精品解析：陕西省安康中学2024-2025学年高二上学期12月诊断性测试数学试卷

安康中学2026届高二上学期12月诊断性测试 数学 一､单选题 1. 已知点，点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的最小即点到直线的距离，代入公式即可. 【详解】由题意，的最小值是点到直线的距离， 即. 故选：A. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则该圆圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，直线经过圆的圆心，由此求出，进而可知圆心的坐标. 【详解】对圆进行配方可得：，圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线经过圆心， 所以，解得，故圆心为， 故选：C. 3. 一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 4. 已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A. B. C. D. 无最大值 【答案】B 【解析】 【分析】对于A：根据可得，结合通项公式分析判断；对于B：根据等差数列性质可得，即可分析判断；对于CD：根据分析数列的符号性，即可判断. 【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即， 可得，则，故A错误； 对于选项B：因为，则，所以，故B正确； 对于选项D：因为，且，可知，当时，； 当时，；可知当且仅当时，取到最大值，故D错误， 对于选项C：因为，所以，故C错误； 故选：B. 5. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 6. 过抛物线焦点的直线交于两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果. 【详解】 设直线的倾斜角为，根据是正三角形得，故直线斜率为. 因为，所以， 由得， 设，则， 所以. 故选：B. 7. 已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可. 【详解】如图所示 由题意知，解得 记的右焦点为，即， 由双曲线的定义，得，即 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立, 所以的最小值为. 故选：C. 8. 已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求得，从而可得的面积，由等面积法可得内切圆半径，和正弦定理可得外接圆半径，结合已知可解. 【详解】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解. 如图，由椭圆的定义可知，且，又， 利用余弦定理可知： ， 化简可得， 所以的面积为， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 由正弦定理可得，可得， 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得， 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以， 即可得， 所以，离心率. 故选：C 二､多选题 9. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得曲线为圆 B. 若曲线C为椭圆，则 C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可. 【详解】A正确：曲线C为圆即 ； B错误：C为椭圆 C正确：C为焦点在x轴上的双曲线， D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值. 故选：AC 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量夹角公式计算判断A；利用向量垂直的充要条件计算判断B；利用投影向量计算公式判断C；利用共面向量基本定理判断D. 【详解】对于A，，则， 而，因此，A错误； 对于B，，则，，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为：，C错误； 对于D，由向量，得，向量与向量共面，D正确. 故选：BD 11. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 三､填空题 12. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系可得当时，是公比为3的等比数列，求解答案. 【详解】由得，时，，两式相减得， 所以当时，是公比为3的等比数列，而，则， 由不满足上式得. 故答案为：. 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【详解】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由以为直径的圆经过点，可得，结合双曲线的性质和勾股定理，再结合离心率公式，即可解答. 【详解】 因为、分别为双曲线的左右焦点， 过的直线与双曲线左支交于A，B两点， 且，以为圆心，为半径的圆经过点B，得, 设，则， 在中，由勾股定理得，解得， 则， 在中，由勾股定理得，化简得，， 所以的离心率. 四､解答题 15. 等差数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最大值. 【答案】（1）； （2），最大值为16 【解析】 【分析】（1）设出公差，由题设列出关于首项和公差的方程组，求出首项和公差即可得到通项公式； （2）利用等差数列求和公式得到，配方求出最大值. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则，解得， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）， 故当时，取得最大值，最大值为16. 16. 求满足下列条件的标准方程 （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程； （3）焦点F在y轴上，点在抛物线上，且的抛物线的标准方程． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和焦距直接得出后求解，讨论焦点在轴和轴上两种情况；（2）设所求双曲线方程为，将已知点的坐标代入即可求解；（3）根据抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，故， 当焦点在x轴上时，椭圆标准方程为，当焦点在y轴上时，椭圆标准方程为， 综上，所求的椭圆标准方程为或； 【小问2详解】 设所求双曲线方程为，将点代入得， 所以双曲线方程为，即双曲线的标准方程为； 【小问3详解】 设所求抛物线方程为，其准线为，点在抛物线上，且， 所以，解得，所以抛物线方程为. 17. 已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 （1）求圆的标准方程； （2）求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为；最小值为 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据圆的定义，待定系数法可得圆的方程； （2）分离参数可得直线过定点，且点在圆内，进而可得弦长的最值. 【小问1详解】 由已知圆心在直线上， 则设， 又圆经过点和， 则， 即， 解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由已知直线， 即， 令，解得， 即直线过定点， 且， 所以当直线过点时弦长最大为， 当直线时弦长最小为. 18. 如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）证明：分别为中点，为的中位线 ，且， ， 又F为中点，为的中位线， 又，， 又，平面 又平面，所以平面平面 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论. （2）由面面垂直的判定定理及性质定理可知平面，则即为所求角，在直角中可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，又平面，平面平面 因为为中点， 又平面平面，所以平面 为直线与平面所成角， 在直角中，， 所以 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法： （1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念； ③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）. 19. 如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）. （1）求椭圆的方程； （2）设直线和的斜率分别为，，求证:为定值； （3）求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：圆的圆心为，半径为， 设切线方程为，则 ，即 因为两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:为定值. （3）证明：联立方程 ，消掉得， 设，则， 同理可得 ， 则， 可得直线方程为， 令，得， 所以故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程； （2）根据切线性质解得点到直线的距离公式整理可得，结合韦达定理分析证明； （3）联立方程求点的坐标，进而可得直线的方程，结合方程分析定点. 【小问1详解】 因为 椭圆的上顶点为，离心率为 则 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安康中学2026届高二上学期12月诊断性测试 数学 一､单选题 1. 已知点，点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则该圆圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A. B. C. D. 无最大值 5. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线焦点的直线交于两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得曲线为圆 B. 若曲线C为椭圆，则 C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 11. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三､填空题 12. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式__________. 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_________. 14. 已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为__________. 四､解答题 15. 等差数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最大值. 16. 求满足下列条件的标准方程 （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程； （3）焦点F在y轴上，点在抛物线上，且的抛物线的标准方程． 17. 已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 （1）求圆的标准方程； （2）求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 18. 如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）. （1）求椭圆的方程； （2）设直线和的斜率分别为，，求证:为定值； （3）求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $