精品解析：山东滨州市首都师范大学附属滨州中学2026-2027学年高一上学期10月第一次月考数学试题

2026年10月高一年级第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合A，与集合B取交集即可． 【详解】或， 又，则． 故选：D． 2. 若命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题，，则， 3. 设，，则有（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作差法即可比大小. 【详解】， 故， 故选：C. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值法可判断A、B、C选项的正误，利用不等式的基本性质可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，取，，则，A选项错误； 对于B选项，取，，则成立，但，B选项错误； 对于C选项，取，，，，则，，但，C选项错误； 对于D选项，若，则，那么，由不等式的基本性质可得，D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质判断不等式的正误，考查推理能力，属于基础题. 5. 命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据全称量词命题为真命题求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出合适的选项. 【分析】若命题“，”是真命题，则， 因为，，， 故命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是. 故选：A. 6. 已知为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 7. 关于的不等式的解集为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式得到，关于a的表达式，再结合求出a的值． 【详解】不等式可转化为， 因为，所以，所以可解得， 即不等式的解集为， 从而， 因为，所以，解得． 故选：A． 8. 已知集合，用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据A中元素个数及新定义得或，分类讨论，根据元素个数研究方程的根即可求解a的取值集合． 【详解】由题意得，，所以，从而或． 方程的根由的根共同构成． 当时， 方程可化为， 因为恒成立，所以方程的根为，此时，满足条件． 当时， 方程的根为，方程的根为，方程的判别式， 当时，方程只有一个实根， 则必有，解得， 此时方程的判别式，方程无实根， 此时，满足条件． 当时，方程有3个不等的实根， 上面已经考虑了的情形，以下只需考虑的情形，此时， 所以方程有两个相等的实根且不为1和， 则，解得， 当时，方程即有两个相等的实根1， 此时，不符合题意； 当时，方程即有两个相等的实根， 此时方程有3个不等的实根：， 此时，符合题意， 综上，a的所有可能取值为，即所求集合为． 故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设全集，集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. ⫋ C. D. 的真子集共有7个 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后根据元素与集合的关系、集合与集合的关系和运算逐项判断即可. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 在集合中，因为，所以. 因为，所以，解得. 在集合中，因为，所以. 对于A： 1是集合的元素，所以，所以A正确； 对于B： 因为，所以，B正确； 对于C： 因为，所以C错误； 对于D： 因为，所以. 所以. 所以的真子集有共7个，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若（其中），则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用一元二次不等式的解集为，得，即可求解；对于B，利用一元二次不等式的解集为，得，即可求解；对于C，根据条件，利用一元二次不等式的解法得，即可求解；对于D，根据条件得，即可求解. 【详解】对于选项A，若，即不等式的解集为， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，所以不等式的解集为时，，故A正确， 对于选项B，若，即不等式的解集为， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，所以不等式的解集为时，，故B错误， 对于选项C，若，即不等式的解集中有且仅有一个元素， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，此时不等式为， 其解集为时，所以，故C错误， 对于选项D，若（其中），则方程的两根为，且， 所以，又，得到，所以，故D正确， 故选：AD. 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为8 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误. 【详解】A选项，因为，由基本不等式得， 即，故A错误； B选项，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，B正确； C选项，两边平方得， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 的最小值为2，C正确； D选项，因为，， 所以， 故D错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 设集合，，且，则值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，建立元素关系即可得到结论，注意验证集合中元素的互异性是否成立． 【详解】∵， ∴或， 即或， 即或， 当时，，与元素互异性矛盾，故舍去， 当时，，，且，满足条件． 故， 故答案为：． 13. 已知，，且，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过条件中的等式消元，再使用基本不等式求解. 【详解】由，得，则， 由，，得， ， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值是. 14. 已知关于x的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解，数形结合，可求得的取值范围. 【详解】由，得： ， 当时，解为： 如图：要使解集中有且仅有一个整数， 只需：，故； 当时，解为： 如图：要使解集中有且仅有一个整数， 只需：，故； 当时，解为，不符合题意. 综上： 的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； （2）运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1） （2），最小值为297600 【解析】 【分析】（1）设底面长为x米，宽为米，由容积为立方米，列出水池的总造价关于的函数关系； （2）借助均值不等式即得解. 【小问1详解】 设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为米. 所以 即； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立，y有最小值297600. 16. 已知集合，其中a为实数，集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）先求解集合，若，那么先解绝对值不等式得到集合，再根据交集的定义计算. （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集；首先分和两种情况讨论集合是否为空集，再根据真子集的边界关系列不等式求解的范围. 【小问1详解】 对不等式移项通分：, 该分式不等式等价于，解得，即 当时,集合的不等式为，根据绝对值不等式性质展开得： ,即. 结合，取两个集合的公共部分，得 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，等价于是的真子集. 当时，无实数解，此时，空集是任何非空集合的真子集，满足. 当时，展开得，即. 要让，需： ,解得. 综合两种情况，的取值范围是. 17. 已知命题，命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分情况讨论是否为0．当时，直接判断不等式是否恒成立；当时，利用判别式来确定a的取值范围； （2）先求出命题q为真时a的取值范围，再求出命题p和命题q都为假命题时a的取值范围，进而可得答案． 【小问1详解】 当，即时，不等式化为，符合题意； 当时，要使成立， 则，即，解得， 综合可得， 综上可知，命题为真命题时，实数a的取值范围是． 【小问2详解】 命题，即， 因为时，，所以， 命题p为真时，命题q为真时． 命题p和命题q至少有一个为真命题的否定是命题p和命题q都为假命题． 命题p为假时，命题q为假时， 所以命题和命题q都为假命题时， 那么命题和命题q至少有一个为真命题时． 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. 【小问1详解】 由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. 【小问2详解】 当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 对于元素个数不小于3的有限集合，若中任意两个不同的元素之差的绝对值各不相同，则称为“稀疏集”.例如：集合中，，，差值的绝对值各不相同，则为稀疏集.规定：空集､单元素集和双元素集均为稀疏集. （1）判断集合是否为稀疏集，并说明理由； （2）设. （i）记中所有的稀疏子集的个数为，求； （ii）设是一个非空稀疏集，且（其中表示集合中元素个数）.证明：. 【答案】（1） 不是稀疏集.理由如下： 对于，所以不是稀疏集. （2）（i）； （ii）设，其中. 当或时，满足在恒成立； 当时，设， 由于是稀疏集，所以是各不相同的正整数， 所以 由于是各不相同的正整数，所以， 所以，化简得. 因为，所以， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据稀疏集的定义判断即可； （2）（i）根据子集元素个数和稀疏集的定义逐一列举即可； （ii）当或时，容易证得，当时，，根据裂项相消求出，再结合稀疏集的定义得出，最后结合放缩法即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）， 由规定，､单元素子集､双元素子集均为稀疏集，共有个； 三元素子集中，均为稀疏集，共有6个， 四元素子集中，均不是稀疏集；不是稀疏集. 所以，的稀疏子集总共有个，即. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月高一年级第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，，则有（　　） A. B. C. D. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 7. 关于的不等式的解集为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设全集，集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. ⫋ C. D. 的真子集共有7个 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若（其中），则 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为8 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 设集合，，且，则值是_________． 13. 已知，，且，则的最小值是_________． 14. 已知关于x的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数k的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； （2）运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 16. 已知集合，其中a为实数，集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 已知命题，命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 19. 对于元素个数不小于3的有限集合，若中任意两个不同的元素之差的绝对值各不相同，则称为“稀疏集”.例如：集合中，，，差值的绝对值各不相同，则为稀疏集.规定：空集､单元素集和双元素集均为稀疏集. （1）判断集合是否为稀疏集，并说明理由； （2）设. （i）记中所有的稀疏子集的个数为，求； （ii）设是一个非空稀疏集，且（其中表示集合中元素个数）.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $