精品解析：河南省鹤壁市浚县浚县五校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴ 故选：A 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 刻舟求剑 D. 水涨船高 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．根据事件的分类逐一判断即可. 【详解】A、守株待兔是不确定事件； B、 水中捞月是不可能事件； C、 刻舟求剑不可能事件； D、水涨船高是必然事件； 故选：D 3. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解：A．含2个未知数，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； B．是关于的一元二次方程，故符合题意； C．当时，变为，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； D．整理得，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； 故选B． 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，首先利用勾股定理求出，根据在直角三角形中一个锐角的正弦等于这个角的对边比上斜边，可得． 【详解】解：如下图所示， 中，，，， ， ．   故选：D ． 5. 若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. a≤1 B. a<1 C. a≤1且a≠0 D. a<1且a≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根得到，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：a<1． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 6. 若中，锐角A、B满足，则是（　　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出和的度数，即可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形的分类、等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 7. 已知=（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可． 【详解】解：A、由得：2a=3b，故选项A不正确； B、由得：3a=2b，故选项B正确； C、由得：2a=3b，故选项C不正确； D、由得：ab=6，故选项D不正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查比例性质，可根据比例的基本性质直接求解． 8. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．相似三角形的判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．根据已知条件，运用相似三角形的判定定理逐一分析每个选项是否能判定和相似． 【详解】、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意； 、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 故选：． 9. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 10. 将点向右平移3个单位长度得到点，点与点关于原点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的平移和关于原点对称的性质．点的平移规则：向右平移，横坐标增加；关于原点对称的点，坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】∵点向右平移3个单位长度得到点， ∴的坐标为，即； ∵点与点关于原点对称， ∴的坐标为． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：1． 12. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 13. 现有、两种帽子和、两款围巾，那么小明同学刚好选中他所喜欢的种帽子和款围巾穿戴的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图，可知小明所有可能选中的结果有4种，他所喜欢的结果有1中，进而可得出概率． 【详解】解：树状图如图． 共有4种等可能的情况，小明好选中她所喜欢的种帽子和款围巾穿戴有一种， 则概率为． 故答案为：． 14. 等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可． 【详解】解：设AB＝AC＝1，BC＝， 过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示： 则BD＝BC＝， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝, ∴tanB＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切函数的求值,属于简单题,熟悉正切函数值的表示方式并通过勾股定理得到边长是解题关键. 15. 如图，在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为 ____________________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，，设与交于点，由翻折的性质得，，，，分两种情况讨论如下：①当时，过点作于，则，设，则，，由勾股定理得：，证，得，即，由此解出即可；②当时，则，则，由勾股定理求出，证，得，即，由此求出即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程 ． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，以及解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）用配方法求解即可． 【详解】解：（1） （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 18. 如图，在中，，，，求长． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得BC的长度． 【详解】解：过点A作，垂足为 在中，， ， 在中， 长为 【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，掌握利用三角函数求线段长度的方法是解决本题的关键． 19. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 【答案】4cm 【解析】 【详解】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm，则围成的长方体纸盒的底面长是（30-2x）cm, 宽是（30-2x）cm,根据底面积等于264 cm2列方程求解. 解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 (30-2x)(20-2x)=264． 整理，得 x2 -25x + 84=0． 解方程，得，（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的正方形的边长为4cm． 20. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，BD=23米，FB=2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD． 【答案】大楼的高度CD为14米． 【解析】 【分析】过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形． ∴EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米， ∵AB=2.5米． ∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1（米）， ∵AJ∥CH， ∴△EAJ∽△ECH， ∴， ∴， ∴CH=12.5（米）， ∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14（米）． 答：大楼高度CD为14米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 21. 有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． （1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； （2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】（1）小丽取出的卡片恰好是的概率为 （2）这个游戏不公平，对小明有利，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查概率与游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可． 【小问1详解】 解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． 【小问2详解】 解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： 小丽 小明 数字之积 ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 22. 如图，已知，与相交于点O，，，，． （1）求的长； （2）如果，，那么求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识， （1）根据平行分线段成比例得到，代入已知线段长度求出，求出，，再由平行线分线段成比例得到，代入已知线段即可求出的长； （2）延长相交于点M，证明，，则，求出，由得到代入已知线段长度即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 【小问2详解】 延长相交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴ ∴ 解得， 23. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：． （2）若，，点P从A点出发，以的速度沿向终点B匀速运动，同时点Q从B点出发，以的速度沿向终点C匀速运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． ①当t为何值时，四边形的面积等于？ ②当t的值为______时，以B，P，Q三点为顶点的三角形与相似． 【答案】（1）详见解析 （2）①当或时，四边形的面积等于；②存在，或时，以B，P，Q为顶点的三角形与相似 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识点，掌握数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键． （1）由可得，进而得到；再根据可得，最后根据两组对应角相等的三角形为相似三角形即可解答； （2）①如图，过点Q作于H．由勾股定理可得；再根据可得，，进而得到，的长；用t表示出，，，再证明可求得，最后根据列关于t的方程求解即可； ②分和两种情况分别利用相似三角形的性质列关于t的方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，过点Q作于H． 在中，，， 由勾股定理，得． ∵， ∴，， ∴， 解得，． 由题意可得，，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，可得 ∴ ， 解得，， ∴当或时，四边形的面积等于； ②当时， ∴．即， 解得， 当时， ∴．即， 解得． 综上，或时，以B，P，Q为顶点的三角形与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 刻舟求剑 D. 水涨船高 3. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. a≤1 B. a<1 C. a≤1且a≠0 D. a<1且a≠0 6. 若中，锐角A、B满足，则是（　　） A 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 已知=（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. 平分 D. 9. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 将点向右平移3个单位长度得到点，点与点关于原点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则___________． 12. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 13. 现有、两种帽子和、两款围巾，那么小明同学刚好选中他所喜欢的种帽子和款围巾穿戴的概率是__________． 14. 等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为_____． 15. 如图，在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为 ____________________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程 ． 17 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，，，求长． 19. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 20. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，BD=23米，FB=2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD． 21. 有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． （1）直接写出小丽取出卡片恰好是的概率； （2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 22. 如图，已知，与相交于点O，，，，． （1）求的长； （2）如果，，那么求长． 23. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：． （2）若，，点P从A点出发，以的速度沿向终点B匀速运动，同时点Q从B点出发，以的速度沿向终点C匀速运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． ①当t为何值时，四边形的面积等于？ ②当t的值为______时，以B，P，Q三点为顶点的三角形与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $