精品解析：河南省鹤壁市浚县五校联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学素养检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. x2﹣y＝2 B. 2x2﹣x＝x C. ax2﹣3x+3＝0 D. 3x2﹣2x＝3x2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】A．是二元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程，故本选项符合题意； C．当a≠0时是一元二次方程，当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】考查了一元二次方程的概念，解题关键是再依据“一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数”进行判断． 2. 若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的定义，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、当x＝1时，不是二次根式，不符合题意； B、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意； C、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意； D、x为任意实数，是二次根式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行判断． 3. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程方程有两个不等实数根，则；方程有两个相等实数根，则；方程没有实数根，则． 根据一元二次方程的定义和根的判别式列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 且， ∴且． 故选：B． 4. 已知a﹣b＝2﹣1，ab＝，则（a＋1）（b﹣1）的值为（　　） A. ﹣ B. 3 C. 3﹣2 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】把（a＋1）（b−1）写成含ab和a−b的式子，再整体代入计算． 【详解】∵a﹣b＝2﹣1，ab＝， ∴（a＋1）（b﹣1）＝ab﹣a＋b﹣1 ＝ab﹣（a﹣b）﹣1 ＝﹣（2﹣1）﹣1 ＝﹣． 故选：A． 【点睛】本题考查代数式的求值，注意把ab和a−b看作一个整体，整体代入求值．要求熟练掌握整体代入的数学思想． 5. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去． 【详解】解：把x=0代入方程得： |a|-1=0， ∴a=±1， ∵a-1≠0， ∴a=-1． 故选：A． 6. 若y2+4y+4+＝0，则xy的值为（　　） A. ﹣6 B. ﹣2 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据，即（y+2）2+＝0，根据任何数的偶次方以及二次根式都是非负数，两个非负数的和是0，则每个非负数都等于0，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴（y+2）2+＝0 ∴y+2＝0且x+y﹣1＝0 解得：y＝﹣2，x＝3 ∴xy＝﹣6． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，两个非负数的和是0，则两个非负数都等于0． 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 8. 若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，化简的结果是（　　） A. a﹣1 B. 1﹣a C. （a﹣1）2 D. （1﹣a）2 【答案】A 【解析】 【分析】由正比例函数的图象位置判断a的取值范围，再根据二次根式的性质化简． 【详解】若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限， 则a﹣2＞0； ＝|a﹣1|＝a﹣1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等，正确运用正比例函数的图象与性质． 9. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 10. 请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（　　） A. 351 B. 350 C. 325 D. 300 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解． 【详解】①＝1； ②＝3＝1+2； ③＝6＝1+2+3； ④＝10＝1+2+3+4； ∴ ＝1+2+3+…+25 ＝325． 故选：C． 【点睛】本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若要说明“＝3m”是错误的，则m的值可以为_____（写出一个m的值）． 【答案】﹣2．（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据“=3m”是错误的，可得：3m＜0，所以m＜0，据此写出m的一个值即可． 【详解】解：∵“＝3m”是错误的， ∴3m＜0， ∴m＜0， ∴m的值可以为﹣2． 故答案为：﹣2．（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：3m＜0． 12. 若a（a≠0）是关于x的方程：x2+bx+a＝0的一个根，则a+b的值为_____． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】将x=a代入方程，然后将方程的左边因式分解即可得到答案． 【详解】∵a（a≠0）是关于x的方程x2+bx+a＝0的根， ∴a2+ab+a＝0， ∴a（a+b+1）＝0， ∴a＝0或a+b+1＝0， ∵a≠0， ∴a+b+1＝0， ∴a+b＝﹣1． 故答案是：﹣1． 【点睛】考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入后将方程的左边因式分解． 13. 若代数式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】﹣3≤x＜且x≠﹣2． 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0． 【详解】若代数式有意义， 必有， 解得﹣3≤x＜且x≠﹣2． 【点睛】本题考查了二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式，（a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0． 14. 小东拿着一根长竹竿进一个宽为4米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高0.5米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，则竿长_____． 【答案】16m 【解析】 【分析】根据题意可构造出直角三角形，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】设秆长x米，则城门高（x﹣0.5）米，根据题意得x2=（x﹣0.5）2+42， 解得x=16.25， 答：秆长16.25米． 故答案为16.25m 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据实际情况找出直角三角形，利用勾股定理列出方程是解决问题的关键． 15. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，则可列方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道进出口的宽度为，利用平移性质的应用得到种植花草的实际图形的面积就是长、宽分别为、新矩形的面积，由种植花草的面积为，即可列出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论．根据题意得到种植花草的实际图形是一个新矩形是解题的关键． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， ， 整理，得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） ；（2）x1＝，x2＝ 【解析】 【分析】（1）先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）2x2+3x﹣1＝0， Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程﹣公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17. 先化简再求值，其中x＝，y＝． 【答案】；﹣． 【解析】 【分析】首先把括号里因式进行通分，然后进行约分化简，最后代值计算． 【详解】解：原式＝； ∵； ∴当时， 原式＝． 【点睛】本题是典型的“化简求值”的题目，着眼于对运算法则的掌握和运算能力的直接考查，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除． 18. 已知a是一元二次方程的两个实数根中较小的根． （1）求的值； （2）化简求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是一元二次方程的实数根，得到，即可得到答案； （2）先求解一元二次方程求出，得到，再行化简原式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵a是一元二次方程的两个实数根中较小的根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵a是一元二次方程的两个实数根中较小的根． ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查解一元二次方程，分式与二次根式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 19. 已知x、y为实数，且y＝，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性求出x、y的值，然后化简x后，代入求值． 【详解】由题意得 2x﹣6≥0，3﹣x≥0， ∴x≥3，x≤3， ∴x＝3， ∴y＝1， 原式＝x ＝x ＝3 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，能根据二次根式被开方数的非负性求出x、y的值是解题的关键． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的腰长为3，另两边b、c恰好是该方程的根，求的周长． 【答案】（1）见解析；（2）7 【解析】 【分析】（1）分k=0和k≠0两种情况，结合根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的性质得到x=3是原方程的根，代入求出k，解原方程即可计算结果． 【详解】解：（1）若k=0， 则， 解得：x=1； 若k≠0， 则=≥0， ∴方程总有实数根； （2）∵等腰的腰长为3，另两边b、c恰好是该方程的根， ∴x=3是方程的根，代入， ， 解得：k=1， ∴原方程为， 解得：，， ∴另外两边分别为3和1， ∴△AOB的周长为3+3+1=7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的解法与判别式的运用． 21. 一块长方形纸片的面积是，长、宽之比为． （1）求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号） （2）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？ 【答案】（1）面积为的长方形的长为，宽为 （2）小丽不能用这块正方形纸片截出符合要求的长方形纸片 【解析】 【分析】（1）设面积为的长方形的长，宽分别为，，根据几何图形的面积的计算公式，求一个数的平方根的运算方法即可求解； （2）设面积为的正方形的边长为，根据几何图形的面积公式，可求出正方形的边长，与长方形的边长进行比较（无理数比较大小）即可求解． 【小问1详解】 解：设面积为的长方形的长，宽分别为，， ∴， ∴，解得，（负值含去）， ∴，， ∴面积为的长方形的长为，宽为． 【小问2详解】 解：设面积为的正方形的边长为，则， ∴，（负值舍去）， ∴面积为的正方形的边长为， ∵， ∴，即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长， ∴小丽不能用这块正方形纸片截出符合要求的长方形纸片． 【点睛】本题主要考查几何图形的面积与二次根式的计算，二次根式比较大小，利用平方根的含义解方程等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 22. 某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，八、九月份该水果十分畅销，销量持续上涨，九月份销量达到400箱． （1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率； （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市十月份可获利4565元？ 【答案】（1）八、九两月的月平均增长率为． （2）当该水果每箱降价3元时，超市十月获利4565元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设八、九两月的月平均增长率为x，利用九月的销售量＝七月的销售量八、九两月的月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润＝每箱的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设八、九两月的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：八、九两月的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：当该水果每箱降价3元时，超市十月获利4565元． 23. 如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． （1）经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （3）在移动过程中，的最大面积是多少？（提示：配方法） 【答案】（1）经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米 （2）不存在，理由见解析 （3）的最大面积是9 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设经过t秒时，的面积等于8平方厘米，根据题意得出，再根据三角形的面积公式即可求出答案； （2）根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，求出方程无解，从而得出不存在的面积等于矩形的面积的四分之一的情况； （3）设经过t秒时，的面积等于S平方厘米，列出二次函数表达式并根据二次函数性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米， ∵厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， 解得：； 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； 【小问2详解】 不存在，理由如下： 设经过t秒时，的面积能等于矩形的面积的四分之一，则由题意得： ， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在的面积等于矩形的面积的四分之一． 【小问3详解】 设经过t秒时，的面积为S平方厘米， ， ， ∴当时，取最大值为9， ∴的最大面积是9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学素养检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. x2﹣y＝2 B. 2x2﹣x＝x C. ax2﹣3x+3＝0 D. 3x2﹣2x＝3x2 2. 若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 4. 已知a﹣b＝2﹣1，ab＝，则（a＋1）（b﹣1）的值为（　　） A. ﹣ B. 3 C. 3﹣2 D. ﹣1 5. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A. B. 0 C. 1 D. 或1 6. 若y2+4y+4+＝0，则xy的值为（　　） A. ﹣6 B. ﹣2 C. 2 D. 6 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，化简的结果是（　　） A. a﹣1 B. 1﹣a C. （a﹣1）2 D. （1﹣a）2 9. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 10. 请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（　　） A. 351 B. 350 C. 325 D. 300 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若要说明“＝3m”是错误的，则m的值可以为_____（写出一个m的值）． 12. 若a（a≠0）是关于x的方程：x2+bx+a＝0的一个根，则a+b的值为_____． 13. 若代数式有意义，则x的取值范围是_____． 14. 小东拿着一根长竹竿进一个宽为4米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高0.5米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，则竿长_____． 15. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，则可列方程为________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 先化简再求值，其中x＝，y＝． 18. 已知a是一元二次方程的两个实数根中较小的根． （1）求的值； （2）化简求值． 19. 已知x、y为实数，且y＝，求的值． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的腰长为3，另两边b、c恰好是该方程的根，求的周长． 21. 一块长方形纸片的面积是，长、宽之比为． （1）求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号） （2）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？ 22. 某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，八、九月份该水果十分畅销，销量持续上涨，九月份销量达到400箱． （1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率； （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市十月份可获利4565元？ 23. 如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． （1）经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （3）在移动过程中，的最大面积是多少？（提示：配方法） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $