精品解析：内蒙古自治区包头市第四中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

包头四中2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 14 C. 12 D. 4. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 5. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 以为方向向量，且过点的直线方程为_______． 13. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 14. 记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 16. 已知直线过点， （1）若直线过，求直线的方程. （2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 17. 已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求线段到平面的距离． 18. 如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥. （1）证明：平面； （2）若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头四中2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 2. 点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 3. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 14 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，存在实数满足，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为，，，且，，共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得 故选：B． 4. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 5. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解. 【详解】如图所示： 若直线与线段相交， 则或 ， 因为，， 所以直线的斜率取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 6. 已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，再利用投影向量公式即可得解. 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 7. 已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案. 【详解】直线，由，解得，则直线过定点， 所以点P到直线l的距离d的最大值为. 故选：A 8. 已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点的坐标，再求得的长即得． 【详解】设点关于直线的对称点为，则有解得， 因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5. 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【详解】直线在y轴上的截距是，故A正确； 直线，即经过第一、二、三象限，故B错误； 若过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为， 若不过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为，故C错误； 过点，且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 以为方向向量，且过点的直线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线的方向向量为， 所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 14. 记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知正方体的棱长为1，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为，构建合适的空间直角坐标系得出相关点的坐标，应用向量法求点到平面的距离，进而确定圆的半径，并求出，利用点与圆的位置关系求的最小值. 【详解】由题意，得正方体的棱长为1，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为，则，令，可得， 故点到平面的距离为， 故圆的半径， 由得，， 故， 故的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 ，， ，， ； 【小问2详解】 因为，所以设， 即，故，解得. 16. 已知直线过点， （1）若直线过，求直线的方程. （2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点斜式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【小问1详解】 直线的斜率， 此时直线方程为，即， 所以直线的方程为 【小问2详解】 设直线的方程为，由题意可得， 令，则；令，则， 即，， 从而， 当且仅当，即时取到最小值， 所以直线方程为，即. 17. 已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求线段到平面的距离． 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面，   由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 18. 如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥. （1）证明：平面； （2）若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 折叠前，四边形是菱形，所以，.. 由于分别是边的中点，所以，故，. 折叠过程中，平面. 所以平面. （2） 当平面平面时，由平面平面，平面，， 所以平面，又平面，故， 建立如下图空间直角坐标系， 则. 所以，设则. ，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，而， 设直线与平面的夹角为， 则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求. 【解析】 【分析】（1）根据题设先得到，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 【答案】（1）2 （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）法一，作交的延长线于点，连接，证明为二面角的平面角，解三角形求得平面与平面所成角的余弦值； 法二，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，然后利用向量法求解； （3）利用向量的向量积的定义可证平面，在平面内过点作，垂足为，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以为直线与所成的角，即， 设，则， 在中， 又，所以，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 法一：在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 法二：以为坐标原点，所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， ， 令，得， ， 设平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，又， 所以，又，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面平面，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $