精品解析：山东省临沂市临沭县石门初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次阶段质量测试数学试题

九年级数学上册第一次学情调研试题 一、选择（每小题3分，共42分） 1. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 2. 关于的说法，正确的是（ ） A. 由于，故不可能等于，因此这不是一个方程 B. 是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程 C. 是一个一元二次方程 D. 是一个一元二次方程，但不能解 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及判断一元二次方程是否有解．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：是一个一元二次方程， 故选：C． 3. 若是一元二次方程，则不等式的解集是（　　） A. a>-2 B. a<-2 C. a>- D. a>-2且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】由是一元二次方程判断出a的范围即可解答． 【详解】∵为一元二次方程， ∴，，解得， 故不等式的解集为且． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的性质和一元一次不等式的解集，解决本题的关键是弄清一元二次方程的定义（一元二次方程，是指只含有一个未知数（一元）并且未知数项的最高次数是2（二次）的 整式方程 ，一元二次方程经过整理都可化成一般形式：（a≠0），其中叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项）． 4. 若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式以及根与系数的关系即可解答. 【详解】解 ：依题意△＞0，即(3a+1)2﹣8a(a+1)＞0， 即a2﹣2a+1＞0，(a﹣1)2＞0，a≠1， ∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a， ∴﹣＝1﹣a， 解得：a＝±1， 又a≠1， ∴a＝﹣1． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的综合运用，要注意根据题意舍弃一个根是解题关键. 5. 下列方程是一元二次方程的是_____ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（5） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程． 【详解】解：（1），不是整式方程，不是一元二次方程； （2），含有2个未知数，不是一元二次方程； （3），不是整式方程，不是一元二次方程； （4），未知数的最高次数为3，不是一元二次方程； （5），是一元二次方程； （6），当时，是一元二次方程； 故答案为：（5） 6. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 7. 若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b的值为（　　） A. ﹣57 B. 63 C. 179 D. 181 【答案】D 【解析】 【分析】首先观察方程，不能用直接开平方法，另外常数项比较大，对于公式法也不太适合，故采用配方法；接下来将常数项移到等号右边，通过配方将方程左边化成完全平方的形式； 然后利用直接开平方法得到方程的解，结合a＞b确定a、b的值，再代入代数式求值即可. 【详解】解：对x2-2x-3599=0移项得， x2-2x=3599， 配方得，x2-2x+1=3599+1， 根据完全平方公式得，(x-1)2=3600， 两边同时开平方得，x-1=60或x-1=-60， 解得x=61或x=-59， 由a、b是该方程的两个根，且a＞b， 所以a=61，b=-59， 则2a-b=2×61-(-59)=181. 故选D. 【点睛】掌握解一元二次方程的方式是解答本题的关键. 8. 若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　） A. x1＜x2＜a＜b B. x1＜a＜x2＜b C. x1＜a＜b＜x2 D. a＜x1＜b＜x2 【答案】C 【解析】 【分析】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系． 【详解】用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2． 故选C． 9. 关于x的方程：①；②﹣＝7；③3﹣4x+5＝0；④中，一元二次方程的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：①，当a=0时，该方程不是一元二次方程； ②﹣＝7属于分式方程； ③3﹣4x+5＝0符合一元二次方程的定义； ④，化简得2x-2=0，是一元一次方程． 综上所述，其中一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是理解一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 10. 若方程是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题关键． 根据一元二次方程的概念解答即可． 【详解】解：A、若，原方程为，即是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、若，原方程为，不是一元二次方程，故本选项符合题意； C、若，原方程为，即是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、若，原方程为，即是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 11. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ） A. ﹣10 B. 4 C. ﹣4 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解， ∴m+n=3，mn=a． ∵，即， ∴，解得：a=﹣4． 故选∶C． 12. 若m是关于x的一元二次方程的根，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．根据一元二次方程的解的定义把代入得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的根， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：A 13. 关于x的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义，解一元二次方程．先把代入方程的解求出，从而得到方程为，再解出方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个根是0， ∴， ∴方程变成， 即， 解得：， ∵两根中只有一根等于0， ∴， ∴． 故选B 14. 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ） A. 1，0 B. ﹣1，0 C. 1，﹣1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 二、填空（每空1分，共15分） 15. 一元二次方程化为一般形式为：_________________，二次项系数为：_______，一次项系数为：_____，常数项为：______． 【答案】 ①. ②. 1 ③. ④. 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的一般形式，能够灵活地对方程进行变形是解题的关键． 先去括号，再移项合并同类项，可得到一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：， ∴， 化为一般形式为：， ∴二次项系数为：1，一次项系数为：，常数项为：． 故答案为：；1；； 16. 关于的方程，当______时，为一元一次方程；当______时，为一元二次方程. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，可以确定m的取值． 【详解】解：要使方程是一元一次方程，则m-1=0， ∴m=1． 要使方程是一元二次方程，则m-1≠0， ∴m≠1． 故答案为：；． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程；含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程． 17. 若a 是方程的一个根，则代数式____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值．把代入方程即可． 【详解】解：∵a 是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2 18. 已知方程的一个根是，则________，另一根为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将x=-1代入方程，然后利用因式分解法解方程，从而求解． 【详解】解：把x=-1代入方程x2+kx+3=0， 得1-k+3=0， 解得k=4， 所以x2+4x+3=0， （x+1）（x+3）=0 解得x=-1或-3， 所以另一个根是-3 故答案为：①4；②-3． 【点睛】本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的解法，掌握解方程步骤正确计算是解题关键． 19. 若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是____． 【答案】1或－ 【解析】 【详解】由题意得：4x2－2x－5+2x2＋1=0， 解得：x=1或x=-． 故答案为：1或- 20. 若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b=_____． 【答案】2或-4##-4或2 【解析】 【详解】设a+b=y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0， 解得y=2或﹣4， 所以a+b=2或﹣4， 故答案为2或-4． 21. 已知2x2+3x+1的值是10，则代数式4x2+6x+1的值是_____． 【答案】19 【解析】 【详解】由题意得2x2+3x+1=10，所以2x2+3x=9， 因为4x2+6x+1=2(2x2+3x)+1=2×9+1=19， 所以代数式4x2+6x+1的值是19， 故答案为:19. 22. 若方程的两个根分别为，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】∵方程的两个根分别为，， ∴，． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（若一元二次方程的两个根为，，则，），牢记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 23. 若是关于的一元二次方程的根，且，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．根据一元二次方程的解的定义把代入得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的根， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 24. 关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则实数k的取值范围为_____． 【答案】k≤0 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根和根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 三、解方程（每小题4分，共20分） 25. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的解法是快速解题的关键．利用因式分解法求解可． 【详解】解：， ， 或， ，． 26. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行求解一元二次方程即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握运用完全平方公式求解． 27. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 28. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先整理，再利用公式法解答即可． 此题考查解一元二次方程，一元二次方程解法有直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 29. 解方程：x2+3x﹣4=0（公式法） 【答案】x1=﹣4，x2=1 【解析】 【详解】试题分析：先求出△的值，再利用公式法求出x的值即可． 试题解析：这里a=1，b=3，c=-4 ∴b2-4ac=32-4×1×(-4)=25>0 ∴x= 即：x1=﹣4，x2=1； 四、解答（共43分） 30. 证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【答案】 证明：由关于x的方程可知： ， ∵， ∴， ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可进行求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 31. 已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值． 【答案】m=1，n=-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，据此易求m、n的值． 【详解】解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m， ∴，解得， ∴m，n的值分别是1、﹣2． 32. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 【答案】（1）k＜；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得：k＜； （2）∵k为正整数， ∴k=1或2． 当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意； 当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意． ∴k的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 33. 已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式的值． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵m是方程x2−x−2=0的根， ∴m2−m−2=0，即m2−m=2，m2 −2=m． ∴． 34. 一个一元二次方程，其两根之和是5，两根之积是，求出这两个根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程．设此一元二次方程为，根据两根之和是5，两根之积是，求出p、q的值即可． 【详解】解：设此一元二次方程为， ∵其两根之和是5，两根之积是， ∴， ∴此一元二次方程为， 解得：． 35. 已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个等腰三角形的面积. 【答案】12. 【解析】 【详解】分析：先解一元二次方程，再利用三角形三边间的关系确定等腰三角形的腰长，最后求出三角形的面积即可. 详解：∵x2-9x+20=0， （x-4）（x-5）=0， ∴x1=4，x2=5； ∵等腰三角形腰长是方程的一个根，等腰三角形底边长为8， 又∵x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形， 故腰长为x=5， 设底边上的高为h，由勾股定理得： h=， ∴高为3， 所以，三角形的面积为×8×3=12． 点睛：本题考查了一元二次方程的解法、三角形三边间的关系、三角形的面积.利用三角形三边间的关系进行判断是否构成三角形是解题的关键. 36. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．求截去正方形的边长． 【答案】截去正方形的边长为10厘米． 【解析】 【分析】设截去正方形的边长为x厘米，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x），现在要求长方体的底面积为：800平方厘米，令二者相等求出x的值即可． 【详解】设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米， 所以长方体的底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x）=800， 即：x2﹣50x+400=0， 解得x1=10，x2=40（不合题意舍去）． 答：截去正方形的边长为10厘米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上册第一次学情调研试题 一、选择（每小题3分，共42分） 1. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2. 关于的说法，正确的是（ ） A. 由于，故不可能等于，因此这不是一个方程 B. 是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程 C. 是一个一元二次方程 D. 是一个一元二次方程，但不能解 3. 若是一元二次方程，则不等式的解集是（　　） A. a>-2 B. a<-2 C. a>- D. a>-2且a≠0 4. 若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 2 5. 下列方程是一元二次方程的是_____ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 6. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 7. 若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b的值为（　　） A. ﹣57 B. 63 C. 179 D. 181 8. 若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　） A. x1＜x2＜a＜b B. x1＜a＜x2＜b C. x1＜a＜b＜x2 D. a＜x1＜b＜x2 9. 关于x的方程：①；②﹣＝7；③3﹣4x+5＝0；④中，一元二次方程的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 若方程是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ） A. ﹣10 B. 4 C. ﹣4 D. 10 12. 若m是关于x的一元二次方程的根，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 13. 关于x的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ） A. 1，0 B. ﹣1，0 C. 1，﹣1 D. 无法确定 二、填空（每空1分，共15分） 15. 一元二次方程化为一般形式为：_________________，二次项系数为：_______，一次项系数为：_____，常数项为：______． 16. 关于的方程，当______时，为一元一次方程；当______时，为一元二次方程. 17. 若a 是方程的一个根，则代数式____． 18. 已知方程的一个根是，则________，另一根为________． 19. 若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是____． 20. 若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b=_____． 21. 已知2x2+3x+1的值是10，则代数式4x2+6x+1的值是_____． 22. 若方程的两个根分别为，，则的值为_____． 23. 若是关于的一元二次方程的根，且，则的值为____． 24. 关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则实数k的取值范围为_____． 三、解方程（每小题4分，共20分） 25. 解方程： 26. 解方程：． 27. 解方程：． 28. 解方程： 29. 解方程：x2+3x﹣4=0（公式法） 四、解答（共43分） 30. 证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 31. 已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值． 32. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 33. 已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式的值． 34. 一个一元二次方程，其两根之和是5，两根之积是，求出这两个根． 35. 已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个等腰三角形的面积. 36. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．求截去正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $