北京市第二中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026北京二中高三10月月考 数 学 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共小题,每小题分,共分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.已知集合,,则( ) A. . . . 2.若复数满足,则( ) A. . . . 3.下列函数中,在区间上单调递增的是( ) A. . . . 4.若为直线,为两个平面,则下列结论中正确的是( ) A.若,则 .若,则 .若,则 .若,则 5.已知,则等于( ) A. . . . 6.设点不共线,则“与的夹角为锐角”是“”的( ) A.充分而不必要条件 .必要而不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件 7.已知等差数列的前项和为,,,.记,则的值为( ) A. . . . 8.在等腰直角中,斜边,且,点是线段上任一点,则的取值范围是( ) A. . . . 9.已知正三棱锥的六条棱长均为,点是点在平面上的射影,点为的重心.若空间中的点满足,则的最小值为( ) A. . . . 10.已知函数()图象上存在关于轴对称的两点,则正数的取值范围是( ) A. . . . 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.) 11.已知向量,,.若(),则实数. 12.设函数(),若对任意的实数都成立,则的最小值为. 13.设,,,则的最小值为. 14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器,其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为的等比数列,底面直径依次为,,,且斛量器的高为,则斗量器的高为,升量器的高为.(不计量器的厚度) 15.在现实世界,很多信息的传播演化是相互影响的。选用正实数数列,分别表示两组信息链上每个节点处的信息强度,数列模型:(),描述了这两组相邻影响之下的传播演化过程。若两组信息的初始信息强度满足,则在该模型中,关于两组信息如下结论: ①; ②; ③,使得当时,总有; ④,使得当时,总有. 其中,所有正确结论的序号是. 三、解答题(本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明16.如图,在中,为边上一点,. ( )求的大小; ( )求线段的长。 17.为迎接“十一长假”的到来,某商场开展一项促销活动。凡在商场消费金额满元的顾客可以免费抽奖一次。抽奖规则如下:不透明箱子中装有除颜色外其它都相同的个小球,其中红球个,白球个,黄球个;顾客从箱子中依次不放回地摸出个球,根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖。将顾客摸出的个球的颜色分成以下四种情况: 个红球个白球 个红球 个白球 至少一个黄球 若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖,二等奖,三等奖,不中奖; ( )求顾客在某次抽奖中,两次都摸到红球的概率; ( )求顾客分别获一、二等奖时对应的概率; ( )若三名顾客每人抽奖一次,且彼此是否中奖相互独立,记中奖的人数为,求的分布列和期望. 18.如图,在四棱锥中,平面平面,,,,是中点。 ( )证明:平面. ( )求二面角的平面角的余弦值. ( )在侧棱上是否存在点,使得平面。若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由. 19.已知椭圆经过点,. ( )求椭圆的标准方程; ( )过点的直线与椭圆交于不同的两点(均与不重合),证明:直线的斜率之和为定值. 20.已知函数. ( )当时,求曲线在点处的切线方程; ( )当时,证明:在区间上单调递增; ( )设函数,若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围. 21.对于三维向量(,,,),定义“”变换:,其中,,,.记,. ( )若,求及; ( )证明:对于任意,经过若干次变换后,必存在,使; ( )已知(),,将再经过次变换后,最小,求的最小值. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $