辽宁省沈阳市回民中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】ABD 10．【答案】CD 11．【答案】ABD 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】5 15．[解析] ． （1）， ，，． 故所求实数的值为2． （2）， ，或． 或． 因此实数的取值范围是或． 16【答案】（1），；解集为．（2） 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，的值，进而求解不等式． （2）根据基本不等式求出的最值，结合不等式恒成立即可求出范围． 【详解】（1）由题意知，1和2是的两个根，且， 所以，，解得，． 将，代入可得，，即， 解得或． 所以解集为 （2）由（1）知，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为8． 又恒成立，故恒成立，即，解得． 的取值范围为． 17．[解析] （1）设米，则， ，， ，则，当且仅当时取等号． （2），， 或． 答：（1）当的长度是20米时，最小，且的最小值为1200平方米； （2）要使不小于1600平方米，则的取值范围是或． 18．【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）． 【分析】（1）先把原不等式整理成一个标准的二次不等式，然后分情况讨论系数为0和不为0的情况，确保这个不等式对所有实数都成立，从而确定的取值范围． （2）先把不等式左边因式分解，再根据系数的不同取值，比较两个根的大小，从而确定不等式的解集． （3）先通过换元把含绝对值的方程转化为普通二次方程，再根据原方程要有四个不同实根的要求，转化为这个二次方程必须有两个不相等的正根，进而求出的取值范围． 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 得， 综上可得，的取值范围是 （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为； 当时，，或， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）由题可知关于的方程有四个不同实根，令，则关于的方程有两个不同正根， 则，可得； 故实数的取值范围是． 19【答案】（1） （2）157 （3）24 【分析】（1）利用两个等式特征，可将，可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）设，，可将，看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由以及，求得，利用韦达定理求得，，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值． 【详解】（1）已知和满足和，且． 将方程变形为：，． 因此，和是二次方程的两个根． ， 由韦达定理得： ， ． （2）已知实数，满足：，． 设，，则： ， ． 解方程组：， 和是方程的根，解方程得： 或， ， 若，，则，是方程的二实根，此方程有实根， 因此； 若，，则，是方程的二实根，而此方程无实根， 所以的值为157． （3）由韦达定理得：， ， ． 此式需为整数，因为整数，为整数，故需为整数． ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 故， 解得：或， 又，所以，又需为整数， 所以27的正因数：1，3，9，27，故． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值（ ） A． B． C．， D．，， 4．对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．存在，使得 D．存在，使得 5．命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 6．下列命题中，真命题的是（ ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，，都有 D．函数的最小值为2 7．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．关于的不等式的解集为，且，则实数（ ） A． B． C．或 D．或 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9．下列说法中正确的是（ ） A．是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件 B．若，，，则是的充分不必要条件 C．若，，，则关于的不等式恒成立的充要条件是 D．命题“，”的否定是“，” 10．下列各小题中正确的有（ ） A．方程的解集为 B．已知集合，，且，则的值为或 C．若，且点在一次函数的图像上，则的最小值为 D．若正实数，满足，则 11．若，，且，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值是 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知： ：（为实数）．若的充分不必要条件是，则实数的取值范围是_______． 13．规定记号“”表示一种运算，定义（，为正实数）．若，则的取值范围为_____． 14．已知不等式的解集，若对，不等式成立，则实数的最大值为_____________． 四、大题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（本小题共13分） 已知集合 （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16．（本小题共15分） 已知关于的不等式的解集为 （1）求，的值，并求解不等式的解集； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 17．（本小题共15分） 如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园，要求在射线上，在射线上，且过点，其中米，米．记三角形花园的面积为． （1）当的长度是多少时，最小？并求的最小值． （2）要使不小于1600平方米，则的长应在什么范围内？ 18．（本小题共17分） 已知函数，． （1）对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19．（本小题共17分） 法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程． 例如：，，那么和是方程的两根． 请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求使的值为整数的所有的值． 学科网（北京）股份有限公司 $