精品解析：江苏南京金陵中学仙林校区2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026～2027学年第一学期南京金陵中学仙林校区九年级数学试卷（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ） A. （1，3） B. （3，1） C. （1，－3） D. （－1，3） 4. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（ ） A. 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小 C. 随着的增大先增大后减小 D. 保持不变 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 已知是方程的两个实数根，则______，__________． 8. 圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为_____． 9. 已知a，b是关于x的方程的两根，则的值是___________． 10. 我市2015年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底增加到363公顷，则绿化面积平均每年的增长率为______． 11. 已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为__________． 12. 如图，以正方形的顶点为圆心，长为半径画，再以边为直径画，则的长_______的长．（填“”“”或“”） 13. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是____度． 14. 如图，AB是⊙O的内接正方形的一边，点C在上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边．若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是___． 15. 如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于______． 16. 如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧上所有的点都落在的边界及内部，则弧所对的圆心角的取值范围是____________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求m的值． 19. 如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 20. 如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃．若花圃而积为72m2，求的长． 21. 已知，，是的三条边．求证：． 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）请直接写出不等式的解集． 23. 如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC． （1）证明BC与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，已知点在边上，且，以为直径的与相切，与相交于点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 25. 如图，已知线段a，b．用直尺和圆规作，使，，且分别满足下列条件．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）； （2）． 26. 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 27. 如图，已知圆锥母线长为3，底面圆半径为2， （1）圆锥侧面展开图圆心角度数是________． （2）已知矩形纸片的边长分别为，．按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由： （3）在一张矩形纸片中裁出一个扇形和圆形，使其可以拼成该圆锥，求这个矩形的最小面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期南京金陵中学仙林校区九年级数学试卷（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键步骤是加上一次项系数一半的平方．使用配方法解一元二次方程，将方程化为完全平方形式． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：C． 3. 如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ） A. （1，3） B. （3，1） C. （1，－3） D. （－1，3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象关于原点对称即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，直线经过原点， ∴它们的另一个交点坐标是（1，－3） 故答案为：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象关于原点对称． 4. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题的关键． 连接，由直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得的度数． 【详解】解：连接， 是直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故选：C． 5. 如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：A． 6. 如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（ ） A. 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小 C. 随着的增大先增大后减小 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，作于点，连接，，则，设半径为，在直角三角形和中，利用勾股定理整理化简，是解决问题的关键． 【详解】解：作于点，连接，，则， 设半径为， ∵，则， ∴， ∴ ∴的值保持不变． 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 已知是方程的两个实数根，则______，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可． 【详解】解：方程中，，，， 由根与系数的关系，得，． 故答案为：，． 8. 圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为_____． 【答案】12πcm 【解析】 【分析】先根据底面半径求出底面周长，即为扇形的弧长，再设出扇形的半径，根据扇形的弧长公式，确定扇形的半径；最后用扇形的面积公式求解即可. 【详解】解：∵底面圆的半径为2cm， ∴底面周长为4πcm， ∴侧面展开扇形的弧长为4πcm， 设扇形的半径为r， ∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°， ∴＝4π， 解得：r＝6， ∴侧面积为×4π×6＝12πcm， 故答案为12πcm． 【点睛】本题考查了圆锥的表面积、扇形的面积以及弧长公式，解答的关键在于对基础知识的牢固掌握和灵活运用. 9. 已知a，b是关于x的方程的两根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解得到，则，所以原式可化简为，然后利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵a是关于x的方程的根， ∴， ∴，即， ∴， ∵a与b是关于x的方程的两根， ∴， ∴原式． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 10. 我市2015年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底增加到363公顷，则绿化面积平均每年的增长率为______． 【答案】10% 【解析】 【分析】根据增长率问题的公式“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）”，设绿化面积平均每年的增长率为x，根据“2017年底增加到363公顷．”可得出方程，解方程即可求解． 【详解】设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意得， 300（1+x）2=363． 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）， ∴绿化面积平均每年的增长率为10%. 故答案为10%. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 11. 已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先画出符合题意的图形，如图，为等边三角形，为的外心，先求解的长，再证明 再利用三角函数的含义求解的长，从而可得答案. 【详解】解：如图，为等边三角形，为的外心， 过点， 故答案为： 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，等边三角形的在，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握“正多边形与圆的基本性质”是解本题的关键. 12. 如图，以正方形的顶点为圆心，长为半径画，再以边为直径画，则的长_______的长．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，弧长公式，熟练掌握正方形的性质及弧长公式是解题的关键．根据正方形的性质可知，，再根据弧长公式分别计算弧的长、弧的长，比较即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设， ， 为直径， ， 弧的长弧的长， 故答案为：． 13. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是____度． 【答案】150 【解析】 【分析】连接AB，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得结果． 【详解】如图，连接AB， ∵的度数为60°， ∴， ∵点A、B、C、D、E在⊙O上， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，做出辅助线构建四边形是解题的关键． 14. 如图，AB是⊙O的内接正方形的一边，点C在上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边．若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是___． 【答案】12 【解析】 【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC=30°，则边数n=360°÷中心角． 【详解】连接OC， ∵AB是⊙O内接正方形的一边， ∴∠AOB=360°÷4=90°， ∵BC是⊙O内接正六边形的一边， ∴∠BOC=360°÷6=60°， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-60°=30°， ∴n=360°÷30°=12； 故答案为12； 【点睛】此题考查正多边形和圆，正六边形的性质，正八边形，正二十四边形的性质，根据题意求出中心角的度数是解题关键． 15. 如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，如图，连接、、，分别用表示出阴影面积和半圆面积，然后计算比值即可得解，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连接、、， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为r，过C点作于点F， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：． 16. 如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧上所有的点都落在的边界及内部，则弧所对的圆心角的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件弧上所有的点都落在的边界及内部，找出相应的临界情况，结合图形分析即可. 【详解】解：弧必定存在，且当足够小时弧上所有的点必定落在的边界及内部， ， 如右图所示： 通过点的轨迹可知弧与边相切是一种临界情况，如下图所示： ，， ， ， ， 当时，弧上的点会落在边外部，如下图所示： 综上所述，． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出实数的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵，是关于的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵，即：， ∴， ∴， ∴或， 由（1）可知方程有实数根，， ∴应舍去， 即：． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元一次方程． 19. 如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 【答案】 证明：连接，，， 在与中， ， ， ， ，， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键． 连接，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出，再由平行线的性质可得出，， 故，进而得出结论． 【详解】略 20. 如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃．若花圃而积为72m2，求的长． 【答案】12m 【解析】 【分析】根据题意设的长是m，则的长为m，再根据矩形面积公式，列出关于的方程，求解，再分情况讨论的取值，舍去不符合题意的解即可． 【详解】.解：设的长是m，则的长为m， 根据题意，得， 解得，， 当时，(不符合题意，舍去)， 当时，（符合题意）， 故的长是12m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程求解是解题关键． 21. 已知，，是的三条边．求证：． 【答案】 证明：∵ ，，是的三条边， ∴ ，． ∴ ，． ∵ ， ∴ ，即 ． ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系及因式分解的应用．利用三角形三边关系得出三边不等式关系是解题关键． 将不等式移项变形后，通过因式分解，再利用三角形三边关系判断符号即可． 【详解】略 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2）35；（3）0＜x＜2或x＞12 【解析】 【分析】（1）首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入求得a的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）设一次函数的图象与x轴相交于C点，根据S△AOB=S△AOC-S△BOC求解； （3）观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：（1）把点A(2，6)的坐标代入得k=12． ∴反比例函数表达式为， 把点B(a，1)的坐标代入得a=12， ∴B点坐标为(12，1)． 设一次函数的表达式为，把A（2，6）、B（12，1）两点坐标代入得 ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）设一次函数的图象与x轴相交于C点． 则C点坐标为(14，0)． ∴OC=14． ∵A点坐标为(2，6)， ∴A点到x轴的距离为6．即△AOC的高为6， ∴△AOC的面积为：×14×6=42． ∵B点坐标为(12，1)， ∴B点到x轴的距离为1．即△BOC的高为6． ∴△BOC的面积为：×14×1=7． ∵S△AOB=S△AOC-S△BOC， ∴S△AOB=42-7=35； （3）由图象得，不等式kx+b＜的解集为0＜x＜2或x＞12， 故答案为0＜x＜2或x＞12． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想． 23. 如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC． （1）证明BC与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE, ∵BE是直径，∴∠EDB＝90°， ∴∠E＋∠EBD＝90° ∵＝，∴∠E＝∠A 又∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC＝∠E ∴∠DBC＋∠EBD＝90°，∴∠EBC＝90°，∴BC⊥EB. 又∵OB是半径（B在⊙O上），∴BC与⊙O相切. （2）6π－9. 【解析】 【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE=90°，再求出∠EBD+∠DBC=90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线； （2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）∵＝，∴∠BOD＝2∠A＝60° S阴影＝ S扇形OBD－S△OBD＝π36×－9＝6π－9. 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC=90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积． 24. 如图，已知点在边上，且，以为直径的与相切，与相交于点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，则利用等腰三角形的性质得到平分，所以，再根据切线的性质得到，则利用等角的余角相等得到，从而得到； （2）连接，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，接着利用勾股定理计算出，所以，然后在中利用勾股定理可计算出． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 为直径， ， ， ， 平分， 即， 以为直径的与相切， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 连接，如图， ，， ，， ， 为直径， ， ， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理． 25. 如图，已知线段a，b．用直尺和圆规作，使，，且分别满足下列条件．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）； （2）． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质． （1）作线段b，再作线段b的垂直平分线；作线段，分别以B，C为圆心，为半径画圆弧，交于点A，连接，即为所求； （2）作线段，作的垂直平分线和以为直径的圆O，交点为M，以M为圆心，为半径画圆，以B为圆心，b为半径画圆弧，交圆M于N，连接交圆O于点A，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，作线段b，再作线段b的垂直平分线；作线段，分别以B，C为圆心，为半径画圆弧，交于点A，连接，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，作线段，作的垂直平分线和以为直径的圆O，交点为M，以M为圆心，为半径画圆，以B为圆心，b为半径画圆弧，交圆M于N，连接交圆O于点A，连接，即为所求． 由作图知，则，所以是等腰直角三角形，所以，所以． ． 26. 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 【答案】（1）①④ （2） 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴美好方程总有两个实数根． （3） 证明：方法1 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故． 方法2 将代入美好方程，得 左边，右边 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴是美好方程的一个根， ∴方程的另一个根也是， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式， （1）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，分别代入计算即可． （2）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，利用根的判别式计算判断即可． （3）根据美好方程的定义，计算判断即可． 【小问1详解】 方程，，方程①是美好方程； 方程，，方程②不是美好方程； 方程，，方程③不是美好方程； 方程，整理，得，，方程④ 是美好方程； 故答案为：①④． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 如图，已知圆锥母线长为3，底面圆半径为2， （1）圆锥侧面展开图圆心角度数是________． （2）已知矩形纸片的边长分别为，．按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由： （3）在一张矩形纸片中裁出一个扇形和圆形，使其可以拼成该圆锥，求这个矩形的最小面积． 【答案】（1） （2）能，理由： 如图，过点M作，垂足为C，延长交扇形于点D，交矩形的右侧边于点E， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵底面圆半径为2， 即直径为4， ∵， ∴能 （3）这个矩形的最小面积 【解析】 【分析】（1）底面圆的周长比上扇形的弧长，再乘以，即可求解； （2）过点M作，垂足为C，延长交扇形于点D，交矩形的右侧边于点E，结合含角的直角三角形的性质以及对称性，求出，将、矩形的宽度与底面圆的直径作比较，即可判断； （3）扇形与底面圆靠的越近，尽量使扇形所在圆的直径的长度与矩形的某边的长度相等来构造最小矩形，分类讨论：情况一如图：扇形圆心与底面圆圆心的连线与矩形边平行（或垂直）时，画出图形，结合含角的直角三角形的性质以及对称性、勾股定理，先求出的长度，进而可求出，此时以的长度、扇形所在圆的直径长度来构造矩形，并可求出面积；情况二如图，扇形即底面圆与矩形的底边都相切时，根据情况1的方法求出，结合图形，根据相切的特点，可知的长度实为扇形圆心、底面圆圆心二者与矩形下方边的距离之差，即可求出，再利用勾股定理求出，的长度与扇形圆心到矩形左侧边的长度相等也就是与扇形半径的长度相等，进而可求出，此时以的长度、扇形所在圆的直径长度来构造矩形，并可求出面积；综上比较两个面积即可求解． 【小问1详解】 解：，， 即：； 【小问2详解】 见答案 【小问3详解】 情况一如图：扇形圆心与底面圆圆心的连线与矩形边平行（或垂直）时， 由图可知：圆C与扇形的两条半径相切，即， 根据题意有：，，， 根据对称性， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵，， ∴， 此时最小矩形的面积为：； 情况二如图，扇形即底面圆与矩形的底边都相切时， 根据上述方法可求出， ∵扇形的半径为3，底面圆的半径为2，的长度与扇形圆心到矩形左侧边的长度相等，也就是与扇形半径的长度相等， ∴，， ∴， ∴ 此时最小矩形的面积为：； ∵，， ∴， ∴， 故：这个矩形的最小面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $