精品解析：四川省成都市树德中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性测试数学试题

树德中学高2026级高一上学期10月阶段性测试数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. ⫋ C. ⫋ D. 6. 设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，则（ ） A. 满足的有8个 B. 集合中有5个元素 C. 当时， D. “”是“”的必要不充分条件 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________ 13. 若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围为___________． 14. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 回答下列问题： （1）若，求的最小值； （2）已知，，且，求的最小值． 17. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 对于集合，记，且且表示集合中元素的个数． （1）若，求； （2）试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； （3）已知有限集满足，试用含的式子表示满足条件的集合的个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2026级高一上学期10月阶段性测试数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由存在量词命题的否定的规律可知，命题的否定为： 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解内层函数的取值，再将其作为自变量代入计算复合函数值. 【详解】  ，所以 . 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】分析充分性： 若成立， 举反例验证：取，，此时，， 但，，显然不成立，即不成立， 因此充分性不成立. 分析必要性： 若成立， 由绝对值的性质：， 因为，所以，即a为正数， 当时，， 又因为，结合，可得， 即， 因为， 所以， 因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 5. 已知集合，，则（ ） A. B. ⫋ C. ⫋ D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，且（）为非负偶数， 又，故⫋. 6. 设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 7. 已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加 【详解】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次， 则对的所有非空子集中元素执行乘再求和， 则这些和的总和是． 故选：B. 8. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可将不等式转化为至少有一个负数解，再结合图形确定临界点，即可求解 【详解】由题，可将在上有解转化为至少有一个负数解， 构造，画出图形，如图： 当时，与相交于点，要使与相交于轴左侧，则需满足， 在函数不断左移的过程中，若与左侧曲线相切，则有，对应的， 解得，则， 综上所述， 故选：A 【点睛】本题考查二次不等式的等价转化，绝对值函数和二次函数的应用，属于中档题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于 C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 10. 已知集合，则（ ） A. 满足的有8个 B. 集合中有5个元素 C. 当时， D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于，由可知，，元素-4可以属于也可以不属于，所以满足条件的有2个，故错误； 对于，因为，枚举可得，有5个元素，故正确； 对于，，又，所以，故正确； 对于，因为，，区间长度为1， 所以或或或或， 解得或或或或， 即，又真包含， 所以“”是“”的必要不充分条件，故正确. 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________ 【答案】 【解析】 【详解】,解得，所以的定义域是. 13. 若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，结合一次函数、二次函数最值可得，运算求解即可. 【详解】因为对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，取到最大值； 当时，取到最大值； 则，即，解得， 所以的取值范围为. 14. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由题意可知：，且当时，关于的不等式恒成立， 当时，由可得，则在内恒成立， 因为是开口向上的抛物线，可知在内不恒成立，不合题意； 当时，当时，；当时，； 可知当时，；当时，； 则是 的零点，可得，整理可得， 令，解得或， 满足当时，；当时，；符合题意， 则，当且仅当， 即等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，求得，然后按交集、并集及补集的定义求解即可； （2）由题可知，分和分别求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 可知或， 则或. 【小问2详解】 由题可知， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，． 16. 回答下列问题： （1）若，求的最小值； （2）已知，，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）整理可得，利用基本不等式求解即可； （2）由已知条件可得，从而得，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为，，则，， 又因为，则，即， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 18. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 19. 对于集合，记，且且表示集合中元素的个数． （1）若，求； （2）试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； （3）已知有限集满足，试用含的式子表示满足条件的集合的个数，并说明理由． 【答案】（1），． （2）成立，证明如下： 由题意可知：且且， 所以且， 所以成立． （3）满足条件的集合的个数是，理由如下： 画出Venn图，将划分成个集合， 则：每个集合的元素个数为：，则：， 由条件可得： 化简得：，即，得：，即． 由，可知：； ，可知：， 故． 不妨设集合，其中集合． 由于，且，所以， 即：集合为集合的子集， 故满足条件的集合的个数等于满足条件的集合的个数，等于． 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式和绝对值不等式，求解其并集和交集，然后根据集合运算新定义求解即可； （2）结合并集运算和交集运算，利用集合运算新定义求解即可； （3）画出Venn图，将划分成个集合,分别求出，进而可得，化简整理，分析计算，可得，不妨设集合，其中集合，根据所给定义，化简整理，即可得答案． 【小问1详解】 由已知得：，， 则：，故，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $