精品解析：安徽安庆市外国语学校2026-2027学年度第一学期九年级第一次学情自测数学（沪科版）试题

九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 4. 将抛物线先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下表中二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对应值：                x             3.23             3.24              3.25             3.26                y           ﹣0.06            ﹣0.02              0.03             0.09 判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） A. 3.23＜x＜3.24 B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 不能确定 6. 已知二次函数的图象如图所示，点，，，在轴上，若满足以下条件：①函数图象与轴负半轴相交；②当，随的增大而减小，则坐标系的原点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数，当时，随的增大而__________（填“增大”或“减小”）． 12. 顶点是，开口方向、大小与完全相同的抛物线解析式为________； 13. 已知二次函数，当时，函数的取值范围为____________． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）． （1）当时，抛物线的顶点坐标________； （2）设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，当为等边三角形时，的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，其中第15~18每小题8分；第19~20每小题10分；第21~22每小题12分；地23题14分；满分90分） 15. 抛物线（）如图所示，回答下列问题． （1）方程的解是________； （2）关于的不等式的解集是________； 16. 已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）若点在函数的图象上，求m的值． 17. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 18. 已知抛物线，其对称轴交轴于点，将点向右平移1个单位得到点，点与点的横坐标相同，且点的纵坐标为，则点是抛物线的“派生点”，直线称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为（为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点，抛物线与其派生直线有两个交点，其中一个交点的横坐标为，求抛物线的解析式． 19. 如图，某二次函数的图象交坐标轴于、、三点，点是直线下方抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求点的坐标，使面积最大，最大面积是多少？ 20. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，，点位于点的左侧，与轴交于点．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． （1）求抛物线和直线对应的函数表达式； （2）若平行于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，且，①________； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 3. 若关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴， ∴四个选项中只有B选项中的数不满足， 故选B． 4. 将抛物线先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为． 5. 根据下表中二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对应值：                x             3.23             3.24              3.25             3.26                y           ﹣0.06            ﹣0.02              0.03             0.09 判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） A. 3.23＜x＜3.24 B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根． ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.24＜x＜3.25． 故选B． 6. 已知二次函数的图象如图所示，点，，，在轴上，若满足以下条件：①函数图象与轴负半轴相交；②当，随的增大而减小，则坐标系的原点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 由条件①可确定轴在抛物线与轴的两个交点之间，由条件②可确定轴在顶点左侧，进而求解． 【详解】解：函数图象与轴负半轴相交， 轴在抛物线与轴的两个交点之间， 点，可能是原点， 当时，随的增大而减小， 轴在抛物线顶点左侧， 点可能是原点． 故选：B． 7. 一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 8. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 9. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 10. 在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，据此可判断①和②；再根据二次函数的对称性和增减性判断③和④即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数，当时，随的增大而__________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：对于二次函数，，对称轴为直线， ∴当时，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 12. 顶点是，开口方向、大小与完全相同的抛物线解析式为________； 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点坐标可得解析式为，根据开口方向、大小与完全相同可得a=2，此题得解. 【详解】解：由题意可得：符合条件的抛物线解析式为：， 故答案为. 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质和顶点式是解题关键. 13. 已知二次函数，当时，函数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是结合二次函数的对称轴和开口方向，先求出最小值，再求出端点值，即可得解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为，且， ∴当时，y取得最小值． ∵当时，；当时，， 的最大值为0． 的取值范围为． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）． （1）当时，抛物线的顶点坐标________； （2）设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，当为等边三角形时，的值为________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）当时，把抛物线的解析式化为顶点式即可得出结果； （2）先求出，，从而可得，求出，从而可得，，最后结合等边三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，， ∴当时，抛物线的顶点坐标； （2）在中，当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 解得或， ∴的值为或． 三、解答题（本大题共9小题，其中第15~18每小题8分；第19~20每小题10分；第21~22每小题12分；地23题14分；满分90分） 15. 抛物线（）如图所示，回答下列问题． （1）方程的解是________； （2）关于的不等式的解集是________； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图知抛物线对称轴为，抛物线与y轴交点纵坐标为，即时，，利用对称轴求出另一交点横坐标； （2）不等式对应图象上函数值小于的x范围． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为直线， 当时，图象一点坐标为， 由对称性，两点关于， 对称，，解得． 方程，即，对应或， ∴方程的解为：． 【小问2详解】 解：不等式， 即函数图象在直线下方部分，对应x取值：． 16. 已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）若点在函数的图象上，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点和代入计算即可； （2）将点的横坐标代入已求出的抛物线方程，计算对应的y值即得m． 【小问1详解】 解：将点和代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线方程为， ∵点在函数的图象上， ∴． 17. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 18. 已知抛物线，其对称轴交轴于点，将点向右平移1个单位得到点，点与点的横坐标相同，且点的纵坐标为，则点是抛物线的“派生点”，直线称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为（为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点，抛物线与其派生直线有两个交点，其中一个交点的横坐标为，求抛物线的解析式． 【答案】（1）该函数的派生直线表达式为 （2）抛物线解析式为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式． 【小问1详解】 解：对于，可得对称轴为， ∴对称轴与轴交点坐标为， 将点向右平移个单位得到点，则的坐标为， 根据定义，横坐标为，纵坐标为，即， 设派生直线解析式为， 代入得． ∴该函数的派生直线表达式为． 【小问2详解】 解：由题意，点是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得，解得， ∴， ∴抛物线对称轴为， 根据定义，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 将代入得， ∴， ∴，解得， ∵抛物线与其派生直线有两个交点，其中一个交点的横坐标为，设该点为， ∴将代入得， ∴， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线解析式为． 19. 如图，某二次函数的图象交坐标轴于、、三点，点是直线下方抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求点的坐标，使面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）；最大面积是 【解析】 【分析】（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积最大时点的坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把，，三点坐标代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有：， 解得：， ∴直线解析式为， ， ∴， ∵， ， ∵， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 20. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】（1）与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 （2）的值为或，收入与的新关系式为 （3），理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【解析】 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； 【小问2详解】 解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； 【小问3详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，，点位于点的左侧，与轴交于点．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． （1）求抛物线和直线对应的函数表达式； （2）若平行于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，且，①________； ②求的取值范围． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线的解析式为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由二次函数的平移法则可得将抛物线向右平移1个单位得到表达式为，将抛物线向左平移3个单位得到表达式为，再利用待定系数法计算得出，从而可得抛物线的解析式，求出，，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）①根据抛物线的对称性解答即可；②求出，，由①可得，从而得出，再表示出，再结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：将抛物线向右平移1个单位得到表达式为， 将抛物线向左平移3个单位得到表达式为， ∵将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∵抛物线（为常数）与轴交于点，，点位于点的左侧， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图所示：设直线为， ∵平行于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，且，， ∴，点、关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； ②∵平行于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点， ∴， ∴，， 由①可得， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，的值最小，为， 当时，， 当时，， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $