湖南师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月校内检测数学试题

2026年下学期高二10月校内检测•数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C D B D C C 题号 9 10 11 答案 AC ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1） （2）或 【详解】（1）设圆心，半径为， 则由题意可得解得 3分 所以圆的标准方程为：． 5分 （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，不合题意； 8分 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 则直线的方程为：，即． 由相切条件可得， 10分 化简得：．解得或． 则直线的方程为或． 综上，直线的方程为：或． 13分 16．【答案】（1） （2） 【详解】（1）由正弦定理：，可得， 又，所以， 即， 3分 所以， 所以， 得， 因为为三角形内角，所以， 5分 所以，得． 又，所以． 6分 （2）因为，所以为中点，即， 所以，所以， 即，① 10分 在中，由余弦定理得：； 又，，所以，② 12分 由①②得：． 所以． 15分 17．【答案】（1）见详解 （2） 【详解】（1）如图，连接交于点，则为的中点，连接， 1分 因为，分别为，中点，所以， 3分 又因为平面，平面， 所以平面． 5分 （2）在平行四边形中，因为，，， 所以在中，，，， 由余弦定理，得， 所以，所以， 7分 因为平面，，平面，所以，． 所以，，两两垂直， 8分 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 设，，则， 9分 设平面的法向量为，则 因为，， 所以 令，则，，所以， 11分 设平面与平面的夹角为， 因为是平面的一个法向量， 所以． 由题意得，解得，所以， 13分 因为，所以与平面所成角的正弦值为 ． 15分 18．【详解】 （1）由题意知，， 因为离心率，所以， 1分 由，得，所以， 2分 所以椭圆的标准方程为． 3分 （2）（i）由题，直线过点，设直线的方程为， 联立椭圆方程，消去得： ． 设，，由韦达定理得：，， 5分 ， 整理得：， 所以， 因为，所以，解得， 7分 所以直线的方程为或，即或． 9分 （ii）因为为中点，故，又因为点关于原点对称的点为，所以， 因此， 13分 令，则： ， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 15分 所以原点到动直线的距离的取值范围为． 17分 19．【详解】 将6种排列代入定义，化简可得成为排列的等价条件（需在区间上恒成立）： ：恒成立； ：需； ：需； ：需且； ：需且； ：需． （1）结论：不是排列，是排列．理由： 若是排列，由引理可知，需在上恒成立， 即．该不等式仅在时成立，不能对任意恒成立（如时不成立），故不是排列； 2分 若是排列，由引理可知，需在上恒成立， 即．因为当时，指数函数恒成立，故是排列． 4分 （2）（i）当时，我们分析引理中涉及的三个基本不等式在该区间上恒成立的条件： ①．要使该式对任意恒成立，需； ②．因为，该式不可能恒成立； ③．要使该式对任意恒成立，需． 因为条件②绝不成立，所以凡是依赖条件②的排列，，在此区间上均被淘汰． 我们只需考查剩下的排列在不同范围下的情况： 6分 当时：条件①不成立，条件③成立．此时成立；因依赖条件③而成立； 因条件①不成立而淘汰．故． 7分 当时：条件①不成立，条件③不成立．此时除了永远成立的之外，其余均不成立， 故． 8分 当时：条件①成立，条件③不成立．此时成立；淘汰；因依赖条件①而 成立．故 9分 综上所述：当时，；当或时，． 10分 （ii）在区间（）上，我们分析三个核心不等式恒成立的条件： 条件（）：，若要在上恒成立，充要条件是． 条件（）：，若要在上恒成立，充要条件是． 条件（）：，若要在上恒成立，充要条件是． 12分 6种排列成为排列的条件如下： ：恒成立 ：需条件成立 ：需条件成立 ：需条件且成立 ：需条件且成立 ：需条件成立 我们要求，即上述6个排列中，必须恰好有4个成立． 14分 时，取，易验证条件、成立而不成立，即恰有4个成立，满足条件； 15分 时，条件不成立，则上述6个排列中的4，5，6均不成立，不满足条件． 16分 综上，所求的取值范围为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期高二10月校内检测 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线：，则直线的倾斜角是 A． B． C． D． 2．圆：与圆：的位置关系为 A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 3．如图，正方体中，直线和所成角的大小为 A． B． C． D． 4．已知在四面体中，是的中点，则 A． B． C． D． 5．已知双曲线：的两个焦点分别为，，若上一点与的距离为2，则 A． B． C． D． 6．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为 A． B． C． D． 7．现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜场且乙队胜场的概率为 A． B． C． D． 8．设，，是定义域为的三个函数，对于命题：①若，，均是以为周期的函数，则，，均是以为周期的函数；②若，，均是增函数，则，，均是增函数，下列判断正确的是 A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是 A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．直线过定点 D．若，则 10．已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是 A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 11．在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，，为，在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是 A．椭圆的长轴长为 B．该椭圆的离心率为 C．恰好为椭圆的一个焦点 D．设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．抛物线的焦点到其准线的距离为            ． 13．已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为                        ． 14．已知向量，，且向量满足，则的最小值为                        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知圆的圆心在直线上，且经过点和． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相切，求直线的方程． 16．（15分） 设的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，且，求的面积． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，为侧棱上动点（不含点，）．，，，． （1）若为中点，证明平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 19．（17分） 已知对于定义在集合上的三个函数，，，设为集合的一个无重复数字的排列（即将，，排成一列，如，等，共有6种情况）．若对任意，都同时满足且，则称排列是关于这三个函数的一个“排列”．记使得该条件成立的排列的个数为． （1）若，，，，判断与是否为排列，并说明理由； （2）设，，，其中且． （i）若，讨论的值； （ii）求正实数的取值范围，满足当区间时，存在，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $