2026--2027学年人教版九年级数学上册月考复习卷（第25～26章）

2026年上学期九年级数学月考复习卷 （第25章一元二次方程-第26章二次函数） 时间：90分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2 C． D．x2＝0 2．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝9，配方后可变形为（　　） A．（x﹣1）2＝10 B．（x+1）2＝10 C．（x﹣1）2＝﹣8 D．（x+1）2＝﹣8 3．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 4．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 5．抛物线y＝2（x﹣9）2+3的顶点坐标是（　　） A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3） 6．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 7．已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 8．为了让游客在洱海生态廊道有更好的体验感，某公司于2024年在生态廊道投放首批共享单车1200辆，2026年投放量达到1452辆，且每年的年平均增长率相同．设该公司投放共享单车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．1200（1+x）2＝1452 B．1200（1+2x）＝1452 C．1200（1+2x）2＝1452 D．1200（1+x）（1+2x）＝1452 9．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 10．定义：若二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数，且其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．下列结论：①OC2＝OA•OB，②ac＝1，③若AB＝4OA，则，④若该函数图象的对称轴为直线x＝1，则bc＝2．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ （第9题图） （第10题图） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程3x2＝x的根是 ____________________ ． 12．关于x的一元二次方程x2+mx﹣10＝0的一个根是﹣5，它的另一个根是 _____ ． 13．抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴只有一个交点，则c＝_____ ． 14．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 ___________ ． 15．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝10a﹣b2，则t的最大值是 _____ ． 三．解答题（共9小题，共75分） 16．（9分）用恰当的方法解下列方程： ①5x2﹣125＝0； ②x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0； ③2x2﹣5x+3＝0； 17．（8分）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点坐标为（1，4），且经过点C（3，0）． （1）求该二次函数的解析式； （2）当x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）当y≤﹣x+3时，直接写出x的取值范围． 19．（8分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x＝1． （1）求顶点C的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求△ABC的面积． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 21．（8分）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 22．（8分）某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． （1）求该公司研发投入资金的年平均增长率． （2）若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 23．（9分）阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求请多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求x2+2x+5的取值范围． 解：令x2+2x+5＝y，∴x2+2x+（5﹣y）＝0，∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0，∴y≥4，∴x2+2x+5≥4． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1，x2（x1＞x2）， 则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2． 则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）利用材料1，若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，求a的值； （2）利用材料2，若关于x的代数式（其中m、n为常数，且mn≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m，n的值． 24．（9分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）． （1）求n的值和抛物线的解析式； （2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值； （3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标． 2026年上学期九年级数学月考复习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．解：A、当a＝0时，即该方程的二次项系数是0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项错误； B、由x2﹣2＝（x+3）2，得6x+11＝0，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、是分式方程，不是整式方程； D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确； 故选：D． 2．解：x2﹣2x＝9， ∴x2﹣2x+1＝9+1， ∴（x﹣1）2＝10， 故选：A． 3．解：根据题意得Δ＝22﹣4m＝0， 解得m＝1， 即m的值为1， 故选：A． 4．解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 5．解：∵抛物线y＝2（x﹣9）2+3， ∴该抛物线的顶点坐标为（9，3）， 故选：C． 6．解：由题知， 将函数y＝（x﹣1）2+4的图象向左平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝（x+2﹣1）2+4＝（x+1）2+4， 再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2+4﹣1＝（x+1）2+3． 故选：B． 7．解：把A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）分别代入y＝﹣2（x+2）2得 y1＝﹣2（x+2）2＝﹣8，y2＝﹣2（x+2）2＝﹣2，y3＝﹣2（x+2）2＝﹣50， 所以y3＜y1＜y2． 故选：B． 8．解：根据题意可列方程1200（1+x）2＝1452． 故选：A． 9．解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4， 对称轴是：x＝﹣1 ∵a＝1＞0， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5， x＝﹣1时y有最小值，是﹣4， 故选：B． 10．解：连接AC、BC，如图， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°， ∴∠ACO＝∠CBO， ∴Rt△ACO∽Rt△CBO， ∴OC：OB＝OA：OC， ∴OC2＝OA•OB，所以①正确； 设A（m，0），B（n，0），则OA＝﹣m，OB＝n， ∵m、n为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根， ∴mn， 当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c， ∴C（0，c）， ∴OC＝c， ∵OC2＝OA•OB， ∴c2＝﹣mn， ∴c2， ∴ac＝﹣1，所以②不正确； 当AB＝4OA，则n＝﹣3m， ∵m+n，mn， ∴m﹣3m，﹣3m2， 解得m，m2， ∴（）2， ∴b2ac， 而ac＝﹣1， ∴b2，所以③正确； 若该函数图象的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴bc＝﹣2ac， ∵ac＝﹣1， ∴bc＝2，所以④正确． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．解：3x2﹣x＝0， x（3x﹣1）＝0， x＝0，3x﹣1＝0， ∴． 故答案为：． 12．解：设方程x2+mx﹣10＝0的两根为α、β， 则有：α•β＝﹣10， ∵α＝﹣5， ∴β＝2． 故答案为：2． 13．解：令y＝0，则x2﹣6x+c＝0， 依题意得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4c＝0， 解得：c＝9， 故答案为：9． 14．解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1， 分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关； 故不管p取何值时都通过定点（4，33）． 15．解：ax2+bx+1＝0（a＞0） ∴x， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”， ∴1， ∴b2＝a2+4a， ∵t＝10a﹣b2， ∴t＝10a﹣（a2+4a）＝﹣（a﹣3）2+9， ∵a＞0， ∴当a＝3时，t的最大值为9． 故答案为：9． 三．解答题（共9小题） 16．解：①x2＝25， x＝±5， 所以x1＝5，x2＝﹣5； ②x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣5）＝0， x1＝3，x2＝5； ③2x2﹣5x+3＝0； （x﹣1）（2x﹣3）＝0， x1＝1，x2； 17．解：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2＝3456， 解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）＝4147.2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147.2元． 18．解：（1）设y＝a（x﹣1）2+4， 将C（3，0）代入得4a+4＝0， 解得a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）∵a＝﹣1＜0， ∴在对称轴的右边y随x的增大而减小 ∴当x≥1时y随x的增大而减小 （3）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0，则y＝3， ∴抛物线经过点（0，3）， 由直线y＝﹣x+3可知，直线经过（3，0），（0，3）点， ∴抛物线与直线y＝﹣x+3的交点为（3，0），（0，3）， ∵a＝﹣1＜0， ∴开口向下， ∴当y≤﹣x+3时，x的取值范围是x≤0或x≥3． 19．解：（1）根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为x＝1， 设另一个交点为（x0，0），则有， 解得x0＝﹣1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），A（3，0）， ∴设y＝a（x+1）（x﹣3）， 又∵抛物线过点B（0，3）， 代入x＝0、y＝3有3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， ∵点C为顶点，即xC＝1代入有y＝﹣12+2×1+3＝4， 故C（1，4）． 综上，C（1，4），y＝﹣x2+2x+3； （2）记对称轴与AB交于点M， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵直线AB过点A（3，0），B（0，3）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， 令x＝1，则y＝﹣1+3＝2， ∴M（1，2）， ∴CM＝yC﹣yM＝2， ∴S△ABC＝S△BMC+S△AMC ＝3． 20．解：（1）关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． ∴k≠0且Δ＞0， ∴Δ＝12﹣4k×（﹣3）＞0解得， ∴k的取值范围为且k≠0； （2）由根与系数的关系得，，， ∴，即4k2+3k﹣1＝0， ∴（4k﹣1）（k+1）＝0解得或k＝﹣1， 经检验，，k＝﹣1都是原分式方程的解， 由（1）可得，且k≠0． ∴． 21．解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，），抛物线的顶点坐标为（4，4）， 设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4， 将点（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4可得： 16a+4， ∴a， 则抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+4； （2）令x＝7，则y9+4＝3， 即点（7，3）在抛物线上， 所以此球能准确投中． 22．解：（1）设该公司研发投入资金的年平均增长率为x， 依题意得，1000×（1+x）2＝1210， 解得x＝0.1（负值已舍去）， 答：该公司研发投入资金的年平均增长率为10%； （2）设生产A款装备a台，若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元． 根据题意，得a≤2（3000﹣a）， 解得a≤2000． 设销售总收入为W万元，则W＝5a+3.5（3000﹣a）＝1.5a+10500， ∵1.5＞0， ∴W随a的增大而增大． ∵a≤2000， ∴当a＝2000时W值最大，W最大＝1.5×2000+10500＝13500（万元）． 答：当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元． 23．解：（1）设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3﹣y＝0， ∵△≥0， ∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y， 而由已知y≥﹣6，故36， ∴a＝6或a＝﹣6． （2）设y，变形得yx2﹣（y+5m）x+2y+n＝0， ∵△≥0， ∴（y+5m）2﹣4y（2y+n）≥0， 整理得7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2≤0， 由已知可得﹣4≤y≤7， 根据材料二知7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2＝0的二根是y1＝﹣4，y2＝7， 代入整理得， 解得或． 24．解：（1）∵直线l：yx+m经过点B（0，﹣1）， ∴m＝﹣1， ∴直线l的解析式为yx﹣1， ∵直线l：yx﹣1经过点C（4，n）， ∴n4﹣1＝2， ∵抛物线yx2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x﹣1； （2）令y＝0，则x﹣1＝0， 解得x， ∴点A的坐标为（，0）， ∴OA， 在Rt△OAB中，OB＝1， ∴AB， ∵DE∥y轴， ∴∠ABO＝∠DEF， 在矩形DFEG中，EF＝DE•cos∠DEF＝DE•DE， DF＝DE•sin∠DEF＝DE•DE， ∴p＝2（DF+EF）＝2（）DEDE， ∵点D的横坐标为t（0＜t＜4）， ∴D（t，t2t﹣1），E（t，t﹣1）， ∴DE＝（t﹣1）﹣（t2t﹣1）t2+2t， ∴p（t2+2t）t2t， ∵p（t﹣2）2，且0， ∴当t＝2时，p有最大值； （3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°， ∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x， ①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1， ∴x2x﹣1（x+1）2（x+1）﹣1， 解得x， ②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大， ∴x2x﹣1（x+1）2（x+1）﹣1， 解得x， 综上所述，点A1的横坐标为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/10 21:51:29；用户：高凌；邮箱：yyhyzx20@xyh.com；学号：23684392 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $