坐标为，则点的坐标是________． 15. 如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）距离水面，当水面下降时，水面的宽度为________． 三．解答题（共7小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的实数根分别为和，且，求的值． 18. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为90平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．     （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为64平方米，那么小路的宽度是多少米？ 19. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求的坐标． 20. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 21. 平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，交轴于点． （1）求二次函数的解析式； （2）将点向右平移个单位，再次落在二次函数图象上，求的值； （3）对于这个二次函数，若自变量的值增加5时，对应的函数值增大，直接写出满足题意的自变量的取值范围． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 （1）水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （3）假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度上学期阶段学情调研 九年级数学试题 时间：100分钟 分数：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C. ，含未知数项最高次为1，不是一元二次方程，不符合题意； D. ，是一元二次方程，符合题意． 2. 抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（） A. y=（x+3）2+2 B. y=（x+3）2－2 C. y=（x+2）2+3 D. y=（x+2）2－3 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向左平移2个单位,再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为,所以平移后的抛物线解析式为y=（x+3）2+2. 故选A. 【点睛】考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键. 3. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．需利用完全平方公式将方程左边配成完全平方式，关键是掌握配方法的基本步骤，把方程化为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D 4. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线距离由远及近为， 故选：B． 5. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化简为一般式，再将一次项的系数为0且二次项系数不为0，求解即可． 【详解】解：， 一元二次方程不含一次项， ，， ，， 解得， 故选：D． 6. 二次函数中的，的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 【答案】B 【解析】 【分析】由表中数据，运用待定系数法求出二次函数表达式，结合二次函数图象与性质分析各个选项即可． 【详解】解：抛物线过和， 设抛物线表达式为， 抛物线过， ，解得， 即抛物线表达式为， 由，可知抛物线开口向上，A错误；由顶点式可知抛物线顶点坐标为，B正确；由抛物线开口向上、对称轴为，可知当时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，C错误；由表中数据可知，抛物线与轴的交点坐标为和，D错误． 【点睛】此类问题，无论题目如何要求，只要能有条件求出二次函数表达式，先求出表达式再求解是最优方法． 7. 若关于的一元二次方程有一解为，则关于的一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据换元法可得一元二次方程必有一解满足，求解即可． 【详解】整理，得， ∵关于的一元二次方程有一解为， ∴一元二次方程必有一解满足， 解得． 8. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可求出一次函数与二次函数交于点，则可排除B、D；再根据一次函数经过的象限和二次函数的图象分别判断的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴一次函数与二次函数交于点，故B、D不符合题意； A选项中，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，二者不一致，故此选项不符合题意； C选项中，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，且对称轴在y轴左侧，则，即，二者一致，故此选项符合题意； 10. 已知二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论中：①；②；③；④对于任意的实数，总有；⑤方程（，为常数）的所有根的和为2或3或4．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得，当时，，即可判断①正确；由图象可得抛物线与轴有两个交点，则，即可判断②错误；根据抛物线的对称轴为直线即可判断③正确；由图象可得，当时，函数取得最小值为，从而可判断④正确；画出函数的图象，分情况讨论的取值，从而判断⑤错误． 【详解】解：由图象可得，当时，，故①正确； 由图象可得抛物线与轴有两个交点，则， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由图象可得，当时，函数取得最小值为， 故对于任意的实数，有，即，故④正确； 画出函数的图象如图所示： 结合函数图象可得，当时，函数与有两个交点，此时两根之和为； 当等于二次函数顶点纵坐标的绝对值时，函数与有三个交点，方程共有个根（其中与顶点的相交时，为重根），总和为； 当的值在和二次函数顶点纵坐标的绝对值之间时，函数与有四个交点，方程有个根，总和为； 当大于二次函数顶点纵坐标的绝对值时，函数与有两个交点，方程有个根，此时两根之和为； 综上所述，方程（，为常数）的所有根的和为2或4，故⑤错误； 综上所述，正确的有①③④，共个． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】-3． 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ = =1+2×（-2） =-3 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 12. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为________人． 【答案】8 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，则第一轮后总患病的人数为人，从而可得第二轮后总患病的人数为人，结合经过两轮传染后共有81人患了流感列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，则第一轮后总患病的人数为人， ∴第二轮后总患病的人数为人， 由题意可得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人． 13. 已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴为直线，再结合二次函数的性质可得当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧时，随的增大而增大，当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧（）时，随的增大而增大，最后结合题意分析即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数为， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧时，随的增大而增大， 当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧（）时，随的增大而增大， ∵二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大， ∴当时，，当时，无满足条件的， ∴． 14. 如图，抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，点在该抛物线上且坐标为，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出点C的坐标可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，据此求出对称轴即可求出点A的坐标． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵点在该抛物线上且坐标为， ∴点C和点D关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点、两点， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 15. 如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）距离水面，当水面下降时，水面的宽度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出对应抛物线的解析式，再求出时x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 设该抛物线的解析式为， 由题意得，点在该抛物线上，则， ∴， ∴该抛物线的解析式为， 当时，则，解得， ∴当水面下降时，水面的宽度为． 三．解答题（共7小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的实数根分别为和，且，求的值． 【答案】（1）证明：， ，即 无论取何值，方程总有两个实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴均大于0，符合题意， ∴的值为或． 18. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为90平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．     （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为64平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚长10米，宽9米 （2）小路宽度为1米 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的边长为米，则平行墙的边长为米，根据计划建造车棚的面积为90平方米列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设小路宽米，根据停放自行车的面积为64平方米列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的边长为米，则平行墙的边长为米， 由题意得， 整理得， 解得，， 当时，此时平行墙长米，墙长只有12米，，舍去； 当时，平行墙长米，，符合题意． 故车棚长10米，宽9米． 【小问2详解】 解：设小路宽米， 由题意得， 整理得， 解得，（舍去） 故小路宽度为1米． 19. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求的坐标． 【答案】（1） （2）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出与轴另一交点，设抛物线解析式为，把代入计算即可得出结果； （2）设，求出直线解析式，直线与交点为，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，对称轴， ∴与轴另一交点， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点是抛物线对称轴上的一点， ∴设， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线解析式， 当时，，即直线与交点为， ∵的面积为15， ∴三角形面积， ∴， ∴或， ∴，， 点坐标为或． 20. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 . （2）应降价元，最大利润为 元. 【解析】 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【小问1详解】 解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得  ,  ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； 【小问2详解】 解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴，  ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 21. 平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，交轴于点． （1）求二次函数的解析式； （2）将点向右平移个单位，再次落在二次函数图象上，求的值； （3）对于这个二次函数，若自变量的值增加5时，对应的函数值增大，直接写出满足题意的自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出点坐标，二次函数的对称轴为直线，从而可得点关于对称轴的对称点横坐标为，再结合平移的性质即可得出结果； （3）由题意可得，解不等式即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点和， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点坐标， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点横坐标为， ∵点向右平移个单位，再次落在二次函数图象上， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得， ∴， ∴， ∴， 取值范围是． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 （1）水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （3）假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【答案】（1）；或 （2）两个水池面积差的最大值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $