精品解析：山东省实验中学2027届高三第一次诊断性考试数学试题

山东省实验中学2027届高三第一次诊断性考试 数学试题 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用三角函数的定义求解. 【详解】由题可得. 故选：A. 2. 设，则“”是 “”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义即可得答案. 【详解】由，可得， 解得或， 即不等式的解集为或； 由，可得， 解得， 即不等式的解集为， 又因为是或的真子集， 所以“”是 “”的必要不充分条件. 3. 的展开式中的系数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把多项式拆成两项，分别求出两部分中的系数，再合并系数得到答案. 【详解】将原式拆分为两个部分的和： . 由二项式定理得的通项为： ， 计算中项的系数：令，则，该项系数为： . 计算中项的系数：会使的次数减1，的次数加1，要得到，则需要提供的项， 令，则，该项系数为：. 综上，展开式中的系数为：. 4. 已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加一个样本数据后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意与最小二乘法得到新的回归方程，最后结合残差的定义求解即可. 【详解】由题意得原数据，则. 由回归直线过样本中心点，得， 所以，增加后新数据如下， 为，， 设新回归直线方程为，则，解得， 所以新回归直线方程为，当时，预测值， 故残差. 5. 函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后再根据平移得到，最后求出的值. 【详解】由函数图像可得，，则， 由，此时， 由，得到， 所以，即， 因为，所以时，， 所以， 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 所以. 6. 某单位派出包括甲、乙在内的9名员工参加培训，需要把他们随机平均分成3个小组，那么甲、乙两人分到同一个小组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】9人平均分成3组的方法数为 ， 甲乙同组的情况：先选1人和甲乙同组，再把剩余6人平均分成2组的方法数为 ， 所以甲、乙两人分到同一个小组的概率为. 7. 设函数，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数、指数函数和对勾函数的性质可得函数在上单调递增，且有，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】当时， 单调递增，所以； 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以当时，单调递增，且， 所以函数在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 又因为，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线恰有6个交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据得是以为周期的函数，再根据当时，求出时，最后根据的图象与曲线恰有6个交点得出，从而求解. 【详解】因为，所以，即， 故是以为周期的函数， 当时，，因为，， 所以，即当时，. 一个周期的图像如图所示： 若，则单调递减，与的交点不足个，所以. 当时，要使与的图像有个交点，则如下图所示： 需满足，即. 此时. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，记一组数据为，则（ ） A. 若的极差为9，则 B. 若的分位数是6，则 C. 若的方差为6.8，则 D. 若的平均数为3，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差、百分位数、平均数及方差计算即可. 【详解】对于A，若是最大值，则，解得； 若是最小值，则，解得（因为，故舍去）； 综上，，A正确. 对于B，因为，所以的分位数是排序后第4项与第5项的平均值. 若，则排序后第4项为3，第5项为8，此时平均值，不满足题意； 若，则排序后第4项为8，第5项为，此时平均值，不满足题意； 若，则排序后第4项为，第5项为8，此时平均值，解得. 综上，若的分位数是6，则，B正确. 对于C，的平均数. 若的方差为6.8，则， 整理得，解得或. 故若的方差为6.8，则或，C错误. 对于D，若的平均数为3，则，解得，D正确. 10. 已知正实数，满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件变形得到，综合运用基本不等式、“1的代换”以及三元均值不等式求解最值；运用均值不等式时要注意一正、二定、三相等，解题要验证等号能否成立，准确区分最大值与最小值. 【详解】正实数满足，两边同除以得，且. 选项A，由基本不等式得，令，得，解得，即， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为8，无最大值，A 错误； 选项，由，根据不等式， 令，，则， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为​，正确； 选项，利用“1的代换”可得， 由基本不等式，因此， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为9，正确； 选项，由得，因此， 令，则，原式转化为.  由三元基本不等式​，得 ， 当且仅当，即（对应）时等号成立，故最小值为3，正确. 11. 在平面直角坐标系中，已知是方程的一个实根，过点作垂直于轴的直线，该直线与函数的图象交于点，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：先求的导函数，将导函数的符号判断转化为关于的符号判断，结合满足的等式，确定导函数在两侧的正负，即可判断是否为极大值点. 选项B：构造函数，利用其单调性，代入区间端点计算函数值，通过符号判断与的大小关系，即可验证该区间是否正确. 选项C：首先明确，利用将化简为，再将待证不等式转化为，结合对勾函数的单调性即可证明. 选项D：先推导直线的斜率，化简后将待证不等式转化为，结合的取值范围即可验证不等式成立. 【详解】由题意得，且，即. 设，定义域为，， 令得，当时，，单调递增. ∵ ，，∴ . 对选项A： ，定义域为， ∴ . 设，对恒成立，故在单调递减. ∵ ， ∴ 当时，，故，单调递增； 当时，，故，单调递减. ∴ 是的极大值点，A正确. 对选项B： ∵ ，， ∴，且在单调递增， ∴ ，故B错误. 对选项C： 由题知，，故. ∵ ，故，，故， ∴ . 要证，即证，即， 两边取自然对数得，即. 代入，即证. ∵ ，函数在单调递增，故，不等式成立，C正确. 对选项D： 直线的斜率. 要证，即证，即， 两边取自然对数得，即. 将不等式两边同乘（，不等号方向不变），得. 解不等式得或，由B选项得，故该不等式成立，D正确. 【点睛】1. 利用已知条件实现与的等价转化，将超越不等式转化为代数不等式，降低证明难度. 2. 判断零点范围时结合函数单调性选择合适的端点估值，证明不等式时优先构造函数利用单调性分析，避免复杂运算. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 【答案】0.24## 【解析】 【详解】正态分布的密度曲线关于均值对称. 观察可知和关于对称轴对称，满足，因此. 由，可得：， 因此. 因此所求概率为. 13. 已知点在直线上，点的坐标为，则的最小值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离、导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】直线可化为. 的最小值即为点到直线的距离，即. 令，定义域为，则. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值，即， 所以，则， 所以. 综上，的最小值为. 14. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出点数大于4（即掷出5或6）记为“成功”，掷出点数不大于4（即掷出1，2，3或4）记为“失败”．若出现连续两次“成功”，则停止抛掷，那么抛掷总次数的数学期望为______________． 【答案】12 【解析】 【分析】设从初始状态（无连续成功记录）开始，到出现连续两次成功停止的抛掷总次数的期望以及从已出现1次成功（未触发停止）的状态开始，到出现连续两次成功停止的抛掷总次数的期望，建立二者的二元一次方程组，进而求解即可. 【详解】由题可知，抛掷一枚质地均匀的骰子， 单次成功的概率为，单次失败的概率为. 设为从初始状态（无连续成功记录）开始，到出现连续两次成功停止的抛掷总次数的期望； 设为从已出现1次成功（未触发停止）的状态开始，到出现连续两次成功停止的抛掷总次数的期望. （1）初始状态：若第一次抛掷失败，已抛掷1次，后续仍从初始状态开始对应期望为； 若第一次抛掷成功，已抛掷1次，后续进入已出现1次成功的状态对应期望为 于是，即； （2）已出现一次成功的状态分析： 若本次抛掷失败，已抛掷1次，后续回到初始状态，对应期望为； 若本次抛掷成功，已抛掷1次，触发停止条件，无需后续抛掷，对应期望为1； 因此可得方程：. 由上述可知，解得. 所以抛掷总次数的数学期望为12. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式得到，根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据可求得，进而求出，根据及两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意得，即， 因为，所以， 所以， 所以 . 16. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2），，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】(1) 先确定函数定义域，对函数求导后因式分解，结合参数的取值分类讨论导数符号，即可得到函数单调性. (2) 先化简已知不等式，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造新函数求其最大值即可得到参数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为. . ∵ ，∴ . 当时，, 故, ∴ 在上单调递减. 当时，令，解得. 当时，, 故，单调递减. 当时，, 故，单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ∵ ，, ∴ , 化简得， 即对恒成立. 设， , 则. 令，解得. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. ∴ . ∴ ，即. 故的取值范围为. 17. 某农科所为研究两种管护方案对果实品质的影响，选取两块条件相近的果园开展试验．甲果园采用常规管护方案，乙果园采用新型水肥一体化管护方案．收获时，科研人员从甲、乙两块果园中各随机采摘100颗果实进行品质检测，得到如下列联表： 优质果 非优质果 合计 常规管护方案 60 40 100 新型水肥一体化管护方案 90 10 100 合计 150 50 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断果实品质是否与管护方案有关． （2）以样本估计总体，用频率作为对应事件发生的概率．现从甲、乙两块果园采摘的果实中选取一批样品，其中取自甲、乙果园的果实数量之比为． （i）从这批样品中随机抽取1颗果实，求该果实为优质果的概率； （ii）若从这批样品中随机抽取3颗果实，记这3颗果实中优质果的个数为，求的数学期望． 附：，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）根据小概率值的独立性检验，认为果实品质与管护方案有关系. （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的方法计算即可求解； （2）（i）根据全概率公式即可求解；（ii），根据二项分布的期望公式即可求解. 【小问1详解】 零假设为果实品质与管护方案没有关系， 根据表中数据可得， 所以推断不成立，所以根据小概率值的独立性检验，认为果实品质与管护方案有关系. 【小问2详解】 （i）记“抽取一颗果实来自甲果园”， “抽取一颗果实为优质果”， 由题意可知，，，， 所以 ， 所以从这批样品中随机抽取1颗果实，该果实为优质果的概率为. （ii），所以， 所以的数学期望为. 18. 已知函数，． （1）当时，令函数，求函数的最小值； （2）当时，若方程有两个不同实根，求实数的取值范围； （3）当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）无最小值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到的单调性，进而求解； （2）当时，求得，得到的单调性，求得其最小值为，结合方程有两个不同的实根，即可求得的取值范围； （3）令，把不等式转化为，令，转化为在上恒成立，利用分离参数，得到，再设，利用导数求得的单调性与最大值，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，可得，所以，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数无最小值. 【小问2详解】 解：当时，，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处，函数取得极小值，也是最小值， 当时，；当时，， 要使得方程有两个不同的实根，则满足， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：当时，，可得， 所以函数在上单调递增， 设，可得在上单调递增， 不妨设，则不等式， 即为，即， 即 设，则在上单调递减， 所以在上恒成立， 由 ，可得， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，所以， 所以实数的取值范围为. 19. 设集合，其中，． （1）对集合中任意两个元素，，定义，间的距离． （i）若给定，求中满足的的个数； （ii）从集合中任取两个不同的元素，，记随机变量，求的分布列与期望． （2）若，且满足如下条件： ①；②；③对于任意的，，． 求所有满足条件的的个数（用表示）． 【答案】（1）（i） （ii）分布列为： 1 2 期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据题意，转化为每个位置等价从6个位置里选出2个翻转，结合组合数的计算公式，即可求解； （ii）根据题意，得到的可能取值为，求得，列出分布列，利用期望的公式和组合数的性质，即可求解； （2）根据题意，得到满足条件的排列方式共有种，结合组合数的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 （i）由题意知：且， 即在6个位置中，恰好有2个位置上不相等，其余4个位置相同， 即每个位置等价于把该位置上的数字翻转（0变1，1变0）， 其中从6个位置里选出2个翻转，方案数为， 所以满足条件的共有15个. （ii）由题意知，随机变量为两个不同元素的距离，最小值为，最大值为， 所以随机变量的可能取值为， 易知集合中共有个元素，从集合中任取两个不同的元素，共有种不同的取法， 当时，对于任意固定的，满足的的个数为， 所以满足的有序数对的总数为， 所以， 则随机变量的分布列为： 1 2 所以， 因为，两边对求导，可得， 令，可得， 所以 【小问2详解】 由题意知中0和1的个数都是，且对于任意， 中0和1的个数都不相等， 因为，则，这个数中有个0，个1， 对于任意在的前个数中，0的个数都不少于1的个数， 其中满足条件的排列方式共有种， 因为， 所以满足条件的点的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2027届高三第一次诊断性考试 数学试题 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是 “”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 的展开式中的系数为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加一个样本数据后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 某单位派出包括甲、乙在内的9名员工参加培训，需要把他们随机平均分成3个小组，那么甲、乙两人分到同一个小组的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线恰有6个交点，则（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，记一组数据为，则（ ） A. 若的极差为9，则 B. 若的分位数是6，则 C. 若的方差为6.8，则 D. 若的平均数为3，则 10. 已知正实数，满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为3 11. 在平面直角坐标系中，已知是方程的一个实根，过点作垂直于轴的直线，该直线与函数的图象交于点，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 13. 已知点在直线上，点的坐标为，则的最小值为_________________． 14. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出点数大于4（即掷出5或6）记为“成功”，掷出点数不大于4（即掷出1，2，3或4）记为“失败”．若出现连续两次“成功”，则停止抛掷，那么抛掷总次数的数学期望为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 16. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2），，求的取值范围． 17. 某农科所为研究两种管护方案对果实品质的影响，选取两块条件相近的果园开展试验．甲果园采用常规管护方案，乙果园采用新型水肥一体化管护方案．收获时，科研人员从甲、乙两块果园中各随机采摘100颗果实进行品质检测，得到如下列联表： 优质果 非优质果 合计 常规管护方案 60 40 100 新型水肥一体化管护方案 90 10 100 合计 150 50 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断果实品质是否与管护方案有关． （2）以样本估计总体，用频率作为对应事件发生的概率．现从甲、乙两块果园采摘的果实中选取一批样品，其中取自甲、乙果园的果实数量之比为． （i）从这批样品中随机抽取1颗果实，求该果实为优质果的概率； （ii）若从这批样品中随机抽取3颗果实，记这3颗果实中优质果的个数为，求的数学期望． 附：，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 已知函数，． （1）当时，令函数，求函数的最小值； （2）当时，若方程有两个不同实根，求实数的取值范围； （3）当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 设集合，其中，． （1）对集合中任意两个元素，，定义，间的距离． （i）若给定，求中满足的的个数； （ii）从集合中任取两个不同的元素，，记随机变量，求的分布列与期望． （2）若，且满足如下条件： ①；②；③对于任意的，，． 求所有满足条件的的个数（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $