内蒙古自治区呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学月考参考答案 考查范围：空间向量与立体几何 一、客观题答案速览 题号 答案 题号 答案 1 C 8 A（） 2 D（m=4） 9（多选） A、D 3 C（） 10（多选） B、C、D 4 B（） 11（多选） A、B、D 5 A（1） 12（填空） 10 6 D 13（填空） 7 C（） 14（填空） 二、单选题详解 1．【答案】C 【详解】由，，，知，即，B错误；又，因此，同理，AD错误，C正确.选 C。 2．【答案】D（m=4） 解：因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且，所以存在实数，使得，所以解得，．故选 D。 3．【答案】C（） 设直线与平面所成的角为，则，所以,又 θ∈[0,π/2]，故 θ=，选 C。 4．【答案】B（） 向量，，，向量在向量方向上的投影数量为．选 B。 5．【答案】A（1） 【详解】，所以。选 A。 6．【答案】D 解：对于，由 ，，，所以与不共线，所以A错误对于，的单位向量为或，所以B错误对于，，所以，所以C错误对于，设平面的法向量是，则，即，将，，代入验证满足方程组，所以D正确．故选D． 7．【答案】C（） 解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设，．设平面的法向量为，由，，得，，所以，，所以可取．又，所以点到平面的距离为．因为平面，所以到平面的距离为． 8．【答案】A（） 【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 因为，所以， ，， ，， 所以点P到AB的距离． 故选：A. 三、多选题详解 9．【答案】A、D 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD 10．【答案】B、C、D 若，则直线与平面平行或在平面内，所以中命题是假命题； 若，则也是平面的一个法向量，所以直线平面，所以中命题是真命题； 直线与平面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以中命题是真命题； 两个平面的夹角的余弦值与它们的法向量的夹角的余弦值的绝对值相等，所以中命题是真命题故选BCD． 11．【答案】A、B、D 【解答】解：以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则 ，，，，，对于，，，所以，所以，A正确； 对于，取平面的一个法向量为，因为，所以，因为平面，所以直线平面，所以B正确； 对于，取平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为，所以C错误； 对于，因为所以设平面的一个法向量为，由可得令，则有，即，因为，所以由点到面的距离公式可得．所以D正确．故选ABD． 四、填空题详解 12．【答案】10 【详解】∵，，，且， ∴ ， ∴． 故答案为：10. 13．【答案】  【解析】解：以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，所以，，因为，所以，即，解得，所以，，所以，，，设平面的法向量为，则即取，则，所以点到平面的距离为．故答案为：． 14．【答案】 解：如图，连接，交于点，连接，由四边形是正方形，得．在线段上取点，使得，由，得，且为的中点连接，，则，由平面，平面，得平面，又平面，，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以． 五、解答题详解 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算出，利用向量夹角余弦公式进行计算； （2）根据向量垂直得到方程，计算出实数k的值. 【详解】（1）∵已知，， ∴， 则. （2），， ， ， 解得. 16．【答案】解：由底面是边长为的正方形，底面，且，是棱的中点，由图知，，，，，，； 由知，直线，的方向向量分别为，，因为，，设是平面的一个法向量，则，则，故可取； 设直线与平面所成角为，由，，因，故直线与平面所成角为．  17．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ，所以. （2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以 ，， 则. 18．【答案】解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系如图， 可得，，，，．设，则．证明：依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面． 依设为平面的法向量，， 则，即不妨令，可得由题意，有，解得．经检验，符合题意． 所以，线段的长为． 19．【答案】证明：因为四边形为正方形， 所以． 因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线， 所以平面． 解：由知，． 由题意知，，，则，所以．如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，．所以，，，． 设平面的法向量为，则，即．令，则，，所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则，即． 令，得，，故平面的一个法向量为． 所以，．由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 证明：假设是线段上一点，且，所以．解得，，，所以 由，得，即，解得．因为，所以在线段上存在点，使得，此时． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣好回 呼铁一中2026-2027学年第一学期高二10月月考 递 可 答题卡（数学） 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 [o] [o] [0] [0] [0] [o] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 [21 [2] [2] [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5. 保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] 5 [6] [6] [6] [6] [6] [61 [6] 6 正确填涂 缺考标记 口 [7] [7] [7] [7] [ [ [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8l [ [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12 13. 14. 解答题 囚囚■ ■ 16. 水 M 及 D ▣囚■ a ■ D C 17. A B I C B I 1 18. E 2 I I ■ 囚■囚 ■ 囚■囚 a 6I 口 ■ 呼铁一中2026-2027学年第一学期高二10月月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．以上都不对 2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 3．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ） A． B． C． D． 5．棱长为2的正四面体中，点是的中点，则（ ） A． B． C． D． 6．已知空间中三点，，，则（ ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 7．如图，已知在长方体中，，，则直线到平面的距离是（ ） A． B． C． D． 8．如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．若直线的方向向量为，平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面，的夹角为 11．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ） A． B．直线平面 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，，中两两夹角都是，且，，，则________． 13．在直三棱柱中，，，为的中点，，则点到平面的距离为________． 14．如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知，． （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 16．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求点，，，的坐标； （2）求直线，的方向向量与平面的法向量； （3）求直线与平面所成角的大小． 17．，，，． （1）用向量，，表示向量，并求； （2）求． 18．如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长． 19．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $