精品解析：陕西省安康市高新中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

安康市高新中学2026-2027学年第一学期高二10月月考试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为即可求解. 【详解】解：在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为， 故选：A. 2. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项. 【详解】A：平行于平面的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确； B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：B 3. 向量，，满足，，且，则（ ） A. B. C. 22 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积及坐标表示计算求解即可. 【详解】， 所以. 故选：A. 4. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行求解 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 5. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以 6. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 7. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 存在无数个实数符合题意 B. 存在唯一的正整数符合题意 C. 不存在正整数符合题意 D. 不存在任何实数符合题意 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设，，，，根据异面直线距离定义利用空间两点距离公式即可得到答案. 【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则可设，其中，，其中， 根据图中可知直线和直线为异面直线， 若能取到两异面直线间的距离，则此时距离最小， 根据异面直线公垂线的定义知，， ，，，，则， 则，， 解得，满足范围， 则此时， 则. 故选：C. 二、多选题 9. 已知向量，，，则（ ） A. 向量，的夹角为 B. ∥ C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出，再根据向量夹角的定义判断即可；对于B，只需判断是否成立，即可判断；对于C，只需判断是否成立，即可判断；对于D，根据向量数量积的坐标运算，计算出的值，即可判断. 【详解】解：对于A，因为， 所以向量，的夹角为，故错误； 对于B，因为，， 所以，所以∥，故正确； 对于C，因为，， 所以，所以，故正确； 对于D，因为，， 所以，故错误. 故选：BC. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是锐角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知，平面的法向量为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间任意两个向量一定共面可得选项A正确；根据向量方向相同时条件成立可得选项B错误；根据空间向量共面定理可得选项C正确；根据线面位置关系可得选项D错误. 【详解】A.空间中任意两个非零向量一定共面，若向量与向量共线，则向量一定可以平移到由确定的平面上， 故空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确. B.若为非零向量，且方向相同，则， 故时，可能为，B错误. C. 假设共面，则存在实数，使得， 由向量组是空间的一个基底可知不共面，故不存在实数，使得成立， 所以不共面，即也是空间的一个基底，C正确． D．因为，所以， 所以或，故D错误． 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，CD的中点，则（ ） A. B. 平面BEF C. 直线AB交平面EFC于点P，则 D. 点到平面BEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABD，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可，对于C，延长交于点，连接交于点，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 因为E，F，G分别为棱，，CD的中点， 所以， 对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，因为， 所以， 所以，即， 因为，平面，所以平面，所以B正确， 对于C，延长交于点，连接交于点，因为F为棱的中点， 所以，因为，所以， 所以， 因为‖，所以，所以, 因为，所以，所以，所以C正确， 对于D，设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，所以点到平面BEF的距离为 ，所以D正确， 故选：BCD Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用空间中点到线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可得l的一个单位方向向量为， , 故点P到直线l的距离. 故答案为：. 13. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围. 【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 则，得， 所以， ， 显然不是平角，所以为钝角等价于， 即，即， 解得，因此的取值范围是. 故答案为： 14. 已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用四点共面的向量性质得到的约束条件，再通过1的代换变形目标式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当​，即​时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 四、解答题 15. 已知空间三点.设. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，结合模长的坐标运算可得答案； （2）根据向量夹角公式可得答案； （3）根据数量积为0可求答案. 【小问1详解】 因为，所以； 所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以与的夹角为. 【小问3详解】 ， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，． （1）试用，，表示出向量； （2）求与所成的角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子； （2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可． 【小问1详解】 因为，则， 因为ABCD是边长为1的正方形，则， 且，可得， 又因为，，，所以. 【小问2详解】 由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°， 则 ， 可得， 又因为 ， 设与所成的角为，所以． 17. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解. （2） 【解析】 【分析】（1）过作交于，利用勾股定理证得，进而得到，进而证得平面，故平面平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入算得结果. 【小问1详解】 如图，在四边形中，过作交于，在中，得，，则，得， ， 又由已知条件平面， 故平面， 又平面平面平面. 【小问2详解】 为等腰三角形，，又因为平面， 以为原点建立空间直角坐标系， 如图：可得， ， 设平面的法向量为，根据 ，得，令，则，得， 又，设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）作出直线与平面所成角，解直角三角形即可得答案. （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而得的值． 【小问1详解】 作，垂足为E，连接， 因为侧面底面，侧面底面，故底面， 底面，则， 则即为直线与平面所成角， ，故，故， 则, 又，故， 故. 【小问2详解】 因为侧面底面，侧面底面，， 底面，故侧面， 以点A为坐标原点，以分别为轴，以过点A垂直于平面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 则，则，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 结合题意可知平面的法向量可取作， 设锐二面角为，则， 【小问3详解】 设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则． 19. 已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. （1）证明：； （2）若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）由四边形为菱形，， 得为正三角形，因为为的中点， 所以，又，因此， 因为平面，平面，所以， 而平面，平面且， 所以平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明； （2）建立坐标系，结合条件证明为线段的中点，再求平面，平面的法向量，结合向量夹角公式即可求结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系： 由，结合菱形性质得，，，， 因为在上，故可设，则， 取底面的法向量为， 因为直线与底面所成角为，则线面角的正弦值等于向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，  所以， ​ 代入，，可得， 所以， 化简解得​，即为中点，点的坐标为， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 因此 ， 观察图象可得二面角为锐二面角，故， 所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安康市高新中学2026-2027学年第一学期高二10月月考试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 3. 向量，，满足，，且，则（ ） A. B. C. 22 D. 4. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 存在无数个实数符合题意 B. 存在唯一的正整数符合题意 C. 不存在正整数符合题意 D. 不存在任何实数符合题意 8. 如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，，则（ ） A. 向量，的夹角为 B. ∥ C. D. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是锐角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知，平面的法向量为，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，CD的中点，则（ ） A. B. 平面BEF C. 直线AB交平面EFC于点P，则 D. 点到平面BEF的距离为 Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________. 13. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________． 14. 已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 四、解答题 15. 已知空间三点.设. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，． （1）试用，，表示出向量； （2）求与所成的角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. （1）证明：； （2）若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $