精品解析：山东青岛市城阳第十七中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学阶段性检测 （90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，满分24分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 3. 顺次连接四边形四条边的中点，所得到的四边形是矩形，则原四边形的形状是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 4. 根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 5. 如图，平面直角坐标系中，点，点，四边形是矩形，与交于M，以点O为圆心，的长为半径作圆弧交x轴于点N，则点N的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为　　 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，满分24分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 10. 已知关于的一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为________． 11. 元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡156张，设小组人数为人，可列方程______． 12. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 13. 已知菱形的周长为，两个相邻角度数比为，则菱形的面积为_____； 14. 如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为______． 15. 如图，一正八边形内镶于正方形，，则该正八边形的边长为______． 16. 如图，在一单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为______． 三、作图题 17. 尺规作图：已知：线段a； 求作：矩形，使，对角线夹角为． 四、解答题 18. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）关于的一元二次方程有两个实数根，求的最大整数值． 19. 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 20. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 21. 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 23. 如图，是等边三角形，，点P从点B出发向点A运动，运动到点A停止，速度是；同时，点R从点C出发向点B运动，运动到点B停止，速度是．过点P作，连接．设点P、Q运动的时间为．（） （1）是否存在某一时刻t，使得四边形是平行四边形，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （2）设四边形的面积为，求S关于t的函数关系式； （3）若四边形的面积∶的面积，求此时t的值． （4）是否存在某一时刻t，使得是直角三角形，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性检测 （90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，满分24分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴或． 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 【答案】A 【解析】 【详解】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分， 则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直， 故选A． 3. 顺次连接四边形四条边的中点，所得到的四边形是矩形，则原四边形的形状是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理，矩形的性质，推出原四边形的对角线互相垂直即可． 【详解】解：如图，分别为四边形的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴原四边形的对角线互相垂直；故C选项符合题意. 其它选项条件不足无法确定四边形的具体形状. 故选：C． 4. 根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 5. 如图，平面直角坐标系中，点，点，四边形是矩形，与交于M，以点O为圆心，的长为半径作圆弧交x轴于点N，则点N的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，中点坐标公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到点M是的中点，然后求出点M的坐标为，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵点，点，四边形是矩形，与交于M， ∴点M是的中点， ∴点M的坐标为，即 ∴， ∴点N的横坐标为． 故选：C． 6. 在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可判断． 【详解】解：在四边形中， ， 四边形是矩形， 邻边相等的矩形是正方形， 可判断是正方形． 7. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该商场10月份的销售量及11，12月份销售量的平均增长率，可得出该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件，结合该店2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵该商场10月某商品的销量为3万件，且11，12月份销售量的平均增长率为x， ∴该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件， 又∵该商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件， ∴可列方程为， 故选：C． 8. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解． 解：如图， 过P作PE⊥CD，PF⊥BC， ∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形， ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1， ∴∠PCE=30°， ∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=FC=， S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD =××1+××1-×1×1=； 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，满分24分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 10. 已知关于的一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数关系可得两根之和，即可得解． 【详解】解：由根与系数关系可得， ∵其中一个根为， ∴另一个根为． 11. 元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡156张，设小组人数为人，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小组人数为人，根据每个人都要给其他人赠送一张贺卡建立方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【详解】解：， 解得x1=3，x2=6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15． 故答案是：15． 13. 已知菱形的周长为，两个相邻角度数比为，则菱形的面积为_____； 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长，然后根据邻角互补求出菱形的一个内角为，从而得到较短的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，再求出两对角线的长度，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 菱形的周长为， ，，，， 两个相邻内角的度数的比为， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及菱形的四条边都相等的性质，根据度数求出以较短的对角线为边的三角形是等边三角形是解题的关键． 14. 如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠的问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形和线段中点的定义可得，由折叠的性质和正方形的性质可得，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，由勾股定理得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 15. 如图，一正八边形内镶于正方形，，则该正八边形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明和都是等腰直角三角形，得出，，设，则，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】解：正八边形一个内角的度数为： ， ∴， ∵正方形中， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即正八边形的边长为． 16. 如图，在一单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可。 【详解】解： ∵，，，…， ∴的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点钟相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在x轴正半轴上， ∴的横坐标为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标系中点的坐标变化规律，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律是解题的关键． 三、作图题 17. 尺规作图：已知：线段a； 求作：矩形，使，对角线夹角为． 【答案】解：如图，矩形即为所求作， 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点O，以A、O为圆心，长为半径作弧相交于点D，则为等边三角形，延长到B，使，顺次连接A、B、C、D，则四边形为矩形，且． 【详解】略 四、解答题 18. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）关于的一元二次方程有两个实数根，求的最大整数值． 【答案】（1）， （2）， （3）的最大整数值为 【解析】 【分析】（1）先将原式展开并整理成一元二次方程标准形式，再利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可； （3）根据题意可得且二次项系数不为，即可得解． 【小问1详解】 解： ， ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 解得且， ∴的最大整数值为． 19. 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系．设，则；，则，求解之后根据题中条件取舍，最后可得出的值． 【详解】解：设， 则，， 则， 解得：或（舍去）, ∵, ∴不合题意，舍去， ∴ ∴当长度是时，矩形花园的面积为． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再由，可得，即可求证； （2）先证明四边形为平行四边形，由三线合一得，进而可证四边形为矩形． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 21. 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 【答案】任务：，，；任务：，；任务： 【解析】 【分析】任务：根据时，或或，即可解决问题； 任务：将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题； 任务：利用上述过程发现的结论即可解决问题； 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握整体思想的运用是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意可知，原方程可化为：， ∴或或， ， 故答案为：，，； 任务：由题意可知，原方程可化为：， 展开整理得：， 与原方程比较可得，，； 任务：利用上题结论可知：，， ． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 【答案】任务1：平均增长率为；任务2：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 任务1：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据每个月可以获得利润12250元列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设平均增长率为a，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：平均增长率为； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据题意得， 解得， ∴当时，每个月可以获得利润12250元， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元． 23. 如图，是等边三角形，，点P从点B出发向点A运动，运动到点A停止，速度是；同时，点R从点C出发向点B运动，运动到点B停止，速度是．过点P作，连接．设点P、Q运动的时间为．（） （1）是否存在某一时刻t，使得四边形是平行四边形，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （2）设四边形的面积为，求S关于t的函数关系式； （3）若四边形的面积∶的面积，求此时t的值． （4）是否存在某一时刻t，使得是直角三角形，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵点P从点B出发向点A运动，运动到点A停止，速度是，运动时间为， ∴， ∵点R从点C出发向点B运动，运动到点B停止，速度是，运动时间为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得； （2） （3） （4）解：∵是直角三角形， ∴或， 当时，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， 即， 解得； 当时，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， 即， 解得； 综上所述：或． 【解析】 【分析】（1）根据速度、时间、路程的关系得到、，再利用平行四边形的性质和等边三角形的性质和判定得到，根据列方程，求出t的值； （2）过点作，过点作，根据所对直角边是斜边的一半和勾股定理得到、，再利用三角形面积求出、，从而得到四边形的面积，即S关于t的函数关系式； （3）根据四边形的面积∶的面积列方程，求出t的值； （4）根据是直角三角形进行分类讨论，利用所对直角边是斜边的一半得到，根据列方程求出t的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， 同理：， 在中，根据勾股定理得， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：∵四边形的面积∶的面积， ∴， 即， 整理得， 解得：，， ∵， ∴； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $