山东济宁市第一中学2026-2027学年第一学期高一学科竞赛数学试卷

2026一2027学年度第一学期高一学科竞赛 数学试卷 考试时间：120分钟 2026.10 注意事项： 1.答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.命题“3x∈(0，+0)，x+1≤2x”的否定为() A.3xE(0,+oo),x2+1>2x B.3x∈(0，+o),x2+1>2x C.廿xE(0,+o),x2+1>2x D.廿x∈(0，+o),x2+1>2x 2.设集合A={x1≤x≤3}，B={x‖x-3k1},则AUB=() A.{x|2<x≤3}B.{x1≤x<4} C.{x|2≤x≤3}D.{x1<x<4 3.已知集合M={(x,y)川x2+y2≤2，x∈Z,y∈Z,则集合M的真子集的个数为( A.29-1 B.28-1 C.25 D.24+1 4.已知0<x<2,则y=2W4-x2取最大值时x的值为( A.1B.√-1C.√2D.2-√2 5.已知a>b>0>c,则下列结论正确的是( A.ae>be B.I a b C.a>b D.b-eb a-c b-c a-c a 6.若“x∈[1,4，使得2x+a+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围是( ) A.{aa<-9}B.{aa<-3} C.faaz-9 D.fala>-3 试卷第1页（共4页） 4】 b4 7.已知关于x的不等式x2+2bx+4<0的解集为m, 其中m<0,则+的最小值为 m Aa b ( A.-2B.1C.2D.8 8.对任意正实数x、y,记m=mm+4女 1 (比如min1,2}=1),则m的最大值为 ( A.6 8.c.50.5 3 2 二、多项选择题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.下列集合表示图中阴影部分的为() A.B(C 4)B.A(CB) C.C(40B)D.CunB 10.下面命题为真命题的是( A.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的既不充分也不必要条件 B.“ac<0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一正根一负根”的充要条件 C.“m=2”是“M={xmx2+(m+2)x+2=0为单元素集”的充分而不必要条件 D.“a>1”是“1<1”的充分不必要条件 a 11.若实数m,n>0,满足2m+n=1,以下选项中正确的有( ) 1 A.n的最大值为二 B.1+的最小值为42 8 m n C. 子十42的最小值为5 2 D.4md+㎡最小值为时 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知集合M=1,m+2,m+4,如果5∈M,那么实数m的取值集合N为 13.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{xk<,则关于x的不等式+ ≥0的解集为 x-2 试卷第2页（共4页） 1 14.设p=m2-m+2,q m2+m+2,则卫与49的大小为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 已知集合A={xx2-2x-3<0},B={x|m<x≤m+2}. (1)若m=2,求AUB: (2)若A∩B=☑，求实数m的取值范围. 16.(本题满分15分) 宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的 月利润p(x)(单位：万元)与投入的月研发经费x(15≤x≤36，单位：万元)有关： P()-。+6-40:对于企业而言，研发利润率y-P但106，是优化企业管理的 重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小 (1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值： (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x的取值范围. 17.(本题满分15分) 设命题p:对x∈{xl≤x≤3}，不等式x2-4x+2+m>0恒成立；命题q:x∈{x-1≤x≤I, 1 使得不等式x-4+m≤0成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p,9至少有一个是真命题，求实数m的取值范围. 试卷第3页（共4页） 18.(本题满分17分) 已知关于x的不等式(a-1)x2-2bx-2<0的解集为{x|-1<x<2}. (1)求实数a,b的值： (2)若m≤0，求关于x的不等式ax2+(m-a)x-1≥0的解集： (3)若对任意实数x∈[1,2]，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围. 19.(本题满分17分) 已知关于x的不等式为：(-引1： x+2 (1)若=2，解上述关于x的不等式， (2)当m∈R时，解上述关于x的不等式， (3)A={-2,-1,0,1,2,3,4},设(2)中不等式的解集是B,若A⌒B中有且只有三个元素，求 实数m的取值范围. 试卷第4页（共4页）2026一2027学年度第一学期高一学科竞赛 数学答案 1.【答案】D 【详解】3x∈(0，+o),x2+1≤2x”的否定为/x∈(0，+∞)，x2+1>2x. 2.B 【详解】集合B={x‖x-3kl}={x2<x<4}, 因为A={x|1≤x≤3}，所以AUB={x1≤x<4}. 3.A 【详解】解：集合 M=(x,y)川x2+y2≤2，x∈Z,y∈Z={(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(0,-1),(0,0),(0,1),1,-10,(L,0)(1,1)}, 所以集合M中的元素个数为9， 故其真子集的个数为2”-1个， 故选：A 4.C 【1因为02.以y-2-2-可s3=4 当且仅当x2=4-x2,0<x<2,即x=√2时等号成立 5.c 【详解】对于A,由题意ac-bc=c(a-b)<0,即ac<bc,故A错误： 对干B,由题盗。名的<0，即片6故错灵， a b ab 对于c,由题意a-b-ah-c以b(a-c。cb-a) >0,即a>b， ,故C正确； a-c b-c (a-c)(b-c)(a-c)(b-c) a-c b-c 对于D,由题意 -c_b_ah-c-ba-c_c-0>0,即-=C>b,故D错误 a-c a a(a-c) a(a-c） a-c a 6.C 【详解】由于“3x∈[1,4]，使得2x+a+1≥0”是真命题， 可得x∈[1,4，使得a≥-2x-1成立， ∴a≥(-2x-l)mm’即a2-2×4-1=-9, 故选：C 7.C 【详解】由恩意可知，方程2+2x+4=0的两个根为m,则m44,解得：a=山，故m+2b m a m m<0, 所以2=m合之2（月=4，当且收当m-合则m=-2时权等与，则b22 m m 所以b+4b4、 2伦车-2，当且仅当号分即6=4时取等号， b4 4a b 4'b4 b 故力+生的最小值为2 4a b 故选：C. 试卷第1页（共6页） 8.【答案】B 【解析】因为x、y为正实数，则x2+4y2≥4xy,当且仅当x2=4y时，等号成立： 1 1 则+44可 由m=minw,x2+4v] 11 可知，m≤y,且m ≤x+4y≤41 则m2≤y 11 4p4:可解得m≤ 1 2 当且仅当x=2y且y= r+4:得到2y2=1 1 1 8,解得y= ,x=1: 1 故当x=1,y=时，m取最大值子： 9.BCD 【详解】由题意可知阴影部分表示在集合A中且不是集合B中的元素， 所以阴影部分表示A∩CB),故B正确： 对于A,因为BU(C,A)中含有集合B中的元素，与题意不符，故A错误； 对于C,因为C,（A∩B)表示在集合A中且不是集合B中的元素，与题意相符，故C正确： 对于D,因为CUBB表示在集合A中且不是集合B中的元素，与题意相符，故D正确. 故选：BCD. 10.BCD 【详解】A若a≠0，b=0,则ab=0;若ab≠0，则a,b都不为0，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充 分条件：故A为假命题； B若二次方程a2+bx+c=0有一正根一负根，则两根之积为负，即S<0,从而ac<0,故“ac<0”是“二 次方程x2+bx+c=0有一正根一负根”的必要条件， 若ac<0,则△=b-4ac>0,C<0,即方程有两根且两根之积为负，所以二次方程m2+bx+c=0有一正 根一负根，故“ac<0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一正根一负根”的充分条件，综上“ac<0”是“二 次方程ax2+bx+c=0有一正根一负根”的充要条件，故B为真命题： C因为M={xmx2+(m+2)x+2=0}为单元素集，若m=0,则M={-1}符合题意：若m≠0，则 △=(m+2)}'-8m=0,则m=2,则M={-1}符合题意：综上：M={xm2+(m+2)x+2=0}为单元素集， 则m=0或2，因此“m=2”是“M={xmx2+(m+2)x+2=0为单元素集”的充分而不必要条件，故C 是真命题； D因为a>1,所以1=1-0<0，但是若<1，则a>1或a0,则“a>1”是<1”的充分不必要 a a 条件，故D是真命题， 故选：BCD 11.AD 【详解】解：对于A,由m,n>0,得2m+n≥2N2mm,又2m+n=1, 1 所以1≥2√2mn,解得mn≤ 当且仅当2m=n, 即m=1 4,n=)时等号成立， 2 所以mm最大值为。，选项A正确； 8 n.2m=3+22, m n m n Nm n 试卷第2页（共6页） 2-2 当且仅当”=2m 即 m= 2时等号成立， m n n=v2-1 所以+的最小值为3+22，选项B错误： m n 对于C,由2m+n=1,得2(m+1)+(n+2)=5, 当且仅当2+2)-18Cm+,即m=0 m+1 n=1时等号成立，又m,n>0, m+n+2>5,选项C错误， 所以 29 对于D,由m,n>0,2m+n=1,得(2m+n)}=4m2+n2+4mm=4m2+n2+24m2.V7≤2(4m2+n2）, 〔1 m=- 则4mr+㎡≥7当且仅当4m2=,即 4 时等号成立， 1 n=- 2 所以4m2+r的最小值为)，选项D正确。 12.【答案】{1,3} 【解析】因为集合M=1,m+2,m2+4},如果5∈M, 所以+2=5或m2+4=5,解得=3或m=±1， 当m=3时，M=1,5,13}: 当m=1时，M={1,3,5}: 当m=-1时，l+2=1,不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合N=1,3}, a<0 13.【详解】由x的不等式x-b>0的解集为{<1}可得色-1 a 故+b x-2 0可变形为+ x- ≤0， 不等式+}0等价于+x-2)s0 ,解得-1≤x<2, x-2 x-2≠0 14.p≥4q m-+1,0, 【详解】因为p=m2-m+2=m-。 4 1 9= >0 m2+m+2 127 m+。 + 24 则2=(m2-m+2(m2+m+2 =(m2+22-m2 =m4+3m2+4≥4， 故p≥4g,当且仅当m=0时取等号. 试卷第3页（共6页） 15. 【详解】(1)当m=2时，B={x2<x≤4}， 又A={x|x2-2x-3<0}={x|(x+1)x-3)<0}={x|-1<x<3}, 所以AB={x|-1<x≤4}. (2)由(1)知，A={x|-1<x<3} 因为m<m+2恒成立，所以B≠☑， 所以m≥3或m+2≤-1，即m≥3或m≤-3. 所以实数m的取值范围为{mm≤-3或m≥3}. 16.(1)y的最大值为200%，相应月研发经费x=20万元： (2)16≤≤25 0+640 【详解】(1)y=p凶-⊥ x1 1 +06s-22-20m6, 10x =,即=20时，等号成立 当且仅当x=40, 10 所以y的最大值为200%，此时月研发经费x=20万元 (2)由题意得- 0r+640 ≥190%，15≤x≤36， 10 整理可得x2-41x+400≤0，解得16≤x≤25， 故月研发经费x的取值范围为16≤x≤25. 17.【详解】(1)若p为真命题，则-m<x2-4x+2对1≤x≤3恒成立， 又x2-4x+2=(x-2}2-2, 故当x=2时，(x-4x+2)m=-2, .-m<-2,即m>2. (2)若p为假命题，由(1)知m≤2， 若9为假金福则-9：xe1sx≤小，m>0为真合腰， x对-1≤x≤1恒成立， 即m74 .∴.m> ,P,9都为假命题时， <m≤2. 4 P,9至少有一个是真命题时，m≤或m>2. 41 18.已知关于x的不等式(a-1)x2-2bx-2<0的解集为{x|-1<x<2} (1)求实数a,b的值： (2)若m≤0，求关于x的不等式amx2+(m-a)x-1≥0的解集； (3)若对任意实数x∈[1,2]，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围. 【详解】(1)由题意，-1和2是方程(a-1)x2-2bx-2=0的两根，且a-1>0, 1+2= 2b a=2 所以 a-1 x22’解 1 b=2 a-1 (2)因为a=2,所以不等式ax2+(m-a)x-1≥0可化为2mx2+(m-2)x-1≥0， 即(mx-1)(2x+1)≥0 当m=0时，不等式可化为2x+1≤0→x≤-) 试卷第4页（共6页） 当m<0时，不等式可化为(+日》0 若-}<1，即m<-2时，不等式的解为sx≤ 2 m 若-1、1 =二，即m=-2时，不等式的解为x= 2 m 2 若-)>」，即-2<m<0时，不等式的解为上≤x≤- 2>m m 综上，当m=0时，所求不等式的解集为 -0,-2 1 当-2<m<0时，所求不等式的解集为 m’2 1 当m=-2时，所求不等式的解集为 2: 当m<-2时，所求不等式的解集为 11 2'm (3)因为a=2,所以不等式amx2+(m-a)x-1≥mx可化为2mx2≥2x+1, 因为e时，不得式22x+1碳立2m2是--恒或立 因为xe2所以B,+1[2](但e景4所以刊-e[ 由2m+刊-恒成立，可得2m≥3宁m 2 即所求加的取谊范国为[}松】 19.(1)(-0,-2)U(8,+0) @当m=1时、解华为(2：当m>1时，解集为(2（子+ 当0<<1时，解集为 子-习：当m=0时，前华为，当0，解华为20) -1 @[4引 【详解)(1)当m=2时，2x-3)>1,化简为-8>0， x+2 x+2 即x-8(r+2>0 解得x<-2或x>8, x+2≠0 故=2时，关于x的不等式解集为(-∞，-2)U(8,+0). (2)当meR时，由mx-3》1,可得m-1-(3+2)、0, x+2 x+2 即m-1x-(3m+2]在+2)>0 x+2≠0 当1=1时，5 >0,解得x<-2, x+2 当m时，子-小器0 对于 [m--Bm+2刃6+2小>0，可解得<-2或x>+2 x+2≠0 m-1 试卷第5页（共6页） 当0<m<1时，对于m-1r-(6+2]+2)>0 ，可解3m+2 x<-2, x+2≠0 m-1 当m=0时，不等式解集为空集： 当m<0时，不等式解集-2<x<3m+2 -1 综上所述：当1=1时，解集为(-m,-2):当m>1时，解集为(0，-2U3m+2, （l-1,+∞ 当0<m<1时，解集为 ,2:当1=0时，解集为0：当m<0时，解集为-2,3 -1 (3)由A={-2,-1,0,1,2,3,4},且A⌒B中有且只有三个元素，所以0≤m≤1时不可能， 当m>1时，B=(-0,-2)U m青+，因为+2-3+5 3+2, >3不符合题意，故舍去； m-1 -1 当m<0时，B= 23+2 m-1 <0 因为AOB中有且只有三个元素，所以 ,s2:解得-4≤≤-二 1<3+2s 故实数的取值范围为 -4,2 试卷第6页（共6页） 试卷第7页（共1页） 试卷第8页（共1页）