辽宁沈阳市东北育才学校2026-2027学年高一上学期第一次阶段检测数学试卷

2026-2027学年上学期东北育才学校高一年级第一次月考 数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，则命题为（   ） A． B． C． D． 3．已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 5．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 6．若不等式的解集为，则成立的充要条件是（     ） A． B． C． D． 7．已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 8．已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设全集为，为的子集，下列结论中正确的是（     ） A．若集合，，则 B．空集是A的真子集 C．若集合，，则 D． 10．下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 11．已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最小值为25 D．的最小值为128 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设，且，则　________　. 13．已知集合，，则________． 14．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）解关于x的不等式：. 17．（15分）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 18．（17分）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 19．（17分）定义集合，，，的长度均为，其中． (1)求不等式解集的长度； (2)求集合的长度的最小值； (3)若关于x的不等式Ω：的解集为，求不等式Ω解集的长度l的取值范围． 答案第8页（共8页） 高一年级数学科试卷 第4页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D B D B C AD AB 题号 11 答案 ABD 12． 13． 14． 15（1）当时，可得，， 所以，.（6分） （2）分两种情况： ①当时，可得，解得，满足；（9分） ②当时，可得，解得，（12分） 综上所述，.（13分） 16．①当时，不等式为，解得；（2分） 当时，不等式可以化为， 令，则，（4分） ②当时，代入可得，此时不等式无解；（6分） ③当时，此时，不等式的解为；（8分） ④当时，此时，不等式的解为；（10分） ⑤当时开口向上，此时，不等式的解为，（12分） 综上所述，当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式无解， 当时不等式的解集为.（15分） 17．（1）根据是的必要而不充分条件，所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集，所以可得到或，即或；（5分） （2）充分性：∵，∴，代入方程，可得，即．故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根（9分） 必要性：是方程的一个根，将代入方程得．（13） 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件 是．（15分） 18．（1）由题意，所以.（5） （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 展开得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有.（11） （3）由（2）可知，， 易知，因为， 所以有，解得.（17） 19．（1）由，得，因为，所以，即，则不等式解集的长度为4．（5分） （2）集合P的长度， 因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为．（10分） （3）由，得， 由题知关于x的方程的两根为和，则，，则，由，得，即，因为，所以， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 所以不等式Ω解集的长度l的取值范围为．（17分） 答案第8页（共8页） 高一年级数学科答案 第3页共3页 学科网（北京）股份有限公司 $