精品解析：山东枣庄市滕州市荆河街道滕南中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

滕南中学2026-2027学年九年级上学期第一次质量检测 数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 由的取值确定 5. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为4，6，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A. 3 B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 12. 若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围为______． 13. 已知，是方程的两个根，则代数式的值是______． 14. 如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是______． 15. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若OF的长为，则△CEF的周长为______． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）（配方法）． 17. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 19. 如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）． （1）用含t的式子表示：______，______； （2）运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______； （3）当四边形是矩形时，求出t的值． 20. 交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔的销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 21. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米． （1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长； （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 23. 如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滕南中学2026-2027学年九年级上学期第一次质量检测 数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、是一元二次方程，故选项符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、整理后为，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 4. 关于的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 由的取值确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算出方程的判别式为△=a2+8，可知其大于0，可判断出方程根的情况． 【详解】方程的判别式为，所以该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键． 5. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出、年投入研发资金，结合到年累计三年共投入研发资金万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 6. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为4，6，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中利用勾股定理求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC•AE，可得出AE的长度． 【详解】解：如图，设AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CO＝AC＝2，BO＝BD＝3，AC⊥BD， 在Rt△BOC中， ∴BC＝＝＝， ∵S菱形ABCD＝AC•BD＝×4×6＝12， 又∵S菱形ABCD＝BC•AE， ∴AE＝12， ∴AE＝， 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的面积的两种表示方法及菱形的对角线互相垂直且平分． 7. 如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案. 【详解】连接ED交AC于一点F，连接BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BF=DF， ∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小， ∵正方形的边长为4， ∴AD=AB=4，∠DAB=90°， ∵点在上且， ∴AE=3， ∴DE=， ∴的周长=5+1=6， 故选：B. 【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算，依据对称性得到连接DE交AC于点F是的周长有最小值的思路是解题的关键. 8. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 9. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边中线性质，解题的关键是利用菱形的性质得出相关角度关系．先根据菱形的性质求出和的度数，再由和得出，计算出的度数，根据直角三角形斜边上的中线性质，得到，最后得到． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 又菱形的对角线平分一组对角， ， ，， ，即， ， 四边形是菱形， 为中点， 在中，为中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得， ， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， 四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即结论①正确； ， ， ，即结论③正确； ， ， ， ，即，结论②正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又， 的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 根据题意得到，且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 13. 已知，是方程的两个根，则代数式的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，先利用一元二次方程解的定义得到，则通过降次得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是方程的根， ∴， ∴， ∴， ，是方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用面积法求解，先求出△BEC面积，再连接BP，分别用PR和PQ表示出△BPE和△BPC面积，两三角形的面积和就是△BEC面积，通过等式直接求出PR+PQ值． 【详解】过E点作EH⊥BC于H点，根据正方形的性质可知△BEH是等腰直角三角形， BE=BC=2，∴EH=2， ∴△BEC的面积为×BC×EH=， 连接BP，则△BPE面积+△BPC面积=2， 即×BE×PR+×BC×PQ=2， ∴×（PR+PQ）=2， 解得PR+PQ=2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，体现了转化思想（一个三角形面积转化为两个三角形面积的和）、整体思想（求PR+PQ整体值）的运用． 15. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若OF的长为，则△CEF的周长为______． 【答案】18 【解析】 【详解】是的中位线， ， ， ， 由勾股定理得：， 是的中线， ， ∴△CEF的周长为6.5+6.5+5=18． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）（配方法）． 【答案】（1），  （2） （3）， （4），  【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）先移项，然后利用因式分解法求解即可； （3）先移项，然后利用因式分解法求解即可； （4）将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴， ； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ∴，即， ∴或， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 17. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC． ∵点C是BE的中点， ∴BC=CE， ∴AD=CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， ∵AB=AE， ∴DC=AE， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【小问1详解】 解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 19. 如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）． （1）用含t的式子表示：______，______； （2）运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______； （3）当四边形是矩形时，求出t的值． 【答案】（1）cm，cm （2）24 （3）2 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求出，进而可得答案； （2）根据梯形面积公式解答即可； （3）根据矩形的性质可得，即，解方程即得答案． 【小问1详解】 ∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，cm， ∴cm， ∴cm，cm， 故答案为：cm，cm； 【小问2详解】 由题意知，， 故答案为：24； 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、准确表示相关线段是解题的关键． 20. 交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔的销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔的销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到7500元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔的销售量的月增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔的销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 21. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 22. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米． （1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长； （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 【答案】（1）（51-3x）： （2）10米； （3）不可能，理由如下： 依题意，得：（51-3x）x=240， 整理得：x2-17x+80=0， ∵△=（-17）2-4×1×80=-31＜0， ∴方程没有实数根， ∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米． 【解析】 【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长； （2）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形鸡舍ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米． 【详解】解：（1）设篱笆BC长为x米， ∵篱笆的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴AB=49+2-3x=51-3x（米）， 故答案为：（51-3x）； （2）依题意，得：（51-3x）x=210， 整理，得：x2-17x+70=0， 解得：x1=7，x2=10． 当x=7时，AB=51-3x=30＞25，不合题意，舍去， 当x=10时，AB=51-3x=21，符合题意， 答：篱笆BC的长为10米； （3）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△＜0时，方程无实数根”． 23. 如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：与垂直且相等，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴与垂直且相等； （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形性质及判定，勾股定理等． （1）利用正方形性质证明，继而利用全等三角形性质即可得到答案； （2）利用正方形性质计算出，再利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵点是的中点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $