精品解析：四川省成都外国语学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

成都外国语学校高一10月月考数学试题（1号卷） 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列四个选项中正确的是（ ） A. 有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 棱长都相等的直四棱柱是正方体 C. 棱台的侧棱延长后交于同一点 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱、正方体、棱台、正棱锥的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体， 不一定满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，故A错误； 对于B：直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱， 棱长都相等的直四棱柱，其底面不一定是正方形， 可能是其它四边形，所以不一定是正方体，故B错误； 对于C：根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 由于棱台是由棱锥截得的，所以棱台的侧棱延长后一定交于同一点，故C正确； 对于D：底面是正多边形的棱锥，其顶点在底面的射影不一定是底面中心，所以不一定是正棱锥，故D错误. 2. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 3. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原理作出原图形，求出边长即可得原图形的周长. 【详解】从直观图可得， 原图形为： 则四边形OABC为平行四边形，， ， 所以其周长为. 故选：C. 4. 在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角. 【详解】由正弦定理，， 又，则，所以. 故选：A. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，侧面积分别为，由侧面积公式，求出，从而解得，最后由圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径均为，侧面积分别为， 则圆锥的母线 所以，， 又因为， 即，解得， 所以圆锥的体积. 故选：A. 6. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据欧拉公式得到，再计算即可. 【详解】由题意得， . 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题. 7. 如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距4海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距2海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先在中，利用余弦定理求出，再求出，利用求出即可. 【详解】 由已知得，在中，，，， 故， 则，则，则， . 8. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的平方和关系及三角形面积公式得到，根据向量的线性运算得到，结合向量的模的计算及基本不等式求解即可. 【详解】在中，，所以. 又，所以. 又， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 已知，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理求得的外接圆的半径即可验算；对于B，由余弦定理验算即可；对于C，由正弦定理、余弦定理得为钝角即可判断；对于D，由锐角三角形性质得，结合正弦函数性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则的外接圆的半径为，的外接圆的面积为，故A错误； 对于B，已知，则， 即，所以， 则，故B错误； 对于C，若，则，所以， 则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，若为锐角三角形，则， 所以，则，故D正确. 故选：CD. 10. 已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】应用特殊值法计算判断A，应用共轭复数及复数乘法计算判定B，C，特殊值法应用复数的乘法及模长公式计算判定D. 【详解】对于A，取，且，则，，显然，故A错误； 对于B，设，则，故B正确； 对于C，由可得，因为是非零复数，所以，即，故C正确； 对于D，取，，则，，故D错误. 11. 如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上，底面边长为，侧棱长为，则下列说法正确的有（ ） A. 若底面边长，则侧棱长 B. 若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 C. 若侧棱长，则过中点的平面截球，截面积的最小值为 D. 该正三棱柱的侧面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由球的表面积求出半径,利用正三棱柱外接球球心为上、下底面外心连线的中点,得到,与球半径的关系式,再逐项判断:A,B项代入关系式求值;C项当截面垂直于球心与点的连线时截面积最小;D项用基本不等式求侧面积的最大值. 【详解】设球的半径为,由得. 设上、下底面的外心分别为,,则球心为的中点,且. 底面正三角形的外接圆半径,由得. 对于A，当时,,解得,A正确. 对于B，当时,,解得. 底面积,体积,不等于,B错误. 对于C，当,时,,,其中为上底面的外心. 到中点的距离等于上底面正三角形内切圆半径. 因为上底面,所以,则. 设过点的截面圆的圆心到的距离为,则,截面圆半径的平方为. 当且仅当与截面垂直时取等号,所以截面积的最小值为,C正确. 对于D，侧面积,由及基本不等式得. 所以,当且仅当,即,时取等号. 因此侧面积的最大值为,D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式，求出的最小值即可． 【详解】∵复数满足， ∴， ∴的最小值是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目． 13. 在中，角所对的边分别为，且．若有两个，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理将条件化简，求出角，再由三角形有两个的充要条件（为锐角），代值计算即得，​​的取值范围． 【详解】由和余弦定理，可得， 化简得，所以， 因为，所以． 要使有两个，需满足， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 14. 如图，在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】展开平面求解线段和的最小值，即周长的最小值. 【详解】 设底面对角线中点为，棱长为，正方形对角线，故； 侧面是边长为的正方形，为中点，为等腰直角三角形，得，因此； 是体对角线，是平面内直线与夹角， 是平面内直线与夹角， 两个平面沿公共棱拼接，； 公共边，结合，，得 周长改写 将矩形面与矩形面沿公共棱旋转摊平为同一平面： 面：矩形，，； 面：正方形，边长； 两平面原始二面角为，摊平后， 此时折线段等价于平面内从定点到定点、途经直线、直线的折线段， 根据两点之间线段最短，直接连接，线段与交于、与交于，此时折线段总长，周长取得最小值， 已知：，，夹角，由余弦定理得 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数z＝a＋bi（a，bR）满足． （1）求复数z； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1） 先设，代入条件得到，根据复数相等的条件求解即可； （2） 将代入方程，然后根据复数相等的条件列出方程组，进而求解实数p，q的值. 【小问1详解】 已知（a，bR），，， 已知代入可得：， 所以，解得，因此，复数. 【小问2详解】 把代入方程中，得到 整理得， 所以，解得. 16. 在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若是的角平分线，且，，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，求出，得到答案； （2）由余弦定理得，由三角形面积公式得到，联立可得，结合三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理：，得： ， 又，， 故，即， 又， . 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：①， 即，故， 又，得：， 化简得：②，联立①②得：，负值舍去， 所以. 17. 为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. （1）若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； （2）若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由台体的体积公式求解该正四棱台的体积即可；先求出正四棱台的侧面的高，再由梯形的面积公式求解即可. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，.分别用，表示，，即可表示出，令，则，结合函数的单调性即可得出答案. 【小问1详解】 因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为， 记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，， 在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，，，所以， 所以， 故该正四棱台的侧面积. 【小问2详解】 设正四棱台上、下底边长分别为，. 由条件可知，，. 此时在等腰梯形中， ，， 所以， 令， 则， 当且仅当时取等号. 18. 作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（的周长）； （2）若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求； （3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中求出，，再在中，利用余弦定理求出，进而由得，从而求，可得护栏的长度（的周长）； （2）设（），利用三角形的面积公式可得，又在中，由正弦定理得，从而由可求； （3）设，在中，利用正弦定理求出，再利用三角形的面积公式和三角恒等变换即可求解. 【小问1详解】 由，，， 得，又，则，， 所以， 在中， 由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴， ∴护栏的长度（的周长）为. 【小问2详解】 设， 因为鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即. 【小问3详解】 设，由（2）知， 又在中，由，得， 所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 【点睛】思路点睛：本题考查余弦定理、正弦定理的应用与三角恒等变换的综合问题，在解题此类问题时，认真观察转化为解三角形问题，在应用正弦定理和余弦定理时候要注意具体在用哪一个三角形，要善于结合三角恒等变换化简求解. 19. 阅读下面内容并解决相关问题（注：，，分别为三个内角，，的对边，为的面积）． （1）教材必修二55页“阅读与思考”栏目介绍了我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出三角形面积的求法“三余求积”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，斜四约之，为实一为从隅，开平方得积．”写成公式，就是，请利用证明该公式． （2）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，如图，已知，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）判断的形状． 【答案】（1）， 根据余弦定理可得， 代入可得． （2）（ⅰ）12；（ⅱ）为等边三角形． 【解析】 【分析】（1），结合余弦定理可证明公式； （2）（ⅰ）利用面积分割法结合余弦定理，通过三式相加消元，求出的值；（ⅱ）结合公式，利用完全平方不等式的非负性，即可判断三角形形状． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （ⅰ） 因为，所以代入可得， 即， 因为，所以， 由余弦定理可得， 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加可得： ， 化简可得. （ⅱ），， 代入可得， 两边平方可得， 化简可得：， 即，所以，即，因此为等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校高一10月月考数学试题（1号卷） 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列四个选项中正确的是（ ） A. 有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 棱长都相等的直四棱柱是正方体 C. 棱台的侧棱延长后交于同一点 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 2. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 4. 在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距4海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距2海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 已知，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 10. 已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 11. 如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上，底面边长为，侧棱长为，则下列说法正确的有（ ） A. 若底面边长，则侧棱长 B. 若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 C. 若侧棱长，则过中点的平面截球，截面积的最小值为 D. 该正三棱柱的侧面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则的最小值是______． 13. 在中，角所对的边分别为，且．若有两个，则实数的取值范围是___________． 14. 如图，在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数z＝a＋bi（a，bR）满足． （1）求复数z； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若是的角平分线，且，，求的面积 17. 为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. （1）若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； （2）若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 18. 作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（的周长）； （2）若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求； （3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 19. 阅读下面内容并解决相关问题（注：，，分别为三个内角，，的对边，为的面积）． （1）教材必修二55页“阅读与思考”栏目介绍了我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出三角形面积的求法“三余求积”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，斜四约之，为实一为从隅，开平方得积．”写成公式，就是，请利用证明该公式． （2）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，如图，已知，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）判断的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $