精品解析：安徽省安庆市部分学校2025-2026学年上学期九年级第三次教学调研数学试题（沪科版）

九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则反比例函数的图象分布在（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 4. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 8 5. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 6. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为点，已知m，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则支柱的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是正方形的边的中点，连接并延长交对角线于点，交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中不正确的是（ ） A. 是等腰直角三角形 B. C. D. 若正方形的边长为6，则 9. 如图，在中，，点，分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 10. 若抛物线的开口向下，则a的取值范围是______． 11. 比较大小：___________（填“”或“=”或“”） 12. 在Rt中，，，，平分交于点，于点，过点作的延长线于点，则线段的长为___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为． （1）的值为___________； （2）若边轴，反比例函数的图象经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上时，的值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 14. 计算：． 15. 已知，求的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 如图是我国“九三”阅兵式上展示的某新型战机机翼的平面设计图，已知，，，，，，求这款战机机翼的面积．（精确到1m2） （参考数据：，，） 17. 如图，在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． （1）将向右平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为； （3）若的面积为，则的面积为___________（用含的式子表示） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 18. 我们规定：在直角三角形中，一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切，记作． （1）如图1，在中，，，求的值； （2）如图2，在中，，，延长到点，使，利用该图能否求得的值？若能，请写出过程；若不能，请说明理由． 19. 如图，在中，为上一点，且，． （1）求证：； （2）如图，过点作，连接，若，且，，求的长． 六、（本题满分12分） 20. 项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意图如图： 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点处，此时测得标杆在地面上的影子长； 步骤2：将标杆沿着的方向移动到点处，此时测得标杆在地面上的影子长， （1）若测得标杆移动的距离，求路灯的高度； （2）把条件“将标杆沿着的方向移动到点处”改为“将标杆沿着的方向移动到点处”，其他条件不变，利用（1）的结果，请直接写出的长（不用说理）． 七、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头，之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点处（点，，在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头处测得无人机的仰角约为，在码头处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头到无人机之间的距离约为1000m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算码头，之间的距离（精确到10m）； （参考数据：，） （2）请用你所学过的解直角三角形知识求码头，之间的距离．（结果保留根号） 八、（本题满分14分） 22. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，． ①求证：； ②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求分式拆分为差的形式，代入已知比值计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：A． 3. 若，则反比例函数的图象分布在（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据，得到，进而得到反比例函数的图象经过的象限，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限； 故选：D． 4. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义列式即可得解． 【详解】解：在中，， 设，则， 又，， ，解得， 则． 故选：D． 5. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数和反比例函数的增减性，根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴随着的增大而增大，不符合题意； B、∵，二次项系数， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，符合题意； C、∵，， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意； D、∵，二次项系数， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 6. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为点，已知m，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则支柱的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点的性质，直角三角形中三角函数的定义，根据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，点为跷跷板中点， ∵，, 即， ． 故选：C． 7. 如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意的值的求法． 根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解，即可作答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为． 故选：B． 8. 如图，点是正方形的边的中点，连接并延长交对角线于点，交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中不正确的是（ ） A. 是等腰直角三角形 B. C. D. 若正方形的边长为6，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形对角线平分一组对角得到，据此可判断A；可证明得到，证明，得到，据此可判断B；可证明，证明，可得，据此可判断D；利用勾股定理求出的长，再由全等三角形的性质求出的长，据此可判断D． 【详解】解：A、∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故原说法正确，不符合题意； B、∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故原说法错误，符合题意； D、若正方形的边长为6，则， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴，故原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，证明和是解题的关键． 9. 如图，在中，，点，分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，证明四边形是矩形，求出，再证明与是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合正切定义求解，即可解题． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 由折叠知， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，矩形性质和判定，正切定义，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 10. 若抛物线的开口向下，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟记二次函数图象开口向下对应二次项系数小于是解决问题的关键．根据二次函数的图象与性质，由题意列不等式直接求解即可得到答案． 【详解】因为抛物线的开口向下， 所以， 即． 故答案为：． 11. 比较大小：___________（填“”或“=”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的大小，利用锐角三角函数的性质，比较和的大小． 【详解】解：因为当时，， 所以． 故答案为：． 12. 在Rt中，，，，平分交于点，于点，过点作的延长线于点，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，角平分线的性质，得到，等积法求出，的长，证明，得到，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分交于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为． （1）的值为___________； （2）若边轴，反比例函数的图象经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上时，的值为___________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）待定系数法求出的值即可； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，根据矩形的性质，结合反比例函数图象上的点的特征，得到，，，得到，折叠得到 ，进而推出，证明，求出，，进而得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）点在直线上， ； 故答案为：3； （2）由（1）得， ∵矩形， ∴，，，， ∵轴， ∴，轴， ∵， ∴点的横坐标为1，点纵坐标为3， 函数的图象经过点，， ，， ， ， 把矩形沿折叠，点的对应点为， ，， ， 如图，延长交轴于点，延长交轴于点， 轴， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，由图知，， ， 解得． 故答案为： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，代入特殊角三角函数值进行计算即可，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 【详解】解：． 15. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，，，再代入中求解，即可解题． 【详解】解：， 可设，，， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 如图是我国“九三”阅兵式上展示的某新型战机机翼的平面设计图，已知，，，，，，求这款战机机翼的面积．（精确到1m2） （参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查解直角三角形的应用，连接，过点作于点，过点作的延长线于点，在中，可得，在中，可得，再根据求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作的延长线于点， 在中，，， ， 在中，，， ， 答：该款战机机翼的面积约为． 17. 如图，在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． （1）将向右平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为； （3）若的面积为，则的面积为___________（用含的式子表示） 【答案】（1）如图，就是所求作的三角形； （2） 如图所示，就是所求作的三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了位似，平移作图，位似图形面积比与相似比的关系，解题的关键是熟练掌握位似图形的画法、位似图形面积间的关系，平移图形的画法． （1）将的每一个顶点都向右平移5个单位，再连接各顶点即可； （2）根据画位似图形的一般步骤画图即可； （3）由相似比和面积比的关系求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：因为与的相似比为， 所以，即， 因为向右平移5个单位长度，得到，且的面积为， 所以， 所以． 故答案为：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 18. 我们规定：在直角三角形中，一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切，记作． （1）如图1，在中，，，求的值； （2）如图2，在中，，，延长到点，使，利用该图能否求得的值？若能，请写出过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，过程如下： 利用该图能求得的值． ， ， ， ， 在中，令， ， ， ， ， 在中，， 即． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）根据题意可设，则，由勾股定理得，再利用新定义求； （2）设，根据30度角的直角三角形的性质求得，根据勾股定理求得，结合题意可得，，根据余切的定义即可求解． 【小问1详解】 在中，，， 可设，则，由勾股定理得， 由新定义知； 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，为上一点，且，． （1）求证：； （2）如图，过点作，连接，若，且，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， ； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据角的关系可得，即可证明； （2）设，由相似的性质得到，进而证明，得到，再代入求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设， 由（1）得， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， ． 六、（本题满分12分） 20. 项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意图如图： 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点处，此时测得标杆在地面上的影子长； 步骤2：将标杆沿着的方向移动到点处，此时测得标杆在地面上的影子长， （1）若测得标杆移动的距离，求路灯的高度； （2）把条件“将标杆沿着的方向移动到点处”改为“将标杆沿着的方向移动到点处”，其他条件不变，利用（1）的结果，请直接写出的长（不用说理）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判定和，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． （2）判定，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． 本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的性质解方程是解题关键． 【小问1详解】 解：由题可知，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 联立两式可知，， 故路灯的高度为． 【小问2详解】 解： 由题可得图，由题可知，，，， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 故的长为． 七、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头，之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点处（点，，在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头处测得无人机的仰角约为，在码头处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头到无人机之间的距离约为1000m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算码头，之间的距离（精确到10m）； （参考数据：，） （2）请用你所学过的解直角三角形知识求码头，之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）1370m （2）m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【小问1详解】 由题意知，， ， 由材料得，，又m， （m）， 答：码头，之间的距离约为1370m； 【小问2详解】 如图，过点作于点，则， 在中，， （m）， ， （m）， 在中，， （m）， m． 答：码头，之间的距离为m． 八、（本题满分14分） 22. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，． ①求证：； ②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2） ①当时，，解得或， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 点的坐标为； ， 顶点的坐标为， 由两点间距离得，， ， ，， ， 是直角三角形， ； ②点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出的坐标，两点间的距离公式结合勾股定理逆定理，即可得出结论；②分点在轴正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点和， ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 ①略 ②当点在轴正半轴上时，设点坐标为， 以点，，为顶点的三角形与相似， 或， 或， 或， 解得或，此时点的坐标为或； 当点在轴负半轴上时，同理可得点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $