精品解析：山东青岛市第二十六中学2026-2027学年第一学期第一次学情自测八年级数学试题

数学 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 在，，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，据此判断即可． 【详解】解：， 在，，，，，中，无理数有，，一共2个． 2. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴． 3. 估计的值在（　　） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握估算方法是解题关键． 先得到，再由不等式的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4. 下列各组线段的长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算每组线段的平方，验证是否成立，成立则可以构成直角三角形． 【详解】解：A、 ，，，此选项不符合题意； B、 ，，，此选项符合题意； C、，，，此选项不符合题意； D、，，，此选项不符合题意． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则及化简的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 6. 若点在轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴上点的横坐标为0，求出m的值，再代入点的坐标，判断其所在象限 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点在第一象限． 7. 如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理． 根据勾股定理求出的长，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为． ∴点D表示的数为． 故选：D． 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ， ； 故选：C． 9. 《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，设箭在投壶外面部分长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论：当箭竖直放置时直接求解；当箭斜着放置时结合勾股定理求解即可． 【详解】解：当箭竖直放置时，如图所示： 箭在投壶外面部分长度； 当箭斜着放置时，如图所示： 在中，，，则由勾股定理可得， 箭在投壶外面部分长度； 综上所述，的取值范围是． 10. 如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，由作图可知，垂直平分，易得；设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，可有， ∴，解得， ∴． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. 若，则________；若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用性质，由得到，解得． （2）由，根据平方根定义求出，再分别对和求立方根，得到． 【详解】解：第一空： ， ， ． 第二空： ， ， ， 当时：． 当时：． ． 12. 如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是和，则在此图上熊猫馆位置的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下： 故在此图上熊猫馆位置的坐标是． 13. 一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方根的性质和立方根的定义求出、的值，再代入求的值，最后求其平方根即可． 【详解】解：由题可知：，， 解得，， ， 的平方根是． 14. 在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了已知点的象限求点的坐标，求点到坐标轴的距离．根据第四象限点的坐标特征和点到x轴的距离定义，列出方程，进行求解，即可作答． 【详解】解：∵点在第四象限内，且到轴距离为2， ∴， 解得， 当时，，符合题意，故的值为2 故答案为：2 15. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 16. 如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，运用代数推导思想，解题关键是建立面积与边长平方的联系，易错点是面积公式或代数推导的逻辑失误；解题思路是通过勾股定理将正方形面积转化为直角三角形边长的平方，进而推导阴影部分面积． 【详解】解：设的三边为，，， 由题意得，，；由勾股定理， 已知，即，整理得， 解得， 阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度， 所以阴影面积为． 故答案为：． 三、解答题（20分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式除法运算法则、完全平方差公式及二次根式性质化简，再由二次根式加减运算计算即可． 【详解】解： ． 19. 计算：﹣12+﹣（3.14﹣π）0﹣|1﹣|． 【答案】3. 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式=﹣1++4﹣1﹣（﹣1） =﹣1++4﹣1﹣+1 =3． 【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握幂的运算法则. 20. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【详解】解：， ， ， ∴或． 21. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）处与地面的距离是米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【小问1详解】 解：在中， 米，米，米， （米）， （米）， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：由题意得米， 米，（米）， （米）， （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 （即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求： （2）如图，点Q即为所求： （3）的面积为5 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）找到点C关于y轴的对称点，连接交y轴于Q点，根据两点之间线段最短可判断Q点满足条件． （3）直接利用梯形的面积减去周围两个三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积． 23. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动、且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发1秒后，求的周长； （2）当t为几秒时，平分； （3）问t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】（1） （2） （3）当为或或或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）分别求出，的长，即可求解； （2）过作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （3）分四种情形：如图3，当时，为等腰三角形，如图4，当时，为等腰三角形，如图5，若点在上，，如图6，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图1， ，，， ， 动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发1秒后，则， ， 由勾股定理得：， 的周长为：； 【小问2详解】 解：如图2，过作， 点恰好在的角平分线上，且，，， ，， ， ，． 设，则，， 中，， 即， 解得， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图3，若在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： 如图4，若使，此时，运动的路程为， 所以用的时间为，为等腰三角形； 如图5，若，作于点， ， ， ， 在中，， ， 运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； 如图6，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为， 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 在，，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 3. 估计的值在（　　） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 4. 下列各组线段的长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点在轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A. B. C. D. 9. 《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，设箭在投壶外面部分长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 3 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. 若，则________；若，则________． 12. 如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是和，则在此图上熊猫馆位置的坐标是_____________． 13. 一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 14. 在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 16. 如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为_____． 三、解答题（20分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算：﹣12+﹣（3.14﹣π）0﹣|1﹣|． 20. 解方程：． 21. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 （即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点； （3）求的面积． 23. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动、且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发1秒后，求的周长； （2）当t为几秒时，平分； （3）问t为何值时，为等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $