精品解析：贵州省遵义市第四中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

遵义四中2029届高一上学期第一次阶段性测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合M与N的交集，再根据交集的元素个数计算子集总数. 【详解】因为，共含有2个元素，因此其子集个数为. 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】利用全称命题的否定可得出结论. 命题为全称命题，则命题的否定为，. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，可得，故解集为． 4. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】方法一：由，得， 所以，即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 方法二： ，得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 5. 若，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，得；由，得， 所以“”是“”的充要条件. 6. 若是方程的两个根，且，则m的值为（ ） A. 或2 B. 1或 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得，结合已知列方程求参数值即可. 【详解】由题设，而， 所以，可得或， 由，故. 故选：D 7. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用作差法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 8. 已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对参数分类讨论求解不等式，再根据解的情况分析可得实数的取值范围. 【详解】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有4个正整数解，故正整数解为1，2，3，4，所以， 所以实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 命题“，则”为真命题 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 空集是任何集合的真子集 D. 命题“若，则且”为真命题 【答案】AD 【解析】 【分析】对A选项直接验证可得；对B根据充分必要条件的定义判断可得；对C直接根据空集的性质判断可得，对D选项根据平方数具有非负性判断可得. 【详解】选项A ：当时，代入等式计算得：，命题成立，该命题为真命题，A正确； 选项B ：解方程，得或， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 选项C ：空集是任何非空集合的真子集，不是它自身的真子集，C错误； 选项D ：对任意实数，平方数具有非负性：，， 若，则且，该命题为真命题，D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 若正数满足，且，则均为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合基本不等式的使用条件一正、二定、三相等逐一分析选项，对A由一正排除；对B先求定义域，再用基本不等式可得最大值；对C通过凑配，再用基本不等式可得最小值；对D先令，再由基本不等式得，再结合条件可得，并结合不等式成立的条件可得的值. 【详解】选项A： 基本不等式求最值要求变量为正：当时，为负数，不可能取得最小值，该式没有最小值，A错误； 选项B：先求定义域：，即，所以， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号， 因此，最大值为，故B正确； 选项C：当时，，由基本不等式， ，当且仅当​，即时取等号， 因此的最小值为，故C正确； 选项D：令，由且，由基本不等式， 由条件得​，因此有​，整理得，即， 结合，所以，因此，得， 因此，此时不等式取等号，满足，即， 结合，可解得​，因此均为定值，故D正确. 11. 已知不等式，下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合或，则___________． 【答案】或 【解析】 【详解】或，则或. 13. 已知，不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式不等式移项通分，转化为且分母不为零，再由比较两根大小写出解集． 【详解】由，则， 即 因为，所以， 解不等式得 所以不等式的解集为. 14. 已知且，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合二次函数的图象性质确定，且为方程的正根，进而求出最小值. 【详解】当时，二次函数的图象开口向下， 存在正数且，使得当时，， 而当时，，此时，不符合题意，因此， 由，得方程有两个实数根，而， 则，当时，；当时，， 由任意的，不等式恒成立， 得当时，；当时，，因此， 所以，于是，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合 ，，，求： （1）; （2）; （3） 【答案】（1）； （2）； （3）或； 【解析】 【小问1详解】 由，，可得. 【小问2详解】 因为，，所以. 【小问3详解】 因为，或， 或. 16. 已知． （1）若p为真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用方程有解求出的范围. （2）求出真时的范围，再按一真一假求得答案. 【小问1详解】 由命题p为真命题，得方程有实根，则，解得或， 所以a的取值范围是或. 【小问2详解】 由（1）知，命题为真命题等价于或， ，而当时，，则， 所以命题为真命题等价于， 由一真一假，得真假或假真， 当真假时，；当假真时，， 所以a的取值范围是或. 17. 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】（1）元 （2）当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【解析】 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意求出此定价下的销售量，即可求得现在的销售的总收入，再根据与原收入的关系，解关于的一元二次不等式； （2）根据改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，列出关于，的不等式，问题转化为关于，的不等式有解，再结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 【小问2详解】 依题意知，当时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 18. 已知函数． （1）已知对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为，当时，解集为或，当时，解集为，当时，解集为；当时，解集为； （3）． 【解析】 【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为函数恒小于0问题，分类讨论二次项系数是否为0，结合判别式求解参数范围；（2）先对二次式因式分解，再根据二次项系数符号、两根大小关系分类讨论，求解一元二次不等式的解集；（3）利用偶函数对称性，将含绝对值的方程转化为关于的二次方程，把四个实根问题转化为二次方程有两个正根问题，结合基本不等式与存在性条件求解参数范围. 【小问1详解】 将代入不等式，整理得，该不等式对任意恒成立，分类讨论： 当时，不等式化为，对任意恒成立，符合条件； 当时，函数是二次函数，要使恒成立，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由得， 当时，不等式化为，解得，解集为， 当时，不等式化为，此时，不等式的解集为或， 当时，方程的两根为，， 若，则，不等式的解集为， 若，则不等式化为，无解，不等式的解集为； 若，则，不等式的解集为； 【小问3详解】 令，原方程化为 整理为， 原方程有四个不同实根，等价于关于的方程有两个不同的正实根（每个正根对应两个互为相反数的）. 由基本不等式，时，因此，即方程的常数项恒为负数. 设方程两个不同的正实根为，需同时满足： ，因为分子，因此必须. ，结合，得，即. ，化简得，结合，两边除以（不等号变向）：， 题目要求“存在”满足条件，即存在使得上述不等式成立，只需右边大于的最小值即可，，结合，得 ， 解二次不等式，得或， 结合前提，所以，故实数的取值范围为． 19. 已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中. （1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值； （2）若集合具有性质“跨度36”，求证： （ⅰ）； （ⅱ）. （3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1）最小值为12； （2）（ⅰ） 根据性质“跨度36”的定义可得. 因为，均为正整数，不等式两边同除，得，得证. （ⅱ） 根据性质“跨度36”的定义可得，， 因为，均为正整数，所以不等式两边同除，得， 所以，，，，， 累加得，得证. （3） 由（2）可知，所以，解得， 同（2）证明得，所以， 又由定义知，所以，所以在上成立， 当时，取，则，解得，矛盾； 当时，对任意，的最大值为，满足恒成立 所以集合中元素个数的最大值为11. 【解析】 【分析】（1）根据题设新定义列不等式组求得，即可得； （2）（i）根据定义得，再作变形即可证；（ii）根据已知有，再作累加即可证； （3）由（2）可得、，进而得在上恒成立，讨论、研究恒成立，即可得. 【小问1详解】 根据性质“跨度4”的定义可得且，解得， 所以集合中元素的最小值为12. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义四中2029届高一上学期第一次阶段性测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若是方程的两个根，且，则m的值为（ ） A. 或2 B. 1或 C. D. 1 7. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 命题“，则”为真命题 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 空集是任何集合的真子集 D. 命题“若，则且”为真命题 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 若正数满足，且，则均为定值 11. 已知不等式，下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合或，则___________． 13. 已知，不等式的解集为___________． 14. 已知且，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合 ，，，求： （1）; （2）; （3） 16. 已知． （1）若p为真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围． 17. 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 18. 已知函数． （1）已知对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19. 已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中. （1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值； （2）若集合具有性质“跨度36”，求证： （ⅰ）； （ⅱ）. （3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $