精品解析：湖南郴州市嘉禾县第六中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由已知直线的斜率， 设直线倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. 9 B. 3 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将条件式子两边平方，利用数量积的运算化简已知条件，从而求得. 【详解】，，即得， 又，同理可得，两式相减得， 即. 故选：D. 3. 已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的2倍，则其底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的高，底面积， 侧面积，得，则圆锥的体积，解得. 4. 如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理求解可得答案. 【详解】、分别为、的中点，若，，， . 5. 在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（ ） A. 75 B. 80 C. 85 D. 90 【答案】C 【解析】 【详解】由图知40至80所占百分数为．80至90分占20%． 因此，80%分位数应为85． 6. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由逆时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴逆时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是. 7. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用坐标法求线面距，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过计算，从而得出平面，将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用点面距的公式计算得出答案 【详解】在直三棱柱中，平面， 又， 以为原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则 ，即，令，， 所以平面的法向量为， ，， 又平面，平面 设直线到平面的距离为，则 . 8. 已知角的终边过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求出，利用弦化切可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为角的终边过点，则， 所以 ，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线经过，，另有两点，，则（ ） A. 倾斜角为0时， B. 斜率不存在时， C. 存在满足 D. 时， 【答案】BD 【解析】 【详解】选项 A：直线经过，，倾斜角为时，得直线的斜率，，，得，A 错误； 选项 B：直线经过，，斜率不存在时，则两点的横坐标相等，即， B 正确； 选项 C：由，得，若，则 ，所以，得 ，方程无解，故不存在这样的，C 错误； 选项 D：时，得，所以，得，此时，符合题意，D 正确. 10. 在中，内角所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 的中线有最小值 C. 若的平分线长为，则 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦定理判断A选项；由向量的加法和向量模的运算计算三角形中线长，判断B选项；由和三角形面积公式判断C选项；根据锐角三角形得到角的范围，再结合正弦定理得到边的范围判断D选项. 【详解】A选项，由正弦定理得，则， 因为，所以，为直角三角形，A正确； B选项，因为是的中线，所以， ， 函数在上单调递增，故在没有最小值，B错误； C选项，由得， 即，解得，C正确； D选项，因为，所以， 当为锐角三角形时，由得，所以， 由正弦定理得，，D错误. 11. 正方体的外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. 若点在正方体外接球的表面上，则的最大值为 D. 若点在正方体的表面上，，则点轨迹的长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】A根据外接球半径计算；B利用基底计算；C设球心为，计算的最值；D利用球的性质，找出截面圆心再计算. 【详解】设外接球半径为，则，则，则，得， 故A错误； 设，则，故B正确； 设球心为，则， 因为， ，等号成立时同向， 故的最大值为，故C正确； 若点在四边形内， 因为平面，平面，所以， 则， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其长度为， 同理可得，当点在四边形、内时，其轨迹长度均为； 因为，所以其在四边形内的轨迹为点， 同理可得，点在四边形、内的轨迹分别为， 故点轨迹的长度为，故D错误. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知四点共面，对空间任意一点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据共面定理得到，再化为，即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以，使得， 即， 又， 故，所以. 13. 已知点，，直线经过点，若，位于直线的两侧，则直线斜率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】当直线斜率存在时，写出直线的点斜式方程，利用两点在直线两侧时代入直线一般式左端的乘积小于0列不等式求解斜率范围；再单独检验斜率不存在的情况，求解得到斜率范围. 【详解】当直线斜率存在时，设直线的斜率为，由直线过点，可得直线的点斜式方程为，即， 根据二元一次不等式表示平面区域的性质，若两点在直线两侧，则两点代入直线一般式左端的取值符号相反，即乘积小于0， 因此有，化简得，即，解得， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时、均在直线左侧，属于同侧，不符合题意，舍去， 故直线斜率的取值范围为. 14. 正边长为2，是中点，将沿翻折至，当二面角的大小为120°时，四棱锥外接球O的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，可得点的投影一定在直线上，设 交于点，可证为二面角的平面角，四棱锥外接球球心一定在过点且垂直于平面的直线上，过作于，设，借助于，建立关于的方程，求出的值，即得外接球半径，代入表面积公式计算即得. 【详解】 如图，取的中点，连接， 连接交于点， 则，，， 又，则，且， 故四点共圆，且为该圆的圆心， 因此四棱锥外接球球心一定在过点且垂直于平面的直线上， 设球心为点，则有，易得点的投影一定在直线上，不妨设为点，则， 过作于，设，则， 因，则为二面角的平面角，即， 在中，，， 因，， 则，， 在中，，即， 解得，则， 故四棱锥外接球的表面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 是正方形， . （1）求证:平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角的大小. 【答案】（1）证明：底面，平面，. 底面是正方形，. 又，平面， 平面. 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直底面得，正方形对角线，证出平面，再由面面垂直判定定理证明. （2）利用第一问的面面垂直，作垂线找到线面角，解三角形算出角度. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设，设交于点. 由 （1），平面平面，交线为. 过作于，则平面，就是与平面所成角. ，，. . ，因为线面角范围，直线与平面所成角为. 16. 已知坐标平面内四点，，，． （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两点坐标计算斜率，根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角； （2）根据平行四边形对边平行且相等，转化为直线斜率相等，根据两点坐标公式计算两点距离，由此计算点的坐标； （3）分析所求的式子为与连线的斜率，根据直线与线段有交点的条件下计算斜率的范围． 【小问1详解】 因为，； 因为直线的斜率为． 设直线的倾斜角为， 则；所以直线的倾斜角为； 【小问2详解】 如图，当点D在第一象限时，，． 设，则，解得，故点的坐标为； 【小问3详解】 由题意得为直线的斜率． 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 17. ，， （1）若直线的倾斜角的取值范围是，求实数的取值范围． （2）若是直角三角形，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两点的坐标计算斜率，根据倾斜角的取值范围，确定斜率的取值范围，根据斜率的取值范围计算参数； （2）讨论直角，根据直线垂直，斜率相乘得计算参数的值． 【小问1详解】 由直线的倾斜角的取值范围是，得到 当直线的斜率存在，即当时，或． ，或，解得或； 当直线的斜率不存在时，，符合题意． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 由，，； 可知，；； 若为直角，则，，解得； 若为直角，则，，此时无解； 若为直角，则，，解得； 综上，实数或． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （2）求出向量，再由向量法求解. 【小问1详解】 因为平面，且， 所以，如图以点为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得， 因为为棱的中点，所以， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 因为， 所以点到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 因为，，则，即， 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 即，， 又因为，可得， 所以无论取何值，. （2） （3）存在，点为上靠近的四等分点 【解析】 【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解； （3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 可得， 令，则， 所以当，即时，取得最小值，此时. 【小问3详解】 假设存在，易知平面的一个法向量为 因为，， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得， 所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. 9 B. 3 C. 6 D. 3. 已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的2倍，则其底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（     ） A. B. C. D. 5. 在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（ ） A. 75 B. 80 C. 85 D. 90 6. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为 （ ） A. B. C. D. 8. 已知角的终边过点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线经过，，另有两点，，则（ ） A. 倾斜角为0时， B. 斜率不存在时， C. 存在满足 D. 时， 10. 在中，内角所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 的中线有最小值 C. 若的平分线长为，则 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 11. 正方体的外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. 若点在正方体外接球的表面上，则的最大值为 D. 若点在正方体的表面上，，则点轨迹的长度为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知四点共面，对空间任意一点，若，则______. 13. 已知点，，直线经过点，若，位于直线的两侧，则直线斜率的取值范围为________． 14. 正边长为2，是中点，将沿翻折至，当二面角的大小为120°时，四棱锥外接球O的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 是正方形， . （1）求证:平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角的大小. 16. 已知坐标平面内四点，，，． （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围． 17. ，， （1）若直线的倾斜角的取值范围是，求实数的取值范围． （2）若是直角三角形，求实数的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $